Matemática => Matemática de escuelas primaria, secundaria, bachillerato => Mensaje iniciado por: Teresarica en 12/03/2018, 06:20:34 am



Título: Sucesión de Fibonacci
Publicado por: Teresarica en 12/03/2018, 06:20:34 am
Buenos días:

En diferentes textos veo que hay discrepancias con relación a la sucesión de Finobacci Fibonacci.
En ocasiones veo que el primer término es 0 y otras que es 1. Por otra parte, para hallar el término general de dicha sucesión, que es recurrente de orden 2, resuelvo la ecuación característica.
La duda me surge al atribuir los dos primeros términos, ¿son 0 y 1, o 1 y 1? ¿Considero que el primer término es [texx]a_0[/texx] o [texx]a_1[/texx]? Si considero [texx]a_1[/texx] y [texx]a_2[/texx] los dos primeros términos de la sucesión la complejidad aumenta.

Es posible que este tema ya haya sido tratado con anterioridad, pero el buscador de este foro me da problemas y no soy capaz de encontrar nada de Finobacci.
 
Gracias


Título: Re: Sucesión de Finobacci
Publicado por: Luis Fuentes en 12/03/2018, 06:27:56 am
Hola

En diferentes textos veo que hay discrepancias con relación a la sucesión de Finobacci. En ocasiones veo que el primer término es 0 y otras que es 1. Por otra parte, para hallar el término general de dicha sucesión, que es recurrente de orden 2, resuelvo la ecuación característica.
La duda me surge al atribuir los dos primeros términos, ¿son 0 y 1, o 1 y 1? ¿Considero que el primer término es [texx]a_0[/texx] o [texx]a_1[/texx]? Si considero [texx]a_1[/texx] y [texx]a_2[/texx] los dos primeros términos de la sucesión la complejidad aumenta.

Pero no entiendo que ninguno de esos detalles pueda complicarte. Según empecemos en [texx]0,1[/texx] o en [texx]1,1[/texx] la sucesión será:

[texx]0,1,1,2,3,5,8,13,\ldots[/texx]

ó

[texx]1,1,2,3,5,8,13,\ldots[/texx]

Entonces la fórmula si [texx]a_n[/texx] es la fórmula para la primera y [texx]b_n[/texx] para la segunda tendrás: [texx]b_n=a_{n+1}
[/texx] ó [texx]a_n=b_{n-1}[/texx].

Igualmente empezar en [texx]a_0[/texx] o en [texx]a_1[/texx] "desplaza" la fórmula cambiando un [texx]n[/texx] por un [texx]n+1[/texx] o viceversa; pero nada de esto es una diferencia esencial en el proceso de resolución de la recurrencia.

Si puedes concretar un poco más tus dificultades...

Saludos.


Título: Re: Sucesión de Finobacci
Publicado por: Teresarica en 12/03/2018, 07:02:39 am
La resolución del problema cambia si considero [texx]a_1 = 1[/texx] y [texx]a_2 = 1[/texx], puesto que tendría que resolver el siguiente sistema:

[texx]1= \displaystyle{1+\sqrt[ ]{5} \over 2} \alpha + \displaystyle{1-\sqrt[ ]{5} \over 2} \beta [/texx]

[texx]1= \left( \displaystyle\frac{1+\sqrt[ ]{5}}{2} \right)^2 \alpha + \left( \displaystyle\frac{1-\sqrt[ ]{5}}{2} \right)^2  \beta [/texx]

Sin embargo si [texx]a_0 = 0[/texx] y [texx]a_1 = 1[/texx], el sistema se simplifica notablemente:

[texx]0= \alpha + \beta [/texx]

[texx]1=  \displaystyle\frac{1+\sqrt[ ]{5}}{2}  \alpha +  \displaystyle\frac{1-\sqrt[ ]{5}}{2}   \beta [/texx]

Pero mi duda es si es válido considerar que la sucesión empieza en [texx]0[/texx] y que el primer término pueda ser [texx]a_0[/texx].

Espero haberme expresado mejor que en el mensaje anterior.

Gracias


Título: Re: Sucesión de Finobacci
Publicado por: Luis Fuentes en 12/03/2018, 07:08:11 am
Hola

La resolución del problema cambia si considero [texx]a_1 = 1[/texx] y [texx]a_2 = 1[/texx], puesto que tendría que resolver el siguiente sistema:

[texx]1= \displaystyle{1+\sqrt[ ]{5} \over 2} \alpha + \displaystyle{1-\sqrt[ ]{5} \over 2} \beta [/texx]

[texx]1= \left( \displaystyle\frac{1+\sqrt[ ]{5}}{2} \right)^2 \alpha + \left( \displaystyle\frac{1-\sqrt[ ]{5}}{2} \right)^2  \beta [/texx]

Sin embargo si [texx]a_0 = 0[/texx] y [texx]a_1 = 1[/texx], el sistema se simplifica notablemente:

[texx]0= \alpha + \beta [/texx]

[texx]1=  \displaystyle\frac{1+\sqrt[ ]{5}}{2}  \alpha +  \displaystyle\frac{1-\sqrt[ ]{5}}{2}   \beta [/texx]

La diferencia de dificultad entre uno y otro sistema es mínima. Te dejas impresionar por los números. Ambos son simples sistemas lineales de dos ecuaciones y dos incógnitas.

Cita
Pero mi duda es si es válido considerar que la sucesión empieza en [texx]0[/texx] y que el primer término pueda ser [texx]a_0[/texx].

Si es válido; pero me gustaría que entendieses que esos detalles son superficiales.

Imagina que tu hallaste una fórmula suponiendo que:

[texx]a_0=0,\quad a_1=1,\quad a_2=1,\quad a_3=2,\quad a_4=3[/texx]

y ahora te dicen; ¡no! la queremos para:

[texx]b_0=1,\quad b_1=1,\quad b_2=2,\quad n_3=3,\ldots[/texx]

Pues basta que aproveches la fórmula que ya tienes tomando:

[texx]b_n=a_{n+1}[/texx].

Saludos.


Título: Re: Sucesión de Finobacci
Publicado por: Teresarica en 12/03/2018, 07:16:03 am
Gracias


Título: Re: Sucesión de Finobacci
Publicado por: Ignacio Larrosa en 12/03/2018, 05:06:02 pm
Buenos días:

En diferentes textos veo que hay discrepancias con relación a la sucesión de Finobacci. En ocasiones veo que el primer término es 0 y otras que es 1. Por otra parte, para hallar el término general de dicha sucesión, que es recurrente de orden 2, resuelvo la ecuación característica.
La duda me surge al atribuir los dos primeros términos, ¿son 0 y 1, o 1 y 1? ¿Considero que el primer término es [texx]a_0[/texx] o [texx]a_1[/texx]? Si considero [texx]a_1[/texx] y [texx]a_2[/texx] los dos primeros términos de la sucesión la complejidad aumenta.

Es posible que este tema ya haya sido tratado con anterioridad, pero el buscador de este foro me da problemas y no soy capaz de encontrar nada de Finobacci.
 
Gracias

Quizás no encontrases nada porque ponías Finobacci en lugar del correcto Fibonacci, por hijo de Bonacci . Parece que nadie se dio cuenta de la permutación de las letras ...

Estoy de acuerdo con lo que dice Luis, básicamente es cuestión de notación y no es más ni menos complicado. Pero algunas propiedades quedan mejor si se define como

[texx]a_1 =1, a_2= 1, a_n = a_{n-1} + a_{n-2}\quad  \forall{}n\geq{}2[/texx]

Por ejemplo, con este convenio se tiene que: [texx]n | m \;\Longrightarrow{}  a_n | a_m[/texx], que de la otra forma quedaría algo más farragoso.

Saludos,


Título: Re: Sucesión de Fibonacci
Publicado por: Masacroso en 12/03/2018, 06:16:17 pm
Yo prefiero empezar en el cero que es menos confuso, además se corresponde directamente con el índice por lo que es fácil recordarlo, es decir: [texx]F_0=0,\, F_1=1,\, F_2=1,\ldots[/texx]. La numeración está estandarizada, y es útil recordarla porque en identidades combinatorias y binomiales a veces aparecen los números de Fibonacci, y puede surgir la duda de si [texx]F_2=1[/texx] ó [texx]F_2=2[/texx] y cosas así.

P.D.: por cierto, la búsqueda no funciona buscando por "Fibonacci", no sé si porque es una palabra muy corta o porque hay alguna cosa rota por ahí.


Título: Re: Sucesión de Fibonacci
Publicado por: Teresarica en 12/03/2018, 07:38:22 pm
¡Gracias a todos!

Siento la confusión con Fibonacci, casi prefiero Leonardo de Pisa, que en realidad era su nombre.

Un saludo,