Matemática => Análisis Real - Integral de Lebesgue => Mensaje iniciado por: Gerardovf en 15/01/2018, 15:35:47 pm



Título: Problema de números irracionales
Publicado por: Gerardovf en 15/01/2018, 15:35:47 pm
Buenas a todos, necesito un poco de ayuda con este problema:

Sea [texx]\{ q_{n}: n=1,2,3,\dots\}[/texx] una enumeración de los números racionales, probar que existen números irracionales que no pertenecen a:

[texx]\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}\left(q_{n}-\displaystyle\frac{1}{n^2}, q_{n}+\displaystyle\frac{1}{n^2}\right)[/texx]


Gracias de antemano.


Título: Re: Problema de números irracionales
Publicado por: Luis Fuentes en 15/01/2018, 15:43:19 pm
Hola

Buenas a todos, necesito un poco de ayuda con este problema:

Sea [texx]\{ q_{n}: n=1,2,3,\dots\}[/texx] una enumeración de los números racionales, probar que existen números irracionales que no pertenecen a:

[texx]\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}\left(q_{n}-\displaystyle\frac{1}{n^2}, q_{n}+\displaystyle\frac{1}{n^2}\right)[/texx]


Gracias de antemano.

Basta tener en cuenta que:

[texx]\mu\left(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}\left(q_{n}-\displaystyle\frac{1}{n^2}, q_{n}+\displaystyle\frac{1}{n^2}\right)\right)\leq \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}\mu\left(q_{n}-\displaystyle\frac{1}{n^2}, q_{n}+\displaystyle\frac{1}{n^2}\right)=2\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^2}<\infty[/texx]

Por tanto esa unión no puede ser todo [texx]\mathbb{R}[/texx] que tiene medida infinita.

Saludos.


Título: Re: Problema de números irracionales
Publicado por: Gerardovf en 15/01/2018, 16:04:48 pm
Muchísimas gracias, la época de exámenes está acabando conmigo, porque era bastante fácil  ;D ;D