Matemática => Cálculo varias variables => Mensaje iniciado por: Cecilia en 04/01/2018, 07:02:39



Título: Aplicación del teorema de la función inversa
Publicado por: Cecilia en 04/01/2018, 07:02:39
Dada la expresión funcional [texx]xz-e^{yz}+(x-1)^2 -y=0[/texx]. Si se considera la aplicación [texx]f(t)=(e^t, t^3 +1)[/texx] y [texx]h=f \circ g[/texx] donde [texx]g[/texx] es la superficie [texx]z=g(x,y)[/texx] referido a la expresión funcional anterior. ¿Es aplicable el teorema de la función inversa a h en algún punto de su conjunto de definición?


Título: Re: Aplicación del teorema d la función inversa
Publicado por: Luis Fuentes en 04/01/2018, 07:27:15
Hola

Dada la expresion funcional [texx]xz-e^{yz}+(x-1)^2 -y=0[/texx]. Si se considera la aplicación [texx]f(t)=(e^t, t^3 +1)[/texx] y [texx]h=f \circ g[/texx] donde [texx]g[/texx] es la superficie [texx]z=g(x,y)[/texx] referido a la expresión funcional anterior. ¿Es aplicable el teorema de la función inversa a h en algún punto de su conjunto de definición?

Por la regla de la cadena:

[texx]dh|_P=df|_{g(P)}\cdot dg|_P[/texx]

Dado que [texx]g[/texx] es una aplicación de [texx]\mathbb{R}^2[/texx] en [texx]\mathbb{R}[/texx] su diferencial en cualquier punto tiene a lo sumo rango 1; el rango del producto de matrices nunca supera el rango de cada una de las matrices que se multiplican. Por tanto el rango de [texx]dh[/texx] en cualquier punto es [texx]1[/texx]. Dado que [texx]h[/texx] es una aplicación de [texx]\mathbb{R}^2 [/texx] en [texx]\mathbb{R}^2 [/texx] para que fuese inversible el rango de la diferencial debería de ser dos; pero hemos razonado que eso no se da.

Saludos.

P.D. Fíjate que no ha hecho falta hacer ninguna cuenta explícita. Me queda la duda de si estás usando la notación para la composición inversa. Es decir cuando escribís: [texx]f\circ g[/texx] se interpreta:

1) Así: [texx](f\circ g)(x)=f(g(x))[/texx] (es como yo lo he interpretado)

o:

2) Así: [texx](f\circ g)(x)=g(f(x))[/texx]


Título: Re: Aplicación del teorema d la función inversa
Publicado por: Cecilia en 04/01/2018, 08:35:30
Muchas gracias! Sí, es como lo habías interpretado. Un saludo.