Matemática => Cálculo varias variables => Mensaje iniciado por: Geraldine____ en 31 Diciembre, 2017, 16:00



Título: Función exponencial: gráfica, dominio y rango.
Publicado por: Geraldine____ en 31 Diciembre, 2017, 16:00
Determine dominio e imagen de las siguientes funciones, y describa la forma de las curvas de nivel.

e) [texx]f(x,y)=e^{-(x^2+y^2)}[/texx]


[texx]\textrm{Dom} f= \mathbb{R}^2\quad \textrm{Im} f=(0,1][/texx]

Las curvas de nivel me dan circunferencias entre 0 y 1.

Pero... Cuando lo grafico en Geogebra o Wolframalpha me aparece que la gráfica sí es como un paraboloide en el centro hasta uno pero luego aparece como plano alrededor. Y esas curvas de nivel no las tengo porque el dominio para realizar las curvas de nivel está entre 0 y 1. ¿Hice algo mal? O ¿Me falta algo?


Título: Re: Función exponencial: gráfica, dominio y rango.
Publicado por: Ignacio Larrosa en 31 Diciembre, 2017, 17:26
Determine dominio e imagen de las siguientes funciones, y describa la forma de las curvas de nivel.

e) [texx]f(x,y)=e^-(x^2+y^2)[/texx]


[texx]Dominio f= R^2
Imagen f=(0,1][/texx]

Las curvas de nivel me dan circunferencias entre 0 y 1.

Pero... Cuando lo grafico en Geogebra o Wolframalpha me aparece que la gráfica sí es como un paraboloide en el centro hasta uno pero luego aparece como plano alrededor. Y esas curvas de nivel no las tengo porque el dominio para realizar las curvas de nivel está entre 0 y 1. ¿Hice algo mal? O ¿Me falta algo?

Lo único que tienes mal es la escritura en [texx]\LaTeX[/texx]. Si los exponentes, o subíndices, tienen más de un carácter, hay que encerrarlos entre llaves: [tex]e^{-(x^2 + y^2)}[/tex] para obtener [texx]e^{-(x^2 + y^2)}[/texx].

Lo que ocurre es que a partir de [texx]r =\sqrt[ ]{x^2 + y^2} = 2[/texx], la función se hace muy pequeña, tendiendo a cero cuando [texx]r\rightarrow{}\infty[/texx] y parece que coincide con el plano [texx]Oxy[/texx]:




Saludos,


Título: Re: Función exponencial: gráfica, dominio y rango.
Publicado por: Geraldine____ en 31 Diciembre, 2017, 17:55
¡¡¡No puedo con Latex y quiero probar con la matemática!!! jajaja.

¿Estás diciendo que es un paraboloide entonces, pero que la gráfica engaña?
 

O.o

¡Feliz año nuevo!


Título: Re: Función exponencial: gráfica, dominio y rango.
Publicado por: Geraldine____ en 31 Diciembre, 2017, 18:05
Y las curvas de nivel las puedo dibujar hasta [texx]k=1[/texx] ¿No? Porque el dominio llega hasta 1.


[texx]k=e^{-(x^2+y^2)}[/texx]

¿Cómo sé lo que pasa desde el [texx]k=1[/texx] en adelante?


Título: Re: Función exponencial: gráfica, dominio y rango.
Publicado por: ingmarov en 31 Diciembre, 2017, 18:40
Corrección

Y las curvas de nivel las puedo dibujar hasta [texx]k=1[/texx] ¿No? Porque el dominio llega hasta 1.


[texx]k=e^{-(x^2+y^2)}[/texx]

¿Cómo sé lo que pasa desde el [texx]k=1[/texx] en adelante?

Geraldine el rango es hasta 1, el dominio es todo el plano xy ó z=0

Por ejemplo

[texx]x=y=\sqrt{ln(\color{red}1000)}[/texx]

Entonces

[texx]e^{-\left(\left(\sqrt{ln(\color{red}1000)}\right)^2+\left(\sqrt{ln(\color{red}1000)}\right)^2\right)}=e^{-ln(1000000)}=\dfrac{1}{e^{ln(1000000)}}=0.000001[/texx]


La curva de nivel k=0.000001  ocurre en los puntos de la circunferencia centrada en el origen de radio  [texx]r=\sqrt{2ln(1000)}[/texx]



Añado que el máximo de la función se da en el origen en (0,0)  y cuando el punto a evaluar se aleja mas del origen la función se acerca más a cero.



Saludos


Título: Re: Función exponencial: gráfica, dominio y rango.
Publicado por: Ignacio Larrosa en 01 Enero, 2018, 08:21
¡¡¡No puedo con Latex y quiero probar con la matemática!!! jajaja.

¿Estás diciendo que es un paraboloide entonces, pero que la gráfica engaña?
 

O.o

¡Feliz año nuevo!

Mas que parecerse a un paraboloide es campaniforme. De hecho la curva [texx]y = e^{-x^2}[/texx], igual a la sección de tu superficie por cualquier plano vertical, es conocida como campana de Gauss. Es como una campana infinita, como una burbuja en un papel adhesivo ilimitado.

Respecto a las curvas de nivel, fíjate que se obtienen de [texx]f(x, y) = k[/texx], luego [texx]k \in{} R(f) = (0, 1][/texx]. Para valores de k > 1 no hay superficie, la función tiene un máximo absoluto en (x, y) = (0, 0).

Saludos,


Título: Re: Función exponencial: gráfica, dominio y rango.
Publicado por: Geraldine____ en 01 Enero, 2018, 12:49

Respecto a las curvas de nivel, fíjate que se obtienen de [texx]f(x, y) = k[/texx], luego [texx]k \in{} R(f) = (0, 1][/texx]. Para valores de k > 1 no hay superficie, la función tiene un máximo absoluto en (x, y) = (0, 0).

O.o NO ENTIENDO. o.O

A ver, k como máximo toma el valor de 1 por la imagen, eso lo entiendo.
Para valores de k>0 no hay superficie. Bien. Según los cálculos sí entiendo eso.
Pero dejame decirte que viendo la imagen yo siento que hay más superficie por fuera de la circunferencia que genera k=1.
Sé que tiende a infinito la campana, por la gráfica, pero la parte en que más se acerca a infinito, alejándose del origen ¿Cómo la grafico si no hay curvas de nivel en esa parte?



Título: Re: Función exponencial: gráfica, dominio y rango.
Publicado por: ingmarov en 01 Enero, 2018, 15:58
...
Para valores de k>0 no hay superficie. Bien. Según los cálculos sí entiendo eso.
Pero dejame decirte que viendo la imagen yo siento que hay más superficie por fuera de la circunferencia que genera k=1.
Sé que tiende a infinito la campana, por la gráfica, pero la parte en que más se acerca a infinito, alejándose del origen ¿Cómo la grafico si no hay curvas de nivel en esa parte?



Es difícil entender en lo que estás pensando.

A ver,  si       [texx]f(x,y)=k\quad k\in \mathbb{R}[/texx]

Cuando k=1    x=y=0   para ese valor de k no hay una curva dada por una circunferencia, para este valor de k tenemos un único punto  (0,0,1)

k=0    no puedes trazar esta curva porque   [texx]f(x,y)=e^{x^2+y^2}\neq 0\;\forall x,y\in \mathbb{R}[/texx]

Para valores de k en (0,1) tienes curvas de nivel que son circunferencias.



No tienes curvas para k>1  ó  [texx]k\leq 0[/texx] porque están fuera del rango de la función




Título: Re: Función exponencial: gráfica, dominio y rango.
Publicado por: Geraldine____ en 03 Enero, 2018, 13:43
Sí, entiendo que no haya curvas, lo que no entiendo es por qué no hay función, si la gráfica muestra como un plano lejos de 2.


:O


Título: Re: Función exponencial: gráfica, dominio y rango.
Publicado por: ingmarov en 04 Enero, 2018, 01:14
Sí, entiendo que no haya curvas, lo que no entiendo es por qué no hay función, si la gráfica muestra como un plano lejos de 2.


:O

¿Qué es 2?     ¿x, y ,z, k?


Título: Re: Función exponencial: gráfica, dominio y rango.
Publicado por: Geraldine____ en 04 Enero, 2018, 01:49
A lo que voy, es ¿Cómo sé que esa zona "plana" que se ve en la gráfica, existe? Si en esa zona no hay curvas de nivel.


La zona "plana" = la zona más alejada del máximo de la gráfica.


o.o


Título: Re: Función exponencial: gráfica, dominio y rango.
Publicado por: ingmarov en 04 Enero, 2018, 02:03
A lo que voy, es ¿Cómo sé que esa zona "plana" que se ve en la gráfica, existe? Si en esa zona no hay curvas de nivel.


La zona "plana" = la zona más alejada del máximo de la gráfica.


o.o

Sí hay curvas de nivel, eso que parece un plano no es plano lo que pasa es que la gráfica de la función va tendiendo a z=0 a medida que te alejas del origen.

Por cierto, la altura de la gráfica es z=k,  y k no es un necesariamente un número entero puede ser real (en este caso z=k esta en (0,1]) según se desee.

Estaré un buen rato aquí y podré ayudarte a resolver este malentendido.



Título: Re: Función exponencial: gráfica, dominio y rango.
Publicado por: Geraldine____ en 04 Enero, 2018, 02:21
AH...

Ya entendí...

¡¡Lo estaba viendo al revés!! ¡¡Dios!!


Ya caí. Toy cansada se ve ya.

Gracias, muchas, muchas.


Título: Re: Función exponencial: gráfica, dominio y rango.
Publicado por: ingmarov en 04 Enero, 2018, 02:23
AH...

Ya entendí...

¡¡Lo estaba viendo al revés!! ¡¡Dios!!


Ya caí. Toy cansada se ve ya.

Gracias, muchas, muchas.

Me alegra mucho  :D :D

Hasta luego Geraldine


Título: Re: Función exponencial: gráfica, dominio y rango.
Publicado por: Geraldine____ en 04 Enero, 2018, 02:58
Hasta luego, INGMAROV !