Matemática => Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) => Mensaje iniciado por: 0_kool en 06/12/2017, 09:35:09 pm



Título: De recta en forma general a vectorial
Publicado por: 0_kool en 06/12/2017, 09:35:09 pm
Hola

Este problema lo sé realizar pero me cuesta finiquitar

Dice pasar la ecuación [texx]3x-5y+59=0[/texx] a la forma vectorial3

Bueno aqui A=3 , B=-5 , C=59


El vector director es [texx]\overrightarrow{d}=(-B,A) =(5,3)[/texx]
Como necesito un punto P , hago [texx]x=1 [/texx]y obtengo [texx]y=\displaystyle\frac{62}{5}[/texx]

luego[texx] L: (x,y) =(1,\displaystyle\frac{62}{5})+t(5,3)[/texx]

pero la alternativa correcta es  [texx](-8,7)+t(5,3) [/texx]

me doy cuenta que es otro de los tantos puntos que puedo dar y ese solo es más comodo

¿Como hago para darme cuenta del punto apropiado , sin estar haciendo una tabla de valores o tanteando?







Título: Re: De recra en forma general a vectorial
Publicado por: ingmarov en 06/12/2017, 09:41:14 pm
Hola

No te preocupes por eso, no es importante. Usa cualquier punto de la recta.


Saludos


Título: Re: De recra en forma general a vectorial
Publicado por: 0_kool en 06/12/2017, 09:52:49 pm
Entiendo lo que dices , pero se trata de marcar la alternativa correcta contra reloj


Título: Re: De recra en forma general a vectorial
Publicado por: ingmarov en 06/12/2017, 10:14:10 pm
Entiendo lo que dices , pero se trata de marcar la alternativa correcta contra reloj


Y ¿cuál alternativa crees que es incorrecta?


Título: Re: De recra en forma general a vectorial
Publicado por: sugata en 06/12/2017, 10:41:58 pm
Entiendo lo que dices , pero se trata de marcar la alternativa correcta contra reloj


Entiendo que es un examen tipo test.
En ese caso tendrías que comprobar con el punto de cada una de las respuestas si está en tu recta.


Título: Re: De recta en forma general a vectorial
Publicado por: 0_kool en 07/12/2017, 12:03:04 am
Conoces otra forma que no sea verificar todas las alternativas


Título: Re: De recta en forma general a vectorial
Publicado por: sugata en 07/12/2017, 01:19:36 am
En este momento no caigo en otra forma.


Título: Re: De recta en forma general a vectorial
Publicado por: sugata en 07/12/2017, 01:21:09 am
Una forma de descartar una a la primera es eligiendo el punto de una respuesta a la hora de armar la ecuación.


Título: Re: De recta en forma general a vectorial
Publicado por: ingmarov en 07/12/2017, 01:26:43 am
Conoces otra forma que no sea verificar todas las alternativas


Ah, ya entiendo.

Si conviertes todas las opciones a la forma general (creo que es algo más sencillo).

Vas a tener que practicar mucho hasta resolver rápido y seguro.


Saludos


Título: Re: De recta en forma general a vectorial
Publicado por: feriva en 07/12/2017, 07:33:16 am
Hola.

Es que ése que te dan no es el “punto apropiado”, es simplemente un punto.

Lo metódico para llegar desde la ecuación general a la vectorial es hallar las ecuaciones paramétricas, con ellas tienes unas expresiones en las que dando valores obtienes los puntos que quieras; es casi como lo que has hecho, pero cambiando la letra de una de las variables; tiene sus ventajas a la hora de hacer muchas cosas aunque parezca que no sirve para nada:

[texx]3x-5y+59=0
 [/texx]

[texx]x=\lambda
 [/texx]

[texx]y=\dfrac{3\lambda+59}{5}
 [/texx]

El punto genérico es


[texx](x,y)=(\lambda,\dfrac{3\lambda+59}{5})
 [/texx] donde lambda es cualquier número real.

Por otra parte pasa lo mismo con el vector, se puede hallar el general; volvemos a las paramétricas que teníamos

[texx]x=\lambda+0
 [/texx] (pongo cero porque es el término independiente del parámetro lambda, que siempre existe, como poco será cero)

[texx]y=\dfrac{3\lambda+59}{5}
 [/texx]

despejando las lambdas

[texx]x-0=\lambda
 [/texx] implica: coordenada x menos coordenada cero igual a lambda (o sea, coordenada de vector, lambda es la primera coordenada del vector).

[texx]y-\dfrac{59}{5}=\dfrac{3\lambda}{5}
 [/texx] implica lo mismo, [texx]\dfrac{3\lambda}{5}
 [/texx] es la segunda coordenada del vector.

Por tanto, la forma general del vector es [texx](\lambda,\dfrac{3\lambda}{5})
 [/texx] ó lo que es igual [texx]\lambda(1,\dfrac{3}{5})
 [/texx]

Así pues, la ecuación vectorial, para coordenadas x,y cualesquiera, es

[texx](x,y)=(\lambda,\dfrac{3\lambda+59}{5})+\lambda(1,\dfrac{3}{5})
 [/texx]

Veamos si funciona:

Con el punto (-8,7) sustituyendo tendríamos

[texx]\lambda=-8
 [/texx]

[texx]7=\dfrac{3\lambda+59}{5}=\dfrac{-24+59}{5}
 [/texx] que es cierto.

El vector es [texx](\lambda,\dfrac{3\lambda}{5})
 [/texx], como lambda tiene que ser lo mismo en los dos, por estar usando la forma general de ambas cosas (o sea, tiene que ser -8) el vector aquí será

[texx](-8,\dfrac{-24}{5})
 [/texx].

No hay un punto objetivamente más “mejor” que otro, si hay cosas más sencillas o más bonitas; por ejemplo, queremos buscar que el punto sea de coordenadas enteras; entonces ya estamos más en una cuestión de divisibilidad que de álgebra.

[texx](\lambda,\dfrac{3\lambda+59}{5})=(n,m)
 [/texx]

Vamos a la igualdad de la segunda coordenada a ver qué hacemos

[texx]\dfrac{3\lambda+59}{5}=m
 [/texx]

[texx]3\lambda=5m-59
 [/texx]

O sea, tienes que buscar un múltiplo de tres de esta forma [texx]5m-59
 [/texx]. A ojo, para no entrar en cosas de teoría de números, vas dando valores; si m=1 [texx]3\lambda=5-59=-54
 [/texx], y -54 es divisible entre tres, entonces lambda es -18, por tanto, uno de los puntos con coordenadas enteras es (-18,1).

Vamos a ver si no me he equivocado en algo; nos daban el punto (-8,7) y yo he sacado el punto (-18,1); si resto ambas coordenadas de estos puntos tengo las coordenadas de un representante del vector director: (-18,1)-(-8,7)=(-10,-6). Y lo pruebo en la forma del vector general, a ver si encaja

[texx](-10,-6)=(\lambda,\dfrac{3\lambda}{5})
 [/texx]; o sea, que tiene que ocurrir [texx]-6=\dfrac{3\lambda}{5}=\dfrac{3(-10)}{5})\dfrac{-30}{5}
 [/texx]; y parece que no me equivoco.

Saludos.


Título: Re: De recta en forma general a vectorial
Publicado por: 0_kool en 07/12/2017, 08:20:09 am
Hola.

Es que ése que te dan no es el “punto apropiado”, es simplemente un punto.

Lo metódico para llegar desde la ecuación general a la vectorial es hallar las ecuaciones paramétricas, con ellas tienes unas expresiones en las que dando valores obtienes los puntos que quieras; es casi como lo que has hecho, pero cambiando la letra de una de las variables; tiene sus ventajas a la hora de hacer muchas cosas aunque parezca que no sirve para nada:

[texx]3x-5y+59=0
 [/texx]

[texx]x=\lambda
 [/texx]

[texx]y=\dfrac{3\lambda+59}{5}
 [/texx]

El punto genérico es


[texx](x,y)=(\lambda,\dfrac{3\lambda+59}{5})
 [/texx] donde lambda es cualquier número real.

Por otra parte pasa lo mismo con el vector, se puede hallar el general; volvemos a las paramétricas que teníamos

[texx]x=\lambda+0
 [/texx] (pongo cero porque es el término independiente del parámetro lambda, que siempre existe, como poco será cero)

[texx]y=\dfrac{3\lambda+59}{5}
 [/texx]

despejando las lambdas

[texx]x-0=\lambda
 [/texx] implica: coordenada x menos coordenada cero igual a lambda (o sea, coordenada de vector, lambda es la primera coordenada del vector).

[texx]y-\dfrac{59}{5}=\dfrac{3\lambda}{5}
 [/texx] implica lo mismo, [texx]\dfrac{3\lambda}{5}
 [/texx] es la segunda coordenada del vector.

Por tanto, la forma general del vector es [texx](\lambda,\dfrac{3\lambda}{5})
 [/texx] ó lo que es igual [texx]\lambda(1,\dfrac{3}{5})
 [/texx]

Así pues, la ecuación vectorial, para coordenadas x,y cualesquiera, es

[texx](x,y)=(\lambda,\dfrac{3\lambda+59}{5})+\lambda(1,\dfrac{3}{5})
 [/texx]

Veamos si funciona:

Con el punto (-8,7) sustituyendo tendríamos

[texx]\lambda=-8
 [/texx]

[texx]7=\dfrac{3\lambda+59}{5}=\dfrac{-24+59}{5}
 [/texx] que es cierto.

El vector es [texx](\lambda,\dfrac{3\lambda}{5})
 [/texx], como lambda tiene que ser lo mismo en los dos, por estar usando la forma general de ambas cosas (o sea, tiene que ser -8) el vector aquí será

[texx](-8,\dfrac{-24}{5})
 [/texx].

No hay un punto objetivamente más “mejor” que otro, si hay cosas más sencillas o más bonitas; por ejemplo, queremos buscar que el punto sea de coordenadas enteras; entonces ya estamos más en una cuestión de divisibilidad que de álgebra.

[texx](\lambda,\dfrac{3\lambda+59}{5})=(n,m)
 [/texx]

Vamos a la igualdad de la segunda coordenada a ver qué hacemos

[texx]\dfrac{3\lambda+59}{5}=m
 [/texx]

[texx]3\lambda=5m-59
 [/texx]

O sea, tienes que buscar un múltiplo de tres de esta forma [texx]5m-59
 [/texx]. A ojo, para no entrar en cosas de teoría de números, vas dando valores; si m=1 [texx]3\lambda=5-59=-54
 [/texx], y -54 es divisible entre tres, entonces lambda es -18, por tanto, uno de los puntos con coordenadas enteras es (-18,1).

Vamos a ver si no me he equivocado en algo; nos daban el punto (-8,7) y yo he sacado el punto (-18,1); si resto ambas coordenadas de estos puntos tengo las coordenadas de un representante del vector director: (-18,1)-(-8,7)=(-10,-6). Y lo pruebo en la forma del vector general, a ver si encaja

[texx](-10,-6)=(\lambda,\dfrac{3\lambda}{5})
 [/texx]; o sea, que tiene que ocurrir [texx]-6=\dfrac{3\lambda}{5}=\dfrac{3(-10)}{5})\dfrac{-30}{5}
 [/texx]; y parece que no me equivoco.

Saludos.

Muy  interesante tu explicación, llege a algo parecido sintanto detalle, gracias a ti y a resto


Título: Re: De recta en forma general a vectorial
Publicado por: Ignacio Larrosa en 07/12/2017, 08:41:04 am
Muy  interesante tu explicación, llege a algo parecido sintanto detalle, gracias a ti y a resto

Pero exactamente, ¿como son las preguntas y las respuestas entre las que hay que elegir? ¿puedes copiar un ejemplo?

Saludos,


Título: Re: De recta en forma general a vectorial
Publicado por: feriva en 07/12/2017, 09:04:12 am

Muy  interesante tu explicación, llege a algo parecido sintanto detalle, gracias a ti y a resto

De nada.

No había leído lo del test; pero una vez que sacas la forma general del punto como te he dicho (que se hace rápido) pues no tienes más que probar a ver cuáles de los puntos de las opciones encajan en la forma general; los que no sean puntos de la recta darán una igualdad falsa cuando sustituyas el lambda.

Saludos.


Título: Re: De recta en forma general a vectorial
Publicado por: 0_kool en 10/12/2017, 11:22:20 pm
La pregunta original dice:
¿Cuál de las siguientes ecuaciones vectoriales corresponde a la
ecuacion vectorial [texx]3x-5y+59=0[/texx]

a) (3,-5) +t(-5,59)
b) (5,3) +t(59,5)
c) (3,-5) +t(5,3)
d) (-3-10) +t(3,-5)
e) (-8,7)+t(5,3)

yo lo realice así

Bueno aqui A=3 , B=-5 , C=59


El vector director es[texx] \overrightarrow{d}=(−B,A)=(5,3)[/texx]
Como necesito un punto P , hago x=1y obtengo [texx]y=\displaystyle\frac{62}{5}[/texx]

luego  [texx]L:(x,y)=(1,\displaystyle\frac{62}{5})+t(5,3)[/texx]

pero la alternativa correcta es  [texx](−8,7)+t(5,3)[/texx]


Mi pregunta es como escoger el punto correcto y no perder el tiempo con otros puntos
correctos pero que no son parte de la alternativa


Título: Re: De recta en forma general a vectorial
Publicado por: sugata en 10/12/2017, 11:25:52 pm
Fijate que sólo tienes dos rectas con el vector director correcto.
Solo tienes que coger el punto de una y si no te da igual, es la otra.


Título: Re: De recta en forma general a vectorial
Publicado por: feriva en 11/12/2017, 06:40:36 am


Mi pregunta es como escoger el punto correcto y no perder el tiempo con otros puntos
correctos pero que no son parte de la alternativa

Hombre, alguna comprobación habrá que hacer, a no ser que des por suerte con el que es a la primera; pero claro que como te digo no pierdes el tiempo con otros puntos correctos; en la ecuación del punto general metes lambda = 3 y si la otra coordenada en función de lambda ya no es -5 (según la primera opción) pues ya sabes que ése no es:

[texx](3,-5)=(\lambda,\dfrac{3\lambda+59}{5})\Rightarrow\dfrac{3\cdot3+59}{5}=-5
 [/texx]

Se ve a ojo que 9+59 no es igual a -25, ése no es.

Lo que no debes hacer es dar un valor arbitrario a una coordenada, x=1, ¿por qué? Si haces eso clavas la otra coordenada, ya no la dejas tomar valores, tienes que trabajar con algo general, la pendiente o lo que sea, pero general.

*precisamente has ido a dar un valor a “x” que no sirve para nada, pero da en la ecuación general que te dan (que es algo general) estos valores “arbitrarios” ("arbitrarios", entre comillas) a “x”, a ver qué deduces: 3, 5, -3, -8

Saludos.