Topologías débiles:

Supóngase que es un espacio topológico y una función. ¿Existirá una topología en que haga de una función continua? La respuesta es evidentemente sí, basta tomar en a la topología discreta. Nos preguntamos ahora, si existe la menor de las topologías en que haga de una función continua, en el sentido de que cualquier otra topología en que haga a continua la contiene.

En efecto, dicha topología existe. Definamos , no es difícil comprobar que es una topología en tal que es una función continua. Más aún, si es una topología en que hace que sea continua, entonces .

Generalizamos a una colección arbitraria de funciones. Sea una colección de espacios topológicos y una colección de funciones. ¿Existirá la menor topología en que hace a una función continua para cada ? La respuesta es sí, y no es difícil verificar que dicha topología tiene como subbase al conjunto .

Nota: A la topología se le llama topología débil inducida por la familia .

Topología producto:

Consideraremos ahora un caso especial de topología débil (que es el caso en que nos interesa).

Sea una colección de espacios topológicos. Recordemos que el producto arbitrario de los está definido como el conjunto de funciones de elección. Esto es, definimos


Que por el axioma de elección, .

Como ya vimos en el apartado anterior, dada cualquier colección de funciones existe la menor de las topologías que hace a continua. Ésta será nuestra definición de topología producto, cuando las funciones en cuestión son las funciones proyección.

Definición 1: Para toda , definimos la j-ésima proyección dada por para toda .
Llamaremos topología producto en a la menor de las topologías que hace continua a cada proyección . Del apartado anterior de topologías débiles, tenemos el

Corolario 0: Si es el espacio producto, entonces una subbase del espacio es .

Lema 1: Si , entonces la proyección j-ésima es sobreyectiva.


Es natural preguntarse si el producto de topologías respeta ciertas propiedades topológicas. Es decir, ¿si cada factor es separable, será el producto separable? ¿Y viceversa? ¿si cada factor es regular, será el producto regular y viceversa? ¿Y la compacidad se preserva? El teorema de Tychonoff responde a esta última pregunta.

Demostración del Teorema de Tychonoff:

Antes que nada, recordemos la definición de compacidad de un espacio topológico.

Definición 6: Sea un espacio topológico. Diremos que es compacto si dada cualquier colección tal que se tiene que existen tal que . En este contexto, llamaremos a cubierta abierta de , y a una subcubierta finita de .

Proposición 3: Un espacio topológico es compacto si y sólo si para toda familia de subconjuntos cerrados de con la propiedad de la intersección finita, se tiene que


Proposición 4: Sea continua y sobreyectiva. Si es compacto, entonces es compacto.


Proposición 5: Sea un espacio topológico. Entonces son equivalentes:



Teorema de Tychonoff: Sea una colección de espacios topológicos y . Entonces es compacto si y sólo si es compacto para cada .