Bueno, a mí me interesa, pero no sé si al punto de hacerte gastar demasiado tiempo escribiendo.

En cuanto a la elección entre NFA y NFU, pienso que puede ser confuso, si es que en la literatura corriente se conoce como NFU.
El día que los hispanoparlantes dominemos el mundo nos podremos dar el lujo de elegir las siglas castellanizadas.

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Comparto plenamente esta reflexión, y como es una idea que no me cuesta entender en absoluto, es por eso que no necesito el "ejemplo educativo" de NFU. Perfectamente puedo imaginarme otras teorías en las que los axiomas no sean tal cual los de ZFC.

No veo nada "sagrado" en un axioma u otro.

Por ejemplo, hay mucha gente que ve como "sagrado" el Axioma de Elección.

Pienso que un tratamiento serio y profundo de la teoría de conjuntos tiene que dejar de lado el Axioma de Elección.
Eso no significa que haya que descartar la matemática actual, que se apoya enormemente en dicho Axioma.
De lo que se trata es, en realidad, de considerar a la matemática actual junto con el Axioma de Elección como "pequeñísimas subteorías" de teorías aún mayores y más generales.

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De NFU lo que me interesa es entender cómo funciona el tratamiento de los números cardinales y ordinales, y cómo se comportan respecto a las diversas jerarquías de conjuntos que allí hay.

Y también me intriga esto que has dicho de que es mejor ZFC, y que NFU no aporta nada.
¿Por qué considerás que la teoría NFU es limitada o inadecuada?
¿Qué se puede decir en ZFC o NBG que no se pueda decir o hacer en NFU?

¿No hay acaso alguna gran "clase" en NFU que sirva de simulación o modelo de ZFC?

Es conocido que la teoría de conjuntos usual, ZFC parte de dos nociones primitivas: la noción de conjunto y la noción de pertenencia. Esto significa que si queremos hacer matemáticas con rigor tenemos la obligación de dar una definición precisa de todos los conceptos que usemos (producto cartesiano, función continua, espacio compacto, etc.) excepto los dos anteriores. Las propiedades de los conjuntos y de la relación de pertenencia no se deducen de una inexistente definición de conjunto o de pertenencia, sino de los axiomas de la teoría de conjuntos.

La teoría original NF partía de las dos mismas nociones primitivas, pero, como hemos indicado, NFA introduce la distinción entre conjuntos y átomos, por lo que es necesaria una tercera noción primitiva. Las tres nociones primitivas de NFA son objeto, conjunto y pertenencia.

Aunque no tengan una definición "oficial", es conveniente explicar "extraoficialmente" qué pretenden significar estos objetos. La noción de objeto será la más general de todas: todos los entes de los que habla el lenguaje de NFA son objetos. Cuando escribamos o leeremos "para todo objeto " o "existe un objeto ".

Los objetos podrán ser de dos tipos: conjuntos o átomos. Por ello, el lenguaje formal de NFA constará de los signos lógicos usuales ( etc.) más otros dos signos, que representaremos por cto y .

La expresión la leeremos "el objeto es un conjunto", mientras que se leerá "el objeto pertenece al objeto ".

Aquí es esencial comprender que, ni hemos definido "objeto", ni hemos definido "conjunto", ni hemos definido "pertenencia". Simplemente acabamos de establecer un lenguaje apto para hablar de objetos, conjuntos y pertenencia sin definirlos. Daremos axiomas que especificarán qué propiedades tienen los objetos en general, los conjuntos en particular y la pertenencia y nos comprometeremos a definir con rigor cualquier concepto que no sea uno de estos tres.

Por ejemplo, podemos definir el concepto de átomo:

Definición: Diremos que un objeto es un átomo si no es un conjunto. Más formalmente, .

Conviene destacar el uso que haremos del signo . No es un signo lógico. Se lee "es una abreviatura de ". En este caso significa que cuando escribamos habrá que entender que se trata de una abreviatura de la expresión . Oficialmente, todas las definiciones matemáticas serán abreviaturas de expresiones previamente definidas, las cuales a su vez serán abreviaturas de expresiones previamente definidas, hasta llegar a expresiones que sólo contengan signos lógicos y los signos primitivos, cto y .

Por último, quiero advertir que este mensaje contiene una mentira piadosa: en realidad, por cuestiones técnicas, veremos luego que conviene añadir al lenguaje de NFA un último signo primitivo, un signo redundante que se podría omitir, pero a costa de hacer más complicada la exposición de la teoría. Lo introduciré dos mensajes después de éste (si sigo el plan que tengo en la cabeza).

En este mensaje añadiremos un signo primitivo al lenguaje de NFA, junto con un axioma que determine sus propiedades. La situación es muy delicada porque, a simple vista, tanto el signo como el axioma parecerán redundantes, cuando avancemos un poco (unos tres mensajes más) se verá que no es evidente que sean redundantes, pero lo cierto es que son redundantes, en el sentido de que el signo que introducimos como signo primitivo se puede definir y el axioma se puede demostrar.

En este punto es imposible explicar por qué (podré explicarlo dentro de tres mensajes), pero lo cierto es que introducir este signo y este axioma simplifican drásticamente la exposición de la teoría. Por otra parte, tanto el signo como el axioma tienen un aspecto claramente "inofensivo". Ahora podemos dar ya la definición definitiva del lenguaje de NFA:

Definición: Llamaremos lenguaje formal de NFA al lenguaje que consta de los signos lógicos más tres signos primitivos adicionales, el signo , el signo y el signo .

La expresión la leeremos "par ordenado de primera componente y segunda componente ". Al decir que es un signo primitivo estamos diciendo que no vamos a definirlo, sino que las propiedades de los pares ordenados estarán determinadas por el axioma siguiente:

Axioma de los pares ordenados: .

En palabras: Dos pares ordenados son iguales si y sólo si tienen la misma primera componente y la misma segunda componente.

De este modo, por el mero hecho de introducir el nuevo signo, estamos diciendo que, para cada par de objetos e , existe un tercer objeto (no especificamos si es un átomo o un conjunto) que representamos por , y el axioma de los pares ordenados dice que el objeto determina completamente cuál es su primera componente y cuál es su segunda componente.

Finalmente estamos en condiciones de presentar la teoría NFA completa, con todos sus axiomas. Para evitar que quede esparcida en varios mensajes incluyo aquí todo lo anterior:

Definición: Llamaremos NFA a la teoría axiomática cuyo lenguaje formal consta de los signos lógicos más los signos , y , y cuyos axiomas son los siguientes (en los que empleamos el convenio de que las mayúsculas representan conjuntos):

Extensionalidad:

Pares ordenados:

Formación de conjuntos: Para cada fórmula estratificada del lenguaje de NFA, .

Para que esto tenga sentido, sólo nos falta definir qué hemos de entender por "fórmula estratificada". La finalidad ya la hemos explicado: la estratificación es una propiedad que exigimos a las fórmulas para que definan conjuntos, de modo que así excluimos las fórmulas que dan lugar a contradicciones, como , pero permitimos muchas otras, incluso algunas que otras teorías de conjuntos prohiben.

Antes de entrar en la definición de fórmula estratificada, interpretamos el axioma de formación de conjuntos: Lo que afirma es que, para toda propiedad que cumpla la propiedad técnica que tenemos pendiente definir, existe un conjunto cuyos elementos son los objetos (conjuntos o átomos) que cumplen la propiedad (las otras variables representan parámetros que pueden aparecer en la propiedad, como los conjuntos arbitrarios y cuando consideramos la propiedad que define la unión de conjuntos.

El conjunto es único por el mismo motivo explicado en el mensaje anterior, luego podemos nombrarlo con una descripción:



En estos términos, el axioma de formación de conjuntos dice que podemos hablar del conjunto siempre que la propiedad que aparece en ella esté estratificada, pero en caso contrario nada nos asegura a priori que exista semejante conjunto.

En lugar de definir el concepto de fórmula estratificada definiremos algo ligeramente más general. Para ello debemos distinguir entre fórmulas, que son cadenas de signos que constituyen una afirmación, y términos, que son cadenas de signos que nombran objetos.

Por ejemplo, los axiomas de NFA son fórmulas, al igual que o , mientras que , , son términos, pues son expresiones que nombran objetos.

Para referirnos indistintamente a términos o fórmulas usaremos la palabra expresiones. Cada expresión puede contener varias subexpresiones. Por ejemplo, la expresión (fórmula en este caso) contiene las subfórmulas y , y la primera de ellas contiene los subtérminos y , y el primer término contiene como subtérminos a y a , etc.

Definición de expresión estratificada Una expresión del lenguaje de NFA está estratificada si admite una estratificación, donde una estratificación es cualquier criterio que asigne un número entero a cada subtérmino de la expresión dada, al que llamaremos su tipo, de modo que se cumplan las propiedades siguientes:

1) Si un mismo término aparece repetido varias veces en la expresión, el tipo que se le asigne debe ser siempre el mismo.

2) En cada subfórmula , los términos y deben tener el mismo tipo.

3) En cada subfórmula  , el tipo del término debe ser exactamente una unidad menor que el del término .

4) En cada subtérmino los dos términos y deben tener el mismo tipo, que a su vez debe coincidir con el tipo de .

5) En cada subtérmino su tipo debe ser el mismo que el tipo de la variable .

Como es fácil comprender, el concepto de estratificación es crucial en la teoría, así que dedicamos el resto del mensaje a familiarizarnos con él a través de ejemplos y algunas observaciones. A partir del próximo mensaje empezaremos ¡por fin! a trabajar con (o en) NFA.

El ejemplo crucial:

La fórmula no está estratificada.

Demostración:

Por consiguiente, la paradoja de Russell no puede demostrarse en NFA, sus axiomas no afirman que exista el conjunto , ya que la fórmula que (supuestamente) lo define no está estratificada.

Sólo con el propósito de practicar con el concepto de estratificación, vamos a ver que los axiomas de NFA están estratificados.

Extensionalidad

Pares ordenados

Formación de conjuntos

Un último ejemplo: Una fórmula  está estratificada si y sólo si los dos términos admiten una estratificación (conjunta, es decir, que los subtérminos de uno que también estén en el otro tengan el mismo tipo en ambos) en la que ambos tengan el mismo tipo.

Algunas observaciones finales:

Como vemos, NFA tiene únicamente tres axiomas, si bien ya hemos advertido que el segundo es redundante (un poco más adelante explicaré la situación) y el tercero es en realidad un esquema de infinitos axiomas (pero se puede probar que a partir de un número finito de casos particulares se pueden demostrar todos los demás, es decir, que NFA es finitamente axiomatizable). Recordemos también que, por puro perfeccionismo, podríamos añadir consistentemente el axioma de los átomos (el que afirma que los átomos no tienen elementos).

Si hemos insistido en los detalles técnicos de cómo se escriben formalmente los enunciados de NFA es por la necesidad continua que tendremos de comprobar que cada propiedad que usemos para definir un conjunto sea estratificada. Salvo por esta cuestión, a partir de aquí podremos aligerar considerablemente las cuestiones de lógica y pasar a razonar en términos ligeramente más informales.

En cuanto a la noción de estratificación, es preciso que todo aquel que quiera seguir estas explicaciones se familiarice en la práctica con el concepto. En la práctica uno tiene que ser capaz de ver una fórmula y decidir si está o no está estratificada. Siempre es posible hacerlo mediante un proceso finito, pero costaría más explicar un algoritmo general que enfrentarse directamente a cada caso particular. Estratificar es más o menos como resolver un sudoku.

No es necesario que uno adquiera la práctica ya mismo, sino que basta con que estudie atentamente los muchos ejemplos que vamos a ver y que, en cuanto uno se crea capaz de estratificar por sí mismo, que se abstenga de mirar las "soluciones" hasta que considere que ya no merece la pena pararse a hacer cuentas porque las domine sobradamente.

Algunas observaciones generales:

Notemos que todo término de NFA es una variable, un par ordenado o una descripción, por lo que, a la hora de estratificar, sólo tenemos (relativa) libertad para asignar tipos a las variables de la expresión. Una vez cada variable tiene un tipo asignado, todos los demás términos tienen asignado un único tipo por las condiciones 4 y 5.

Si en una estratificación sumamos un mismo número entero a todas las asignaciones de tipos obtenemos otra estratificación igualmente correcta. Esto es porque los términos que tenían el mismo tipo seguirán teniéndolo (luego se seguirá cumpliendo la regla 1), las igualdades que igualaban términos del mismo tipo seguirán haciéndolo (regla 2), las pertenencias seguirán manteniendo una unidad de diferencia entre sus términos, etc.

En particular, a la hora de estratificar una expresión, siempre podemos empezar por asignar un tipo arbitrario a una variable arbitraria, y a partir de ahí ir calculando tipos "obligados" de otras variables por las relaciones que hay entre ellas en la expresión estudiada.

Otra consecuencia del hecho de que podemos elevar simultáneamente todos los tipos en la misma cantidad es que podríamos haber definido el concepto de estratificación admitiendo únicamente tipos naturales en lugar de enteros, puesto que si una estratificación llega a asignar, por ejemplo, hasta el tipo , basta sumar a todos los tipos para tener otra en la que todos los tipos son naturales. No obstante, el admitir enteros flexibilizará ciertos razonamientos.

Hola, argentinator.

Gracias por tu mensaje. En general, agradecería a los lectores que me comunicaran todo lo que les resultara oscuro o que les suscitara cualquier clase de duda, o cualquier observación, como ha hecho argentinator, para tener la ocasión de aclarar lo que resulte necesario.


Estoy de acuerdo. Ya lo he corregido.


Yo creo que esta analogía es muy superficial (no digo que no sea natural planteársela, sino que, cuando uno se pone a pensar sobre ella, se da cuenta de que en el fondo son como sardinas y delfines, que se parecen, pero en el fondo no tienen nada que ver).

Fíjate que también podrías plantear una teoría MK con átomos, con lo que tendrías conjuntos, átomos y clases propias. Un átomo es un "objeto primitivo" (como las manzanas con las que puedes formar conjuntos de manzanas sin ser ellas mismas conjuntos), un conjunto es una colección de objetos, y una clase propia es un conjunto demasiado grande como para meterlo en otros conjuntos. Claro: en una teoría en la que sólo hay conjuntos y átomos, puedes definir un átomo como algo que no es un conjunto y no te complicas más la vida; en una teoría en la que sólo hay conjuntos y clases propias puedes definir una clase propia como una clase que no es un conjunto y no te complicas más la vida, pero eso es como si ves a un negro al lado de un blanco y dices que el negro es el que no es blanco, y luego ves a un cobrizo al lado de un blanco y dices que el cobrizo es el que no es blanco. Eso no significa que haya ninguna relación de identidad entre el negro y el cobrizo.

Si quisieras una teoría que incluyera átomos, conjuntos y clases, tendrías que introducir al menos dos signos básicos, digamos cto y atm y definir una clase como un objeto que no es un conjunto ni un átomo. Y nadie vería entonces ninguna relación entre clases y átomos.


La X mayúscula era una errata. Ya la he corregido. Gracias. Si era eso lo que no entendías ya está, pero si no era eso, el axioma NA afirma que no hay átomos, que todos los objetos son conjuntos, es decir, que la situación es la que se da en ZFC o en MK, donde todos los objetos son conjuntos, y los elementos de los conjuntos son más conjuntos. Pero fíjate que NA no es un axioma de NFA, al contrario, si añades NA a NFA obtienes la teoría NF, teoría que podrías introducir más fácilmente eliminando el signo cto del lenguaje y tomando el mismo axioma de extensionalidad de ZFC (dos objetos=conjuntos con los mismos elementos son iguales).



Claro, claro, eso es lo que acabo de decir, que, si quisiéramos añadir el axioma NA, sería más fácil no haber hablado de átomos desde un principio. Nosotros vamos a trabajar en NFA, donde sí que hay átomos (o, por lo menos, no se afirma que no los haya, no se sabe si es consistente que no los haya, pero sí que se pueden construir modelos de NFA en los que de hecho los hay). El axioma NA sólo sirve para relacionar lo que digamos con lo que puede decirse en la teoría NF. La verdad es que si no lo hubiera nombrado no se habría perdido nada importante.

Pero eso que quede claro: en NFA nadie dice que no haya átomos. De hecho, si suponemos el axioma de elección, se puede demostrar que sí que hay átomos.


Casi. Más bien comparar con la teoría original de Quine, NF. Pero, como ya digo, es más una curiosidad secundaria. No hay ninguna razón que yo conozca por la que sea interesante añadir el axioma NA a la teoría.


Gracias. De todos modos, creo que ésta es la parte más desagradable, porque la necesidad de definir la estratificación nos obliga a no alejarnos mucho del lenguaje formal. En cuanto sepamos manejar la estratificación con soltura, la exposición podrá hacerse menos técnica y más fluida (espero).

La impresión que tengo por tus observaciones es que has entendido muy certeramente todos los matices.


Esto confirma lo que acabo de decir, pues es una observación muy perspicaz. En efecto, la definición de ordinal (de ZF o MK) no está estratificada, la teoría de ordinales de von Neumann no funciona bien en NFA, pero en su lugar tenemos una definición alternativa de ordinal que funciona perfectamente y es mucho más fiel a la idea original: un ordinal se define como una clase de equivalencia de conjuntos bien ordenados respecto a la relación de isomorfismo. Eso en ZFC o en MK no funciona bien porque se trataría de una relación de equivalencia sobre una clase propia, y cada clase de equivalencia sería una clase propia, pero en NFA el conjunto de todos los conjuntos bien ordenados (entendidos como pares ) es un conjunto y no hay ninguna pega en definir los ordinales como clases de equivalencia, igual que definiremos el número natural 1 como el conjunto de todos los conjuntos de la forma , y el 2 como el conjunto de todos los conjuntos de la forma , con , etc.

Bueno, primero, decir que  "todo un honor"  haber contribuido a liar a Ivorra en NFU (o  NFA). Lo de rebautizar la teoría como NFA  me parece prudente,  simplemente por ser conciso: estamos prescindiendo del axioma de átomos. La apuesta de Ivorra es bastante fuerte, en principio pensaba que el axioma era eliminado de la teoría porque era demostrable a partir de los otros 3. Al releer los post me he dado cuenta de que no es eso lo que quiere decir. Lo destierra simplemente porque considera que los teoremas utiles se pueden deducir sin el. En cualquier caso, tampoco hay mucho  que discutir: Ivorra nos habla de una teoría que es NFA, deja claro su lenguaje, deja claro que trabajamos en logica de primer orden, y  deja claros sus 3  axiomas, el resto ya es demostrar y demostrar,y si llegasemos a una contradicción en NFA no se salvan ni NFU ni ZFC.

Una  puntualización (no necesariamente una corrección)  a raiz de un comentario de Argentinator:

 El axioma de estratificación dice que las formulas estratificadas necesariamente definen conjuntos, pero eso no implica que algunos objetos sólo definibles mediante formulas no estratificadas no puedan ser conjuntos. No es demasiado claro Holmes en su libro, y es aquí donde mi puntualización ya se transforma en  una duda: Cuando se refiere a los ordinales de Von Neumann Holmes afirma que podemos considerar que existen o que no existen. Creo que lo que trata de decir (evitandose usar la palabra "modelo") es que NFU tiene modelos con  ordinales de Von Neumann, y otros sin ellos;y  que por tanto es conveniente definir los ordinales de otra forma, que es la que comenta Ivorra, para asegurarnos que existen en la teoría (o sea, que existen en todos los modelos de la teoría). Lo que pasa es que eso de modelos sin ordinales de Von Neumann no es exactamente así: es trivial que el ordina de Von Neumann 0 (el conjunto vacio) ha de existir en todos los modelos de NFU. Me aventuraría a decir que los ordinales finitos también existen en todos los modelos de NFU. Pero de ser así ya me pierdo totalmente y no tengo nada claro que es eso de que "pueden existir pero también pueden no existir" en NFU.

Otros conceptos elementales que en NFA se definen sin dificultad son:

.

Es evidente que las fórmulas que los definen están estratificadas, con todas las variables, por ejemplo, de tipo .

Notemos que el criterio de que "las llaves aumentan el tipo una unidad" se cumple también en este caso:

Si es cualquier término estratificado, entonces también está estratificado, y su tipo es una unidad más que el tipo de .

(Pues , luego, partiendo de la estratificación de , hemos de asignar a la variable el mismo tipo que a y a una unidad más que a .)

Similarmente:

Un término de la forma está estratificado si y sólo si los términos y admiten una estratificación conjunta (es decir, tal que los subtérminos comunes tengan siempre el mismo tipo) que les asigne a los dos el mismo tipo, y entonces el tipo de es una unidad mayor.

Ahora es cuando todo aquel familiarizado con ZFC señala que podemos definir:

.

Pongo una estrella para distinguir esta definición del par ordenado que hemos tomado como signo primitivo. Es muy fácil probar que



Y entonces ¿para qué hemos introducido el par ordenado como signo primitivo y para qué hemos incluido el axioma de los pares ordenados entre los axiomas de NFA cuando teníamos la posibilidad de definir así el par ordenado y demostrar el axioma asociado?

La respuesta es que el par ordenado tiene una característica que lo distingue de y lo hace mucho menos conveniente que éste. Observemos que, por las observaciones precedentes sobre la estratificación de los pares desordenados, una estratificación del par que acabamos de definir es



de modo que el tipo de es dos unidades superior al de e . Más en general, un término está estratificado si y sólo si los dos términos y admiten una estratificación conjunta que les asigne el mismo tipo, y entonces el tipo del par es dos unidades mayor que el tipo de sus componentes.

En pocas palabras: el par ordenado aumenta dos unidades el tipo de sus componentes, mientras que, por la propia definición de estratificación, el par ordenado tiene el mismo tipo que sus componentes. Esto se expresa diciendo que el término es un par ordenado nivelado. Así pues:

Lo que afirma el axioma de los pares ordenados es que existe un par ordenado nivelado, es decir, un par ordenado que no aumenta el tipo de sus componentes. El par ordenado que se define en ZFC es un par ordenado no nivelado, luego no es equivalente en NFA al que hemos tomado como signo primitivo (no se puede hacer lo mismo con ambos).

Para ver las ventajas de contar con un par ordenado nivelado tendremos que esperar a hablar de funciones. Ahora bien, sucede que, pese a todo, aunque no hubiéramos tomado el par ordenado como signo primitivo, en NFA habríamos podido demostrar la existencia de pares ordenados nivelados (aquí hay ciertos matices que explicaré más adelante). El proceso habría sido el siguiente:

1) No suponemos la existencia de pares ordenados nivelados.

2) Definimos y con este concepto de par ordenado (estratificado, pero no nivelado) definimos los conceptos de relación, aplicación, etc., desarrollamos la teoría de cardinales, números naturales, etc. (para lo cual hay que hacer varios malabarismos por culpa de la estratificación)

3) Cuando tenemos suficiente teoría a nuestra disposición, demostramos que existen pares ordenados nivelados.

4) Entonces volvemos atrás y decimos: todo lo que hemos hecho hasta ahora con pares ordenados no nivelados, se puede hacer también con pares ordenados nivelados, pero más fácil, así que redefinimos los conceptos de relación, aplicación, etc. para considerar que son los definidos a partir de pares nivelados, volvemos hasta el punto al que habíamos llegado y a partir de aquí continuamos la teoría con pares ordenados nivelados.

Así, el postular desde un principio la existencia de pares nivelados nos ahorra las estrecheces de trabajar con pares no nivelados y la necesidad de rehacer todo lo hecho una vez disponemos de los pares nivelados.

Una última observación a este respecto es que en NF (es decir, si suponemos que no hay átomos, se puede demostrar la existencia de pares nivelados sin usar el axioma de elección (a la fuerza, porque el axioma de elección es contradictorio en NF), mientras que en NFA se necesita el axioma de elección, pero esto es lógico que sea así: en NFA tenemos un conjunto de átomos del que no sabemos nada, así que, ¿cómo vamos a emparejar "finamente" unos objetos de los que no sabemos nada sin realizar elecciones carentes de criterio explícito? No podemos hacer elecciones explícitas sobre unos objetos de los que no sabemos absolutamente nada, por lo que el axioma de elección se vuelve imprescindible. En este sentido se podría decir que al postular la existencia de pares nivelados estamos postulando un caso particular del axioma de elección, pero eso es una verdad a medias. También se podría pensar que estamos diciendo algo sobre los átomos: no sabemos nada sobre ellos salvo que se pueden emparejar bien, lo cual es un requisito razonable.

Definimos



El lector que quiera seguir esto en serio debería plantearse si es capaz de justificar que la fórmula que define el producto está estratificada, así como comprobar que el producto es un término estratificado. ¿Cuál es su tipo en relación al de y ?

Solución:

Sólo a modo de ejercicio (sin que nos vaya a aprovechar para nada más adelante): Si definimos el producto cartesiano con pares ordenados no nivelados , ¿cuál sería ahora la relación entre el tipo de y el tipo de cada factor?

Respuesta:

A veces, a la hora de definir subconjuntos de productos cartesianos, conviene emplear expresiones de la forma:



Observemos que esto es correcto siempre y cuando la fórmula admita una estratificación que asigne el mismo tipo a las variables y , pues esa es la condición necesaria y suficiente para que la fórmula esté estratificada. En tal caso, el término que acabamos de definir está estratificado y su tipo es una unidad mayor que el de las variables y .

Para terminar una cuestión "para sobresaliente":

Problema: La fórmula no está estratificada. Entonces, dado un conjunto , ¿podemos afirmar que existe el conjunto ?

Solución:

Hola,

Solo quiero felicitarte por el trabajo realizado y animarte a seguir, ya que a mí me interesa bastante el tema y lo voy a seguir con atención. Si ya te animaras a hacer una exposición no solo de la teoría de conjuntos en sí, sino de aspectos de la teoría de modelos de NFU (o NFA), sería genial.

Saludos

En este mensaje expondré los elementos básicos de la teoría de cardinales en NFA como base para construir los números naturales.

La definición básica es la siguiente:

Definición: Diremos que dos conjuntos e son equipotentes si existe una aplicación biyectiva . En signos:

biyectiva.

Observemos que esta fórmula está estratificada y en ella las variables e tienen el mismo tipo.

Las propiedades básicas de la equipotencia son:

1)

2)

3) .

Las tres se demuestran sin dificultad. No pongo las pruebas, pero si algún lector tiene dificultades en demostrarlas por sí mismo que me lo diga y las incluiré. En definitiva, estas propiedades afirman que la equipotencia es una relación de equivalencia sobre el conjunto de todos los conjuntos.

Definición: Llamaremos cardinal de un conjunto al conjunto de todos los conjuntos equipotentes con él, es decir:

.

Observamos que el término está estratificado y que su tipo es una unidad superior al de la variable . Ahora podemos probar la relación fundamental:

Teorema: Dos conjuntos son equipotentes si y sólo si tienen el mismo cardinal.


Definición: Llamaremos al conjunto de todos los cardinales, es decir:



Observemos que la fórmula que define a está estratificada, luego es un conjunto bien definido.

Vamos a definir una relación de orden en .

Definición: Diremos que un conjunto es minuspotente a un conjunto si existe una aplicación inyectiva. Equivalentemente:

inyectiva.

Así vemos que esta fórmula está estratificada con las dos variables del mismo tipo.

Definición: Diremos que un cardinal es menor o igual que un cardinal si existen conjuntos e tales que y .

Más precisamente, podemos definir como el siguiente subconjunto de :



La definición es correcta porque la fórmula está estratificada y asigna el mismo tipo a las variables y .

De este modo, si escribimos , tenemos que

.

Teorema: Para todo par de conjuntos , se cumple que .


En particular tenemos que si entonces , pues podemos considerar la aplicación inclusión dada por .

La relación que acabamos de definir es una relación de orden, es decir, cumple las tres propiedades siguientes:

Teorema:

1)

2)

3) .

Las propiedades 1) y 3) son muy sencillas y no pondré la demostración. (Pero insisto en que si alguien quiere que demuestre cualquier cosa que me salto sólo tiene que pedirlo. Me salto cosas por aligerar un poco, pero lo que haga falta probar, se prueba. Incluso si alguien quiere completar el hilo añadiendo pruebas de cosas no demostradas, yo las revisaré con mucho gusto.)

La propiedad 2) es el teorema de Cantor-Bernstein, y se prueba exactamente igual que en ZFC, pero incluiré la prueba por si alguien tiene curiosidad y no conoce la demostración. Necesita un teorema previo:

Teorema de punto fijo: Sea un conjunto y una aplicación con la propiedad de que si entonces .  Entonces existe un tal que .


Teorema de Cantor Bernstein Dados dos conjuntos e , si e , entonces .


La propiedad antisimétrica de la relación de orden entre cardinales (propiedad 2) es simplemente el teorema de Cantor-Bernstein en términos de cardinales en lugar de en términos de conjuntos.

En estos momentos no podemos demostrar que porque esta propiedad requiere el axioma de elección, y todavía no lo hemos incorporado a la teoría. Por otra parte, tampoco necesitamos esto para nada, de momento.

Por ahora sólo podemos añadir lo siguiente a las propiedades de la relación de orden:

Teorema: Existe un mínimo cardinal y un máximo cardinal .


Para definir la suma de cardinales observamos primero lo siguiente:

Teorema: Dados dos cardinales y existen conjuntos tales que y .


Definición: Llamaremos suma de cardinales a la aplicación definida como sigue: dados dos cardinales y , tomamos conjuntos disjuntos tales que y y llamamos .

Más técnicamente:

.

Es evidente que existe el conjunto (la definición está estratificada), pero no es evidente que se trata realmente de una aplicación . Ciertamente, es un conjunto de pares ordenados con primera componente en y segunda componente en , pero hemos de probar que cada par de cardinales tiene una única imagen .


En definitiva, tenemos el teorema siguiente:

Teorema: Si e son conjuntos disjuntos, entonces .

Ahora es fácil probar que la suma de cardinales es asociativa, conmutativa y que tiene como elemento neutro al . Dejamos todos estos hechos como ejercicios.

No estamos en condiciones de calcular sumas explícitamente, pero hay dos muy sencillas: y .

El producto de cardinales se define sin dificultad:

Definición: Definimos el producto de cardinales como la aplicación que se calcula como sigue: tomamos conjuntos tales que y y entonces .

Explícitamente:



Como en el caso de la suma, es inmediato que la definición está estratificada, pero hay que probar que este producto es realmente una aplicación de en . El argumento sigue exactamente el mismo esquema que para la suma, así que lo omitimos.

De este modo tenemos:

Teorema: Para todo par de conjuntos, se cumple que .

Dejamos también como ejercicio las propiedades obvias: el producto de cardinales es asociativo y conmutativo, además y el producto tiene como elemento neutro al cardinal

.

Ejercicio: Probar que es el menor cardinal mayor que .


En el próximo mensaje construiremos los números naturales.

Describiremos aquí los elementos básicos de la teoría de ordinales. Empezamos recordando la definición de conjunto bien ordenado, principalmente para constatar que está estratificada.

Definición: es un conjunto bien ordenado si y además

1) ,

2) ,

3) ,

4) .

Es facil ver que todas estas condiciones están estratificadas. La última dice que todo subconjunto de no vacío tiene un mínimo elemento. Este mínimo es único, pues si cumplen la condición, tendríamos que y , luego por 2).

Esto nos permite definir

,

y así observamos que el término está estratificado y que su tipo es una unidad menor que el tipo de .

Observemos que todo conjunto bien ordenado está totalmente ordenado, es decir, . Basta tener en cuenta que tiene mínimo.

En general, si es un conjunto ordenado (no necesariamente bien ordenado) y , podemos considerar el segmento inicial determinado por :

.

El término está estratificado y su tipo es el mismo de y una unidad mayor que el de .

A menudo abusaremos de la notación escribiendo , cuando en lugar de habría que escribir .

Para completar la construcción de los números naturales del mensaje anterior faltaría probar lo siguiente:

Teorema: es un conjunto bien ordenado.


Definición: Diremos que es una semejanza si y son conjuntos bien ordenados, biyectiva y . Dos conjuntos bien ordenados son semejantes si existe una semejanza entre ellos.

Observemos que la definición de semejanza está estratificada con todas las variables del mismo tipo. Naturalmente se puede definir el concepto de semejanza para conjuntos no necesariamente bien ordenados, pero si no están totalmente ordenados hay que pedir que la inversa conserve también el orden.

Es fácil probar que la identidad de un conjunto bien ordenado en sí mismo es una semejanza, que la inversa de una semejanza es una semejanza y que la composición de semejanzas es una semejanza. En general, las semejanzas conservan todos los conceptos definidos en términos de la relación de orden (por ejemplo, si es el mínimo de entonces es el mínimo de , o también, , etc.)

El siguiente hecho elemental tiene consecuencias importantes:

Teorema: Sea un conjunto bien ordenado y inyectiva tal que . Entonces .


De aquí deducimos:

Teorema: Un conjunto bien ordenado no es semejante a ninguno de sus segmentos iniciales.


El hecho básico no trivial sobre conjuntos bien ordenados es el siguiente:

Teorema: Dados dos conjuntos bien ordenados, o bien son semejantes, o bien uno es semejante a un (único) segmento inicial del otro.

---

Con esto tenemos suficiente para definir los ordinales:

Definición: Si es un conjunto bien ordenado, definimos su ordinal como el conjunto de todos los conjuntos bien ordenados semejantes a , es decir,

.

Observamos que el término está estratificado y tiene tipo una unidad mayor que el de y el de .

Llamaremos al conjunto de todos los ordinales, es decir:



Razonando exactamente igual que con los cardinales (cambiando biyección por semejanza) se prueba que:

Teorema: Si y son dos conjuntos bien ordenados, entonces

.

Como en el caso de los cardinales, podemos definir una relación de orden en el conjunto de los ordinales:





La demostración del teorema siguiente es también análoga a la correspondiente para cardinales (y en ella está implícito que  la definición de la relación de orden no depende de la elección del conjunto ordenado que representa a cada ordinal):

Teorema: Si y son conjuntos bien ordenados, entonces



.

En definitiva: un conjunto bien ordenado tiene ordinal menor o igual que otro si ambos son semejantes (y entonces los ordinales son iguales) o bien el primero es semejante a un segmento inicial del segundo.

Observemos que si un conjunto bien ordenado es semejante a un segmento inicial de otro, entonces no pueden ser semejantes entre sí, pues entonces el segundo sería semejante a un segmento inicial propio, y ya hemos visto que eso es imposible. Por lo tanto, podemos precisar:

Teorema: Si y son conjuntos bien ordenados, entonces

.

Más informalmente: el ordinal de es menor que el ordinal de si para ordenar un conjunto como hay que empezar ordenando parte de sus elementos como y luego añadir unos cuantos más detrás.

Hemos probado que, dados dos conjuntos bien ordenados, o bien son semejantes, o bien uno es semejante a un segmento del otro. Esto tiene la traducción inmediata según la cual dados dos ordinales y , o bien , o bien , o bien . En definitiva, la relación de orden en es total. Más aún:

Teorema: es un conjunto bien ordenado.


En particular es fácil ver que el menor ordinal es el ordinal cero, definido como

,

es decir el ordinal del conjunto vacío con la relación vacía, que es trivialmente un buen orden en el conjunto vacío, por la lógica "cínica" del vacío.

Teorema: No existe un máximo ordinal o, equivalentemente, todo ordinal tiene un ordinal inmediatamente mayor al que llamaremos .


Notemos que el término está estratificado con el mismo tipo que , pues puede definirse como . (Las llaves suben el tipo una unidad, pero el mínimo lo vuelve a bajar.)

Notemos que hay una diferencia notable entre cardinales y ordinales: mientras que hay un máximo cardinal , no hay un máximo ordinal.

Añado un último teorema elemental que hará falta luego:

Teorema: Si es un conjunto bien ordenado y , entonces

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Esbozamos a continuación las definiciones de suma y producto de ordinales sin entrar en detalles, porque no nos van a ser necesarias posteriormente.

Definición: Si y son dos conjuntos bien ordenados definimos su suma como el conjunto bien ordenado , donde la relación viene dada por

,

Es decir, la suma es un conjunto que contiene un subconjunto ordenado como y otro ordenado como