Hola a todos! Aprovecho para presentarme y de paso exponer mi duda/problema.
Estoy estudiando 4º de ESO en Córdoba, España. Fuera de la materia que hemos dado hasta ahora, no tengo mucha idea, así que tratad de ser lo más simples que os sea posible, por favor.

Mi problema es el siguiente:
He estado tratando de "unir" o "combinar" 2 sucesiones de números enteros para que la sucesión resultante contenga todos los números tanto de la 1ª sucesión como de la 2ª.

Un ejemplo:
Dados los términos generales de las sucesiones (la de todos los múltiplos de 2) donde y (la de todos los múltiplos de 3) donde , necesito hallar el término general de una sucesión numérica que incluya todos los términos de ambas sucesiones. Es decir, donde .

Me ha sido fácil hallar la fórmula recursiva de la sucesión ()*, pero esto no me vale, lo que quiero encontrar es el término general.

*Como no se ve claro, esta fórmula indica P_n=(P_(n-4))+6, es decir, Para P_6 sería P_2(en este caso valdría 3)+6, que sería igual a 9.

Muchas gracias

No puedo resistir la tentación de felicitarte. Tu redacción (ortográfica, semánticamente,...) está  a astronómica distancia por encima de la media que se ve en la ESO. En otras palabras: muy a la derecha del punto de inflexión (de la derecha) de la correspondiente distribución normal.

Bueno, no está mal que encuentres una fórmula, aunque recursiva, para casos particulares.

¿Qué tan general quieres que sea la respuesta?, ya que me temo que no es posible resolver el problema con toda generalidad de manera compacta.

Saludos.

Entiendo, muy ingenioso

Si no es mucho pedir, tenía una pregunta más:
Una vez hemos obtenido la sucesión combinada, ¿es posible combinarla a su vez con otra del mismo tipo?
Por ejemplo, una vez tenemos la combinación de , ¿podríamos combinarla con, por ejemplo, ?
¿O combinarlas directamente las 3 a la vez?

Muchas gracias por la ayuda

Sí, de eso ya me di cuenta, entiendo por qué funciona la fórmula que me has dado, lo que no soy capaz de hacer es generalizarla para (como dices) .

La verdad es que no sé que es iterar una combinación, pero aun así, ¿a qué te refieres con que no me va dar el resultado que busco? ¿Qué me dará?

Gracias de nuevo y perdón si algunas preguntas parecen obvias.

Hola

 La forma natural de generalizar la fórmula:



 para periodicidad es construir la función:



 donde es la raíz primitiva enésima de la unidad.

 De manera más compacta:



 Es (relativamente) fácil ver que:



 Si uno quiere evitar trabajar con complejos la fórmula sobre los enteros equivale a:



Saludos.

Hola

 En realidad si no entramos en su justificación es suficiente que te centres en la última versión de la fórmula:



 El sumatorio indica que sumamos el término indicado, para todos los valores de comprendidos entre y , es decir:



 Por ejemplo para :



 y puedes ver que se cumple:



 En cuanto a lo que es la raíz enésima primitiva de la unidad. Fíjate en lo siguiente:

 Sabes bien que tiene dos raíces cuadradas, es decir, hay dos números que elevados al cuadrado dan : el y el . O dicho de otra manera la ecuación:



 tiene dos soluciones y .

 Fíjate que esas soluciones pueden escribirse como:



 Por eso se dice que es una raíz primitiva cuadrada de (de la unidad) porque todas las demás raíces cuadradas son potencia de ella:



 Esto generaliza. De igual forma la ecuación:

 

 tiene tres soluciones. El problema que es que no son todas soluciones reales, sino que algunas son números complejos.

 Eso es lo mismo que decir que hay tres raíces terceras de la unidad.

Me paro aquí: para seguir con la explicación es necesario que sepa si conoces algo sobre números complejos.

Saludos.

Hola


Si has usado una calculadora "típica" intuyo que el problema puede estar en que calcula las razones trigonométrias para ángulos en grados; debes de ponerla en modo "radianes" para que calcule las razones trigonométricas de ángulos en radianes.

 Fíjate que por ejemplo:




 Correcto. Ahora puede probarse que raíces enésimas de la unidad, es decir, las soluciones de la ecuación son:









 Se cumple que:



 es decir todas las raíces son potencias de , y por tanto es una raiz primitiva enésima de la unidad.

 En fin, todo esto es una forma acelerada de contar la "historia". A partir de aquí comienza a preguntar las dudas si quieres, que debieran de ser muchas. 

Saludos.

Hola

 Comencemos con la trigonometría.

 No estoy seguro si conoces los radianes como unidad de medida de los ángulos. Un radián es el ángulo que corresponde al arco de circunferencia de medida igual al radio de la misma. Como bien sabrás la longitud de una circunferencia de radio es y por tanto radianes equivale a tomar toda la circunferencia, es decir, un ángulo de grados.

 De ahí y por una simple regla de tres puede obtenerse la relación entre grados y radianes:



 Dado que media circunferencia o un ángulo de grados corresponde a radianes es muy común expresar un ángulo en radianes a través de fracciones de . Por ejemplo:

  radianes serían grados o equivalentemente un cuarto de circunferencia.

  radianes serían grados o equivalentemente un sexto de circunferencia.

  radianes serían grados o equivalentemente un tercio de circunferencia.

 En cuanto a las razones trigonométricas, en el siguiente dibujo está representado un triángulo rectángulo de hipotenusa una unidad. Por tanto sus catetos y según la definición que tu has expuesto corresponden al seno y al coseno del ángulo indicado en verde. Moviendo el punto verde puedes modificar el ángulo y ver como varían las correspondientes razones trigonométricas.

 Nota que la definición que conoces de seno como cociente entre cateto opuesto e hipotesnusa y coseno como cociente cateto contiguo e hipotenusa, es válida para ángulos comprendidos entre y grados, pero se queda "corta" para un ángulo más general. En ese caso nota que el coseno y el seno de un ángulo corresponden respectivamente a las coordenadas e de un punto que recorre la circunferencia de radio uno y centro el origen, sobre un sistema de coordenadas cartesiano.

 "Juega" con el dibujo y de ahí analiza el porqué toman unos u otros valores.

DISCULPE, LA APLICACIÓN EMBEBIDA GeoGebra NO PUDO INICIARSE. POR FAVOR, ASEGÚRESE DE TENER INSTALADO Y ACTIVADO EN SU NAVEGADOR JAVA 1.4.2 (o posterior) (Toque aquí para instalar Java ahora.)
 Entendido esto proseguiremos.

Saludos.

Hola


No estoy seguro de a que te refieres con esto. Un cateto coincide con la hipotenusa en los casos extremos de ángulos de cero o noventa grados, donde nuestro triángulo degenera a un segmento.


Tampoco sé muy bien que quieres decir con esto. Efectivamente para seno y coseno son iguales y valen . Pero no sé muy bien a que te refieres con lo demás.


Correcto y fundamental: las razones trigonométricas sólo dependen del ángulo.


¡Claro!. Un ángulo no recto de un triángulo rectángulo no puede valer más de 90 grados, por eso te hago la observación marcada en rojo. ¿Sabes lo que son las coordenadas de un punto en un sistema de coordenadas cartesiano?.

Saludos.