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Nota: Este thread forma parte del tema

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Construcción de los Sistemas Numéricos.

Sección 4. Números Reales.

La estrella principal de toda esta saga de sistemas numéricos es, sin duda,
el de los números reales.
Constituyen ellos el lenguaje fundamental de la matemática moderna,
sobretodo si pensamos en la matemática como herramienta aplicada a otras ciencias.

A lo largo de todo el thread se dan definiciones, axiomas, teoremas y demostraciones,
cuyos detalles se colocan la mayoría de las veces dentro de los "spoilers" (o desplegables).
Esto permite navegar a través del esqueleto general de la teoría,
dejando los detalles intrincados para cuando a uno se le dé la gana mirarlos.

Aún así, sugiero a los lectores que vayan abriendo los desplegables,
al menos para curiosear en los varios dibujillos que tanto trabajo  me ha costado confeccionar  ,
con la esperanza de que ciertas ideas "entren"  mejor en las distintas cabezas. 

• Recomendación: Abrir sólo unos pocos spoilers a la vez. Si se abren muchos o todos, no se podrá visualizar el post en forma completa  debido a que es muy extenso.    

En los dos desplegables que siguen haremos divagaciones introductorias acerca de
la necesidad de construir el sistema de los números reales,
y daremos una idea de más o menos "hacia dónde" se apuntan los dardos,
primero desde un punto de vista geométrico,
y luego desde un punto de vista algebraico.

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Subsección 4.1.
Motivaciones geométricas de la noción de número real.

Los números racionales sirvieron a muchos propósitos de medición de terrenos en la antigüedad, permitiendo considerar pequeñas subunidades de una unidad de medida principal, dando de este modo una medición exacta de cierta longitud o área.
Pero los griegos advirtieron, en la escuela de Pitágoras, que había ciertas magnitudes geométricas que no podían expresarse siempre como una razón o proporción entre dos números enteros. El ejemplo típico de esta anómala situación se produce en figuras geométricas tan sencillas como el cuadrado.

Imaginemos un cuadrado de lado igual a 1 unidad (un metro, digamos). ¿Cuánto mide su diagonal?
Si tenemos un cuadrado , el segmento es una diagonal, y obtenemos también que es un triángulo rectángulo cuyos catetos miden , y su hipotenusa es la diagonal del cuadrado.
Por Teorema de Pitágoras, la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.
Esto implica que , donde denota la longitud de .
O sea, se debe cumplir la igualdad .

¿Es posible expresar como un cociente de números enteros?
Existe una clásica y sencilla prueba (algebraica) de que esto no es posible, pero no la incluiremos en este lugar (quizá sí en otro post más adelante).

Este hecho causó mucha intriga en los pitagóricos, y mantuvieron esta verdad en secreto, porque ponía en tela de juicio su dogma espiritual de que "todo es número".
Para ellos "número" significaba lo que para nosotros en el siglo 21 es "número natural". O sea, la realidad podría explicarse usando sólo "números naturales".
Pero la diagonal del cuadrado contradecía esto directamente.
Más aún, se percataron de que era posible "aproximar" la medida de la diagonal por razones (hoy diríamos: números racionales) tales que su numerador y denominador se hacen cada vez más grandes a medida que la aproximación mejora.
Los griegos no lograron medir la diagonal del cuadrado, a pesar de que lo que estaban haciendo... estaba bien encaminado. Su problema era la negativa a cambiar de paradigma.


Si ponemos el cuadrado con lado 1 en el origen, pegado al eje de abscisas, trazamos la diagonal, y luego con un compás trasladamos la medida de la diagonal hasta el eje de abscisas, vemos que le corresponde un punto concreto.
O sea, geométricamente, la diagonal de un cuadrado es una magnitud que puede trabajarse como cualquier otro segmento, pudiendo decir si es mayor o menor a otros segmentos, aplicarles proporcionalidad, y un largo etcétera.
Cuando ponemos todas estas magnitudes juntas en una línea recta obtenemos un sistema algebraico totalmente ordenado, que contiene estrictamente a los puntos que corresponden a números racionales (razones de enteros).
Se puede ver en la recta que los racionales 1.4, 1.41, 1.414, etc, se van aproximando cada vez más al punto que "mide" la magnitud de la diagonal del cuadrado de lado 1, pero nunca se obtiene exactamente dicho punto.

(Si bien las aproximaciones las hemos expresado con dígitos en base decimal, la situación es análoga en cualquier otra base, pero esa es otra historia...)

En la actualidad consideramos que los puntos de una línea recta en sentido euclidiano, conforman un sistema de "números", y así cada punto de la recta corresponde a un número y recíprocamente.
En particular, los números racionales, a pesar de ser muy "densos" (siempre se pueden obtener dos números racionales tan cerca como uno quiera), no son capaces de "llenar" completamente la recta.
La recta "llena" permite, mediante traslaciones y rotaciones, representar la magnitud de cualquier segmento de la geometría euclidiana.

Estamos ante una "exhaustividad" geométrica, si se quiere, en el sentido de "medición de magnitudes".

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Como hemos hecho hasta ahora, comenzaremos dando los números reales a partir de una lista de axiomas, luego probaremos que estos axiomas dan esencialmente un único sistema posible de números reales, seguidamente veremos que el sistema incluye en su seno "copias" de los números racionales, y por último demostraremos que la teoría es no vacía, construyendo algún modelo que verifica la lista de axiomas.

En el caso de los números reales hay varias maneras alternativas de llevar a cabo la construcción de un modelo. Todas ellas son importantes, y las estudiaremos con cuidado.

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Subsección 4.3. Axiomas de los Números Reales.

Los entes primitivos del Sistema Axiomático de los números reales serán .
Los Axiomas de los números reales son los siguientes:

• Axioma 1. El quinteto es un cuerpo con identidad respecto la adición e identidad respecto el producto .
  
  Los detalles de lo que esto significa son idénticos a lo explicado en el Axioma 1 del post de números racionales, y no vale la pena repetir todo de nuevo.
  Podemos resumir un poco diciendo lo siguiente:
  
  • La terna es un grupo conmutativo con identidad .
  • La terna es un grupo conmutativo con identidad .
  • El producto distribuye a la suma en .
  
  
• Axioma 2. es una relación de orden total en .
  
  Los detalles son los mismos que los del Axioma 2 del post de números racionales, y no vale la pena repetir todo de nuevo.
  
  Se dice que un elemento es positivo si , y se dice negativo si .
  Se dice que un elemento es no negativo si , y se dice no positivo si .
  
  
• Axioma 3. La suma y el producto son monótonas respecto el orden
  
  Se trata de las mismas propiedades enumeradas en el Axioma 3 del post de los números racionales, y no vale la pena repetir todo otra vez.
  
  
• Axioma 4 (de la cota superior mínima). Si un subconjunto no vacío de tiene una cota superior, entonces el conjunto de todas las cotas superiores de tiene un elemento mínimo.
  
  
  Spoiler: (El significado detallado de esto: abriendo el desplegable) (click para mostrar u ocultar)

  
  Un elemento es una cota superior de un subconjunto de ,
  si para todo elemento se cumple que .
  Notemos que puede ser un elemento de o no, según se dé el caso.
  
  Un elemento es un elemento mínimo de un subconjunto de ,
  si es un elemento de , y además para todo se cumple que .
  Se denota en este caso .
  
  Tomemos un conjunto no vacío, y sea el conjunto de todos los elementos que son cotas superiores de .
  Decir que tiene alguna cota superior equivale a decir que es no vacío.
  
  El Axioma afirma ahora que existe un elemento que es el mínimo de .
  En otras palabras, de entre todas las cotas superiores de , hay siempre alguna que es la mínima de todas ellas.
  
  

  

  
  En el dibujo se han convertido los puntos correspondientes a números reales en "palitos" apoyados sobre la recta numérica.
  El conjunto contiene los puntos/palitos de color marrón,,
  mientras que el conjunto de cotas superiores de contiene los puntos/palitos de color azul.
  En realidad, sólo hemos puesto unos pocos puntos/palitos del conjunto , ya que todo lo que está "a la derecha" del punto/palito de color púrpura es una cota superior de .
  Finalmente, el punto/palito de color púrpura es la mínima de todas las cotas superiores del conjunto .
  O sea, que el punto/palito de color púrpura está en , y por lo tanto debiera estar en color azul.
  Pero lo he dibujado con otro color porque ese punto/palito también podría estar en el conjunto , o sea, sería un punto/palito de color marrón.
  Nos preguntamos si ese punto/palito púrpura está en .
  La respuesta es: a veces sí, y a veces no. Cuando está, es el máximo de .
  
  Se ha procurado ilustrar también el hecho de que el punto/palito púrpura, la mínima cota superior de , se "ajusta" estrechamente al conjunto .
  
  
  
  
  

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Observemos que los primeros 3 Axiomas son idénticos a los dados para los números racionales.
Se trata de los axiomas de cuerpo ordenado.
Por lo tanto, todas aquellas propiedades de los números racionales que se han demostrado usando sólo esos 3 Axiomas y sus consecuencias directas, son también válidas para los números reales.

Por ejemplo, en el siguiente post damos una lista de 6 lemas que siguen siendo válidos en el contexto de los números reales, ya que sus demostraciones dependen sólo de los axiomas de cuerpo ordenado.

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Subsección 4.5. Propiedades estructurales básicas de los Números Reales.

Lo primero que vamos a probar es que existe un subsistema de que satisface los axiomas de los números racionales

• Teorema 0. Existe un subconjunto de , que contiene al elemento 1 (el neutro de la multiplicación), de tal suerte que es isomorfo al sistema de los números naturales, donde es la función definida por . Más aún, ese conjunto es único.
  
  La demostración se hace del mismo modo que como expusimos en el Teorema 0 del post anterior dedicado a los números racionales.
  Tan sólo basta cambiar la letra por la letra en todas las apariciones de esa demostración, así como también se cambian las apariciones de la palabra "racional" por la palabra "real".
  
  
• Definición. Llamamos al único conjunto obtenido en el Teorema 0, subconjunto de números naturales contenido en .
  
  Consideremos el conjunto .
  Denominamos a el subconjunto de enteros de .
  
  Finalmente, consideremos el conjunto .
  Denominamos a el subconjunto de racionales de .
  
  
• Teorema 1. El sistema donde es el subconjunto de enteros de , satisface los Axiomas de los números enteros. Además, ese conjunto es único.
  
  La demostración depende tan sólo los axiomas de cuerpo ordenado, y por lo tanto es idéntica a la que ya hemos dado en el Teorema 1 del post de números racionales.
  
  
• Teorema 2. El sistema donde es el subconjunto de racionales de , satisface los Axiomas de los números racionales. Además ese conjunto es único.
  
  
  Spoiler: Demostración (abrir desplegable) (click para mostrar u ocultar)

  
  En primer lugar, probemos que el subconjunto antes definido es cerrado por operaciones de suma y producto.
  
  Para ello, sean . Por definición de , existen , , tales que , .
  Tenemos ahora que
  
  

  

  
  Como es fácil comprobar, , o sea que el recíproco multiplicativo de coincide con , o sea: . Esto permite terminar el cálculo anterior:
  
  

  

  
  Ahora bien, es claro que es un elemento de , y que es un elemento de . Esto muestra que es un elemento de .
  
  Además
  
  Claramente, es un elemento de , y es un elemento de .
  Esto muestra que es un elemento de .
  
  Más aún, los opuestos y recíprocos de elementos de están aún en . Veamos:
  Si entonces existen tales que .
  Tenemos que
  Como está en , esto prueba que está en .
  
  Supongamos adicionalmente que . En ese caso, es claro que no puede ser , luego existe el recíproco de en .
  Definamos
  Puede ocurrir que , o que .
  Sea en primer lugar . Tenemos que , y porque .
  Así que .
  Si , entonces y .
  También tenemos que , como es fácil de comprobar. Ahora escribimos
  
  

  

  
  Claramente , con lo cual .
  
  Finalmente, es sencillo verificar que , con lo cual .
  
  A continuación, es inmediato que todos los axiomas de cuerpo ordenado se cumplen en , porque las propiedades de de los axiomas 1, 2 y 3, se heredan a cualquier subconjunto de él.
  Dejamos al lector convencerse de esto, mirando una a una las propiedades correspondientes.
  
  Por lo tanto, el sistema satisface los axiomas de cuerpo ordenado.
  
  Falta comprobar el axioma 4 de los números racionales.
  Primero notemos que , por ser un cuerpo ordenado, tiene asociados sus propios subconjuntos de naturales y enteros.
  Nos preguntamos si coincide con , y si coincide con .
  Según los Teoremas 0 y 1, los subconjuntos de que satisfacen los axiomas de números naturales y enteros y que contienen al elemento , son únicos, y por lo tanto necesariamente .
  
  Necesitamos probar que, dado , existen tales que
  Pero ahora estamos tranquilos, porque esto es lo mismo que decir que existen tales que
  Por la mera definición de , existen tales que . Por lo tanto
  
  Esto culmina la prueba de que satisface los Axiomas de números racionales.
  
  Supongamos que hubiese otro subconjunto en que satisfaga los Axiomas de números racionales.
  Naturalmente, tal contiene al número 1, y también contiene respectivos subconjuntos de naturales y enteros, los cuales, por ser subconjuntos de , han de coincidir con y respectivamente.
  Ciertamente, el recíproco de todo elemento de ha de estar en , y también los productos , con , también han de estar en , por tratarse de un cuerpo.
  Esto muestra que .
  A su vez, por el Axioma 4 de números racionales, resultará que todo elemento de es de la forma anterior, así que
  
  Adicionalmente, se puede comprobar (ya con un poco de hartazgo), que la función identidad , es un isomorfismo entre sistemas de números racionales.
  
  Esto culmina la prueba.
  
  
  
  

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Subsección 4.7. Equivalencias con la cota superior mínima. Arquimedianeidad y sucesiones de Cauchy.

El Teorema 3 no es la última palabra en lo que respecta a propiedades equivalentes a la de la cota superior mínima. En lo que sigue buscamos dar una última e importante "puntada" en este asunto tan fundamental.


Para entender cabalmente a los números reales, es conveniente estudiar una propiedad geométrica llamada propiedad arquimediana, y una propiedad topológica llamada convergencia de sucesiones de Cauchy.
La propiedad arquimediana nos dice que ningún número real puede ser ni demasiado grande, ni demasiado pequeño.
La propiedad de convergencia de sucesiones de Cauchy nos dice que si una sucesión se va apiñando cada vez, es que tiene límite.

En los siguientes spoilers vamos a dar las definiciones de estas propiedades para un cuerpo ordenado cualquiera, y más adelante demostraremos que estas propiedades se cumplen en el cuerpo de los números reales.



Las sucesiones de Cauchy se estudian por su íntima relación con las sucesiones que convergen a algún límite.
O sea, son una herramienta para el estudio de la convergencia de una sucesión.
En este sentido, tenemos una sencilla observación general, que vale en todo cuerpo ordenado:


Podríamos en este momento dedicarnos a demostrar, sin más, que satisface las propiedades arquimediana y de la convergencia de sucesiones de Cauchy.
Pero es más interesante demostrar que estas propiedades, juntas, son equivalentes al Axioma 4, o sea que podrían ponerse ellas en lugar del Axioma 4, resultando un sistema de axiomas equivalente para los números reales.

Proposición 1. Si en vale la propiedad de la cota superior mínima entonces el subconjunto de números naturales de es no acotado.


Proposición 2. Si en vale la propiedad de la cota superior mínima entonces es arquimediano.


Proposición 3. Si en vale la propiedad de la cota superior mínima entonces en toda sucesión de Cauchy es convergente.


En la teoría de números reales aparecen importantes caracterizaciones en términos del concepto de series.
Por ello, damos en el siguiente spoiler unas definiciones en torno a series y convergencia de las mismas:


Proposición 4. Supongamos que el cuerpo ordenado satisface la propiedad de que toda sucesión de Cauchy converge a algún límite. Entonces toda serie absolutamente convergente es también ella misma convergente.


Corolario. Si en vale la propiedad de la cota superior mínima, entonces toda serie que es absolutamente convergente es también ella misma una serie convergente.

Esto es obvio, ya que la propiedad de la cota superior mínima implica que toda sucesión de Cauchy es convergente,
y esto implica a su vez que toda serie que converge absolutamente es también convergente.

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Ahora intentaremos demostrar resultados recíprocos de todos los anteriores, o sea, invertir el sentido de las implicaciones.
Vamos a pensar que "no sabemos" si vale la propiedad de la cota superior mínima,
y en cambio vamos a suponer que valen las propiedades arquimediana y/o de que toda sucesión de Cauchy converge.
En cada caso investigaremos las consecuencias generales que se deducen exclusivamente de esas propiedades.

Proposición 5. Si en un cuerpo ordenado vale la propiedad arquimediana, entonces las sucesiones y tienen límite. Más aún: la serie converge a 1.


Qué mejor que un ejemplo para mostrar la diferencia entre una sucesión de Cauchy y una sucesión que tiene límite, y así mostrar que conceptualmente no son la misma cosa.
O sea que, en general, en un cuerpo ordenado genérico, no se puede obtener la recíproca de la Proposición 3.
Para ello mostremos que en el cuerpo ordenado de los números racionales , existe una sucesión de Cauchy que no es convergente.
Detalles abriendo el siguiente spoiler:


Proposición 6. Si en un cuerpo ordenado cualquiera vale la propiedad arquimediana, entonces entre dos cualesquiera elementos , , existe un tal que , donde es el subconjunto de números racionales que existe en .


Por último, estamos en condiciones de enunciar el siguiente importante resultado recíproco a las Proposiciones 2 y 3.

Proposición 7. Dado un cuerpo ordenado , si tiene la propiedad arquimediana y además toda sucesión de Cauchy tiene límite, entonces se cumple la propiedad de la cota superior mínima.


Juntando las Proposiciones 2, 3 y 7, queda probado el siguiente resultado:

Teorema 4. Sea un cuerpo ordenado. En él se cumple la propiedad de la cota superior mínima si y sólo si se satisfacen estas dos propiedades a la vez: la propiedad arquimediana, y la de que toda sucesión de Cauchy es convergente.

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Hemos terminado nuestro tour por las propiedades equivalentes a la cota superior mínima en cuerpos ordenados.
Ha sido emocionante, ¿no? 

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Asumiendo ahora que vale el Axioma 4 o sus equivalentes, se pueden probar los resultados típicos de convergencia de series, por ejemplo:

• Si una serie converge, entonces .
• Una serie tal que todos sus términos son no negativos, o bien converge, o bien la sucesión de sus sumas parciales es no-decreciente y no-acotada (en este caso suele decirse que tiene límite infinito).
• Si son sucesiones de números reales no negativos, tales que , para algún número positivo , se dice que la serie está dominada por la serie . En este caso se puede demostrar que: si la serie converge, entonces también la serie converge.

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Ahora volvamos a los números reales.
En tal caso vale el Axioma 4, o cualquiera de las equivalencias dadas en el Teorema 3 o en el Teorema 4.
Pero el Teorema 4 nos dice ahora que en el sistema de números reales valen la propiedad arquimediana y la propiedad de que toda sucesión de Cauchy converge a un límite.
Esta última se suele denominar propiedad de completitud de Cauchy.

Recordemos que la gran virtud de la completez en sentido de Cauchy es que nos permite demostrar que una sucesión o una serie converge, sin necesidad de estipular previamente cuál es ese límite al cual converge.

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Subsección 4.9. Unicidad algebraica del Sistema de los Números Reales.

Teorema 6. Sean y dos sistemas que satisfacen los axiomas de los números reales.
Entonces ambos sistemas son isomorfos entre sí.


En particular, si dos sistemas y satisfacen los Axiomas de los números reales, entonces los conjuntos y tienen el mismo cardinal, pues el isomorfismo es una biyección entre ambos sistemas.

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Dado que el cardinal de los números reales es el mismo, independientemente del modelo que se utilice para representarlos, vamos a postergar el estudio de dicho cardinal hasta el siguiente post, cuando desarrollemos la construcción por medio de sucesiones de dígitos del sistema de números reales.

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Subsección 4.11. Diversos métodos para construir Sistemas de Números Reales.



Hasta ahora hemos desarrollado la Teoría Axiomática de los números reales.
Como siempre, hacemos la pregunta de si existe algún objeto matemático que satisfaga esos axiomas.
La respuesta es afirmativa, mas para ello es menester construir un modelo.

No contentos con eso, vamos a estudiar varios modelos distintos.
La mayoría de ellos se apoya en un sistema de números racionales a partir del cual se lleva a cabo una construcción de algún tipo.
Esto es viable, porque ya sabemos que existen sistemas que verifican los axiomas de los números racionales.
O sea que la construcción tiene sentido.

También tenemos el método de definir operaciones directamente sobre un alfabeto de dígitos.
En este caso no es necesario apoyarse en los números racionales, pero sí que será necesario utilizar la maquinaria de los números naturales, por cuanto se trabajará indefectiblemente con sucesiones.

Finalmente se puede demostrar la existencia de un sistema de números reales invocando al continuo de la línea recta euclidiana.
Vale decir, a partir de los axiomas geométricos es posible obtener un sistema de números reales.
Aquí puede suscitarse alguna discusión, ya que uno podría poner primero los axiomas de los números reales y sobre ellos construir la geometría euclidiana...
Así lo hacía Hilbert, debido a que era su manera de reducir el problema de la consistencia de los axiomas de la geometría al de probar la consistencia de los axiomas de los números reales.
Aún así, vale la pena establecer paralelos entre ambos tipos de conceptos, después de todo la idea de "continuo" tiene que ver directamente con la representación de los números en la línea recta euclidiana.

En cada desplegable llevamos a cabo una construcción de un modelo diferente de sistema números reales, y basta hacer clic para ver los detalles.

En todo lo que sigue, supondremos que tenemos disponible un sistema de números racionales , y denotaremos con y a sus correspondientes subsistemas de numeros naturales y números enteros.
 

Método de los intervalos encajados de números racionales.

Método de las sucesiones monótonas acotadas de números racionales.

Método de las Cortaduras de Dedekind.