Nota: La mayor parte de los contenidos del Tema 1 son opcionales. Aquellos que no se sientan demasiado confiados con las cuestiones de teoría de conjuntos, podrían echar una mirada a ver qué necesitan ajustar, o simplemente repasar.
Los contenidos necesarios se irán "rellenando" de a poco.

Para la teoría topológica, es de fundamental importancia el concepto de uniones e intersecciones de familias arbitrarias de conjuntos. Así que veamos un poco esto.

Repasemos algunos conceptos de teoría de conjuntos que serán moneda de corriente en el estudio de la topología general.

Subconjuntos.

Dados dos conjuntos y , se dice que es subconjunto de , y se escribe , siempre que se cumpla la siguiente implicación, para todo :


Cuando queremos comprobar si un conjunto es subconjunto de algún otro, lo que tenemos que hacer es demostrar que, cualquiera sea el elemento que se tome en , éste también está en .

Ley transitiva de inclusión de conjuntos: Si son tres conjuntos tales que y , entonces .
Esto es fácil de demostrar. Es un hecho que usaremos asiduamente.

Observación: Todo conjunto es subconjunto de sí mismo.

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Igualdad

Se dice que dos conjuntos y son iguales entre sí, y se escribe , si se cumple la doble inclusión:


La igualdad de dos conjuntos debe en general demostrarse, pues, mediante dos pasos obligatorios.
Primero, probar la implicación ,
segundo, probar la implicación

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Conjunto vacío y conjuntos disjuntos.

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Familias de conjuntos.

Agrego aquí una exposición algo extensa sobre las ideas y notaciones que se usan al referirse a familias de conjuntos. Lo coloco en un spoiler.

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Unión de conjuntos.

Dados dos conjuntos y , su unión se define por:


Esto quiere decir que, para que un elemento x esté en la unión, es suficiente conque pertenezca al menos a uno de los dos conjuntos.
Si tenemos una lista finita de conjuntos , se puede generalizar la anterior definición:


Esta última definición reformulémosla en un modo algo más "interesante", en términos del cuantificador existencial:


Si leemos en castellano la igualdad anterior, nos está diciendo que la unión de los conjuntos está definido como el conjunto de todos aquellos elementos tales que existe algún índice en el conjunto finito tal que .

Ejercicio: Observar las dos definiciones de la unión finita hasta comprender que son lógicamente equivalentes. Luego dudar un poquito, y volver a mirar hasta volver a convencerse. Reflexionar.

Esta forma del cuantificador existencial permite una inmediata generalización del concepto de unión para familias infintias de conjuntos.
En vez de la lista consideramos ahora un conjunto I de índices cualquiera, que puede ser finito o infinito, como uno prefiera.
Supongamos además que por cada índice hemos especificado algún conjunto .
Nos queda definida una familia de conjuntos .
Ahora queremos definir la unión de todos los elementos que pertenecen a la familia . Lo hacemos así:


En otras palabras, un elemento pertenece a la gran unión siempre y cuando haya al menos un elemento de la familia al cual pertenezca.

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Intersección.

La intersección de dos conjuntos y se define de la siguiente manera:


O sea, para que un elemento esté en la intersección debe ocurrir que esté al mismo tiempo en los dos conjuntos y .
Se puede generalizar al caso de intersecciones finitas, e incluso con un conjunto arbitrario de índices.
Para practicar un poco, se los dejo como ejercicio (basta copiar la idea de lo que se hizo para las uniones):

• Ejercicio Anexo.1.1.a: Definir la intersección de una lista finita de conjuntos , generalizando el caso de intersección de dos conjuntos.
  
• Ejercicio Anexo.1.1.b: Reformular la definición anterior usando ahora el cuantificador universal "".
  
• Ejercicio Anexo.1.1.c: Definir la intersección de una familia arbitraria de conjuntos para algún conjunto de índices cualquiera.
  
• Ejercicio Anexo.1.1.d. Demostrar que dos conjuntos son disjuntos si, y sólo si, .
  (Esto también podría tomarse como definición de disjuntez)
  

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Diferencia de conjuntos.

Dados dos conjuntos y , su diferencia se define como:

• Ejercicio Anexo.1.2.a. Sean . ¿Cuál de los siguientes es su diferencia ?
  
  
  
  
  
• Ejercicio Anexo.1.2.b. ¿Si al conjunto vacío le restamos cualquier otro conjunto, cuál es el resultado?
  

Complementos.

Supongamos que es un conjunto que dejamos fijo por un rato.

Si es un subconjunto de , se define el complemento de respecto a como la diferencia , y lo denotamos así:


Cuando se sabe ya quién es el conjunto de referencia, se puede dejar de escribirlo en el exponente, y se anota la forma más abreviada siguiente:

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Propiedades algebraicas de las operaciones de conjuntos.

Recordar que para demostrar igualdades de conjuntos, se ha de usar la doble inclusión.
Dejamos como ejercicios demostrar las siguientes propiedades elementales:

• Ejercicio Anexo.1.3.a.
• Ejercicio Anexo.1.3.b.
• Ejercicio Anexo.1.3.c.
• Ejercicio Anexo.1.3.d.
• Ejercicio Anexo.1.3.e.
• Ejercicio Anexo.1.3.f.

Las primeras propiedades son las leyes distributivas.
Las últimas propiedades son las leyes de De Morgan.

Para reflexionar: ¿Se pueden generalizar las leyes distributivas a familias infinitas de conjuntos? ¿Cuándo y cómo?

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Partición de un conjunto.

Esto que sigue es sólo una reflexión.
Supongamos que tenemos un conjunto prefijado , y sean dos subconjuntos de cualesquiera.
Entonces puede particionarse en cuatro conjuntos disjuntos:


Nota: El complemento , lo estamos tomando respecto a X.
Queda como ejercicio demostrar que los cuatro conjuntos , son disjuntos tomados de a pares,
y que es la unión de todos ellos.

• Pregunta-ejercicio Anexo.1.4.1: ¿Cómo se puede particionar respecto una familia finita de subconjuntos ?
• Pregunta-ejercicio Anexo.1.4.2: ¿Cómo se puede particionar respecto una familia numerable de subconjuntos , con ?

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Para practicar la notación de familias de conjuntos y las operaciones con uniones e intersecciones infinitas, ahí va otro ejercicio:

• Ejercicio Anexo.1.5.a.
  Para cada número natural definamos el conjunto
  
  
  
  Cada conjunto definido consta de números reales, como se puede apreciar.
  
  Esto nos deja definida una familia de conjuntos , donde es el conjunto de índices , o sea, todos los números naturales.
  
  Ahora definamos otra familia de conjuntos cuyo conjunto de índices será el conjunto finito mediante:
  
  
  
  (Estamos suponiendo la manera estándar de denotar números reales, en la que no se permite que todos los dígitos terminales sean "9"s).
  
  Se pide verificar si es cierta o no la igualdad de conjuntos siguiente:
  
  
  La moraleja de este ejercicio es que de un lado tengo un conjunto de índices infinito, y del otro uno finito, y en ambos casos se obtiene el mismo resultado.
  
• Ejercicio Anexo.1.5.b. Sea el conjunto de números naturales, y sea el conjunto finito .
  Definimos la familia de conjuntos mediante:
  
  
  
  Definimos la familia de conjuntos mediante:
  
  
  Se pide demostrar que .
  
  La prueba es casi directa.
  Lo que se pretende es mostrar que aunque la familia de índices puede ser infinita,
  la familia de conjuntos en realidad puede que sea finita.
  O sea, la notación de "índices" para familias de conjuntos permite "repeticiones".
  

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En el Munkres hay una lista de ejercicios para practicar propiedades de las operaciones con conjuntos.
Si ustedes lo desean, las podemos ir agregando, o me las consultan, como quieran.
Incluso pueden preguntar cosas sobre operaciones de conjuntos que hayan sacado de cualquier otro libro.

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Pares ordenados.

Los pares ordenados son objetos de la teoría de conjuntos que tienen la propiedad siguiente:
Los pares y son iguales si y sólo si y .

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Productos cartesianos.

Dados dos conjuntos el producto cartesiano de y se denota , y se define como el conjunto de todos los posibles pares ordenados de elementos de y , en ese orden, más precisamente:


Ejemplito: Si es un conjunto de señoritas, y es un conjunto de caballeros, el producto cartesiano muestra todas las maneras posibles de casar una señorita de con un caballero de .

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Relaciones.

Una relación entre objetos de un par de conjuntos , es todo subconjunto del producto cartesiano .
Si , podemos escribir también , y decir que está -relacionado con .
Más detalles en el desplegable que sigue:


Funciones.

Una función de un conjunto en un conjunto se define como una relación con dominio e imagen , con las siguientes propiedades:

• Dominio efectivo: Todo elemento tiene al menos una imagen tal que (x,y)\in f
• Unicidad de la imagen: .
  

Para indicar que el dominio y la imagen de son y respectivamente, se escribe .
Para indicar que se suele escribir mejor . La notación de igualdad no es contradictoria ni ambigua porque a cada le corresponde por un, y sólo un elemento .
También se puede escribir , o bien , etc.

A diferencia de las relaciones, el dominio de una función está claramente determinado.

Otras notaciones para funciones: Se pueden usar subíndices. Supongamos una función . En vez de escribir para la imagen de por la función , podemos más bien describir la función como . En este caso I se llama conjunto de índices.
En vez de decir , podemos anotar de forma más compacta .

Más detalles sobre funciones en el desplegable:

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Productos cartesianos generalizados.

Volvamos a los productos cartesianos.


En el desplegable anterior se explica la manera de enfrentarse al problema de definir correctamente el producto cartesiano de una cantidad finita de conjuntos .

Se pueden evitar todas las complicaciones allí comentadas apelando a otro modo de construir o visualizar las cosas. Para ello, reformularemos la manera de definir listas ordenadas de elementos. Los detalles, en el siguiente desplegable:


Lo que hemos hecho es un "cambio de paradigma" en la noción de producto cartesiano.
Una vez acostumbrados a este paradigma, veremos que es muy útil para poder generalizar la noción de producto cartesiano al caso de infinitos factores.

En efecto, en vez de tomar como dominio a un conjunto finito , me permito ahora tomar un conjunto de índices cualquiera .
Ahora tomo además una familia de conjuntos , o sea, una familia tal que a cada le corresponde algún conjunto .

Ahora decimos que es una función de elección de la familia si :

• El domino de la función es el conjunto de índices .
• Los valores de llegada de están contenidos en el conjunto imagen dado por:
  
  
  
• Para cada se cumple que .

Ahora se define el producto cartesiano de todos los elementos de la familia mediante:


En la exposición cotidiana, puede que uno escriba estas cosas usando esta otra notación intuitivamente más clara:



Observación: El producto cartesiano de factores iguales es el conjunto de todas las funciones de en .
En tal caso, se escribe:

.

¿Qué pasa si tenemos un producto cartesiano de infinitos factores iguales?
Bueno, en este caso recurrimos al último paradigma y cambiamos el conjunto de índices por un conjunto de índices arbitrario , que puede ser finito o infinito.

Si por cada tenemos que , o sea, todos los elementos de la familia de conjuntos son el mismo , entonces se puede demostrar que el producto cartesiano de todos ellos coincide con el conjunto de todas las funciones de en .
A este conjunto se lo suele denotar como .

Debemos advertir que hay aquí dos notaciones distintas para el caso finito:



Se usa comunmente la primera por brevedad.

Si y son dos conjuntos disjuntos, se puede demostrar que .
Cuando , no son disjuntos, se los debe "maquillar" para que sean considerados disjuntos.
Esto se puede lograr de varias maneras, que no voy a explicar aquí.

En particular, se tiene la sugestiva igualdad:

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En el post siguiente retomaremos todo esto, pero en estilo "resumido" y con más precisión, siguiendo el esquema de contenidos de Munkres. También hay más ejercicios.

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Sección 6. Conjuntos Finitos.

Hay al menos un par de alternativas a la hora de definir las nociones de conjunto finito e infinito.
Sin entrar en demasiada polémica, vamos a usar de aquí en adelante las definiciones tal como aparecen en el texto de Munkres, y quizá en algún momento discutamos alguna alternativa.

Definición. Sección inicial de enteros positivos. Se denomina sección o sección inicial de enteros positivos a todo conjunto de enteros positivos , para algún entero positivo, donde:


Un conjunto se dice finito si, o bien es vacío, o bien existe una función biyectiva para algún entero positivo . En el primer caso, se dice que tiene cardinal , y en el último caso se dice que tiene cardinal .

En particular, el conjunto es un ejemplo trivial de cardinalidad , por ser biyectivo consigo mismo, que es la sección .

Por ser demasiado obvio a nuestra experiencia cotidiana, se nos ha pasado por alto quizá un tecnicismo matemático importante.
Hemos dado por obvio que dos conjuntos finitos que tienen cardinales distintos, tienen en verdad distinta "cantidad" de elementos, sin precisar demasiado bien lo que esto significa.
Y también hemos dejado entrever que si dos conjuntos finitos no son biyectivos entre sí, entonces sus cardinales son distintos.
¿Pero es esto cierto?

Digamos que dos conjuntos finitos tienen el mismo cardinal si son biyectivos entre sí, o sea, si hay una biyección entre ambos. Esta misma definición se usa también para el caso de conjuntos que no son finitos, pero lo veremos más adelante.
Munkres no define este término de equicardinalidad en esta sección, pero me parece apropiado hacerlo.

Aquellas cuestiones que nos parecen obvias sobre los números y los cardinales finitos, son susceptibles de ser demostradas matemáticamente, y en tal caso la prueba debe darse y estudiarse con seriedad.
Las pruebas en sí mismas ilustran sutilezas del trabajo matemático mismo, y es esa su importancia.

Lema 1. Sea un entero positivo. Sea un conjunto; sea . Entonces existe una biyección de con si, y sólo si, hay una biyección del conjunto con .

La demostración queda como ejercicio, como es costumbre en estas proposiciones de fácil deducción.
Aunque no duden en preguntar si no sale, o no se entiende.
Tan sólo recordar que como es una demostración con "si, y sólo si", requiere de dos partes, una "de ida" y otra "de vuelta".
Primero se supone que efectivamente existe la biyección y se procura construir la biyección .
Y luego se parte de suponer la existencia de y se construye , reordenando los elementos si hiciera falta, o sea, "rebuscándosela" para que la construcción funcione.

Teorema 2. Sea un conjunto; suponer que existe una biyección para algún . Sea . Entonces no existe biyección alguna ; pero si , existe una biyección para algún .

De nuevo, la demostración queda como ejercicio. Demos, sin embargo, algunas indicaciones de cómo proceder con la prueba. Se comienza estudiando el caso en que B es un conjunto vacío. Este caso es trivial, y es bueno descartarlo de entrada por ser diferente a los otros.
Luego se realiza una prueba por inducción en el número del enunciado del Teorema (que corresponde al cardinal del conjunto de "llegada" de la biyección ).
Se forma la colección de enteros positivos para los cuales el Teorema es cierto, y luego se procura demostrar que es un conjunto inductivo. Es decir, que primero se debe demostrar que el Teorema es cierto cuando . A continuación se supone que el Teorema es válido para un valor genérico, y se procura demostrar que bajo ese supuesto, aún es cierto el Teorema para el valor . En este paso inductivo se debe usar el Lema 1.
Se requiere un poco de reflexión y trabajo hasta que la prueba sale bien, pero tras unos minutos de atención, las cuentas salen sin dificultad.
En el texto de Munkres está completa, y si no, como siempre, pueden consultar si no sale o no se entiende.
Les recomiendo que presten mucha atención a los hechos que el Teorema exige demostrar, y que lo hagan con el detalle pertinente. Nada de dejar cabos sueltos. Es un ejercicio de exactitud, antes que todo, y por ello se requiere paciencia.

Corolario 3. Si es finito, no existe una biyección de con un subconjunto propio de sí mismo.

La demostración es un sencillo ejercicio, que consiste en hacer una prueba por reducción al absurdo, y aplicando el Teorema 2. Es, de nuevo, más tecnicismo.

La moraleja de este último resultado es que todo conjunto que es biyectivo con una parte propia de sí mismo, no puede ser finito.

Por esta razón, Dedekind tomó el camino de usar estas propiedades como base para definir las nociones de conjunto finito e infinito.
Decimos que un conjunto es Dedekind-finito si es vacío o no existe biyección con una parte propia de sí mismo.

El Corolario anterior nos estaría diciendo ahora que un conjunto es finito si, y sólo si, es Dedekind-finito.
O sea, ambas definiciones resultan lógicamente equivalentes.
¿Y entonces para qué preocuparse? ¿Por qué no dejar la definición más clara de finitud, que habla de tener un cardinal , y punto?
Bueno, la ventaja de la definición de Dedekind es que el concepto de finitud no está atado a la existencia de un sistema como el de los enteros positivos.


Corolario 4. no es finito.

Esto se deduce del simple hecho de que existe una biyección de con un subconjunto propio, digamos . ¿Cuál sería?

Corolario 5. La cardinalidad de un conjunto finito está unívocamente determinada por .

Esa manera tan pintoresca de enunciar un Corolario tan sólo significa que si tiene asociado dos cardinales entonces en realidad son necesariamente el mismo, vale decir, .
La prueba se deja como ejercicio, y basta considerar por ejemplo el caso en que y jugar con biyecciones, hasta obtener una contradicción con el Corolario 4.

Corolario 6. Si  es un conjunto finito, y si , entonces es finito. Si , entonces la cardinalidad de es menor que la cardinalidad de .

Corolario 7. Sea un conjunto no vacío. Entonces las siguientes aserciones son equivalentes:

• (1) es finito.
  
• (2) Hay una función suryectiva de una sección de los enteros positivos sobre .
  
• (3) Hay una función inyectiva de en una sección de los enteros positivos.
  

Corolario 8. Uniones finitas y productos cartesianos finitos de conjuntos finitos, son de nuevo finitos.

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Sección 7. Conjuntos Numerables y No Numerables.

Definición. Un conjunto se dice infinito si no es finito. Se dice que es infinito enumerable si hay una función biyectiva .

Ejemplo 1. El conjunto de los enteros es infinito enumerable. ¿Qué biyección serviría para demostrarlo?

Ejemplo 2. El conjunto es infinito enumerable. Para probarlo, sea , y defínanse las funciones , , y , . Esas dos funciones son biyectivas (probarlo), y su composición es la biyección buscada.

Un conjunto se dice contable o numerable o enumerable si es finito o bien infinito enumerable. Si un conjunto no es numerable, se dice no-numerable.

Munkres enuncia y demuestra aquí un Teorema que, a fin de cuentas, necesita de una propiedad de los números enteros positivos denominada Principio de Definición Recursiva.
Lo que haremos nosotros es enunciarlo antes del Teorema, para que la estructura de la Sección sea más idónea.
Dicho Principio se da sin demostración, pero puede probarse. La prueba se da en la Sección 8.
La manera en que se enuncia este Principio a continuación es algo informal.


Principio de Definición Recursiva. Sea un conjunto. Dada una fórmula que define como un elemento único de , y para define unívocamente como un elemento de en términos de los valores de para enteros positivos menores que , resulta que esta fórmula determina una única función .

Este Principio permite utilizar ciertas fórmulas de recurrencia para definir algunas funciones cuyo dominio es .
Cuando esto se lleva a cabo, suele decirse que se hace una definición por inducción o por recurrencia.
Sin un Principio de Definición por Recurrencia, las definiciones recursivas no podrían aceptarse.


Teorema 1. Sea . Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

• (1) es enumerable.
  
• (2) Hay una función suryectiva .
  
• (3) Hay una función inyectiva .
  

Lema 2. Si es un subconjunto infinito de , entonces es infinito enumerable.


Corolario 3. Un subconjunto de un conjunto enumerable es enumerable.

La demostración queda como ejercicio.

Corolario 4. El conjunto es infinito numerable.


Ejemplo. El conjunto de números racionales positivos es infinito enumerable. Se deja como ejercicio. Digamos al menos que se puede aprovechar la función suryectiva dada por .

Teorema 5. Una unión numerable de conjuntos numerables es numerable.


Teorema 6. El producto finito de conjuntos numerables es numerable.

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¿Es cierto que el producto cartesiano numerable de conjuntos numerables es también numerable? Respuesta: NO.

Teorema 7. Sea . Entonces es un conjunto no-numerable.



Ejercicio. Demostrar que si , y es inyectiva, entonces existe una función sobreyectiva . ¿Cómo se construye ?

El siguiente Teorema da otro ejemplo de conjunto no-numerable, con , por ejemplo.

Teorema 8. Sea un conjunto. No existe aplicación inyectiva , y tampoco existe aplicación sobreyectiva .


En un capítulo posterior se demostrará que es un conjunto no-numerable.
No se hace aquí, porque sólo hemos dado los axiomas de los números reales, y faltaría agregar una larga serie de construcciones para tener más claro cómo proceder.


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Sección 8. El Principio de Definición Recursiva.


Esta sección es interesante, pero tiene resultados muy estandarizados de la teoría de conjuntos.
No quisiera perder tiempo con ellos, aún cuando a mí mismo me gustan muchísimo estos temas de las definiciones por recurrencia y cuestiones relacionadas.
No obstante, si cualquiera de ustedes desea más detalles, explicaciones, o quiere profundizar en todo esto, basta conque lo diga y nos sumergimos en el tema.


Sea un conjunto infinito.
Nos preguntamos si es posible definir una función que satisfaga:



Primero se estudian funciones definidas por secciones , y luego se pasa al caso de todo .

Lema 1. Dado , existe una función


que satisface para todo .



Lema 2. Si y son funciones que verifican en sus respectivos dominios, entonces , para todo que esté en ambos dominios al mismo tiempo.



Teorema 3. Existe una única función que verifica para todo .



Teorema 4 (Principio de definición recursiva). Sean un conjunto y . Supongamos que es una función que asigna un elemento de a cada función , con dominio una sección no vacía de enteros positivos e imagen en . Entonces existe una única función


tal que



Demostración: Sigue ideas muy similares a los resultados previos. Salvo que ahora la función no cumple sino una regla general.

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La fórmula se llama fórmula recursiva para .

La idea general es que uno está "autorizado" a definir una función mediante una fórmula de recurrencia.
Vale decir, si uno especifica una fórmula de recurrencia, ésta nos define correctamente una función, y sin ambigüedad, ya que el Teorema anterior nos garantiza que existe al menos una función que satisface la recurrencia (la recurrencia es algo con "sentido"), y además dicha función es única (la recurrencia es "inambigua").

Notemos algunos detalles técnicos. El dominio de la función del Teorema 4 es un conjunto muy complicado.
Sea la familia de todas las funciones .
Entonces el dominio de es la unión .
La imagen de es un subconjunto de .
Así que podemos anotar:



Ahora bien, la función del "discurso" del Teorema 4 tiene como dominio todo el conjunto , y no meras secciones.
Sin embargo, se pueden considerar las restricciones de a secciones .
Estas funciones "restricción" se indican, como es costumbre, con el símbolo , así: , y así se obiene un "objeto" de , al cual es válido aplicarle la función .


Ejemplo 1. Comprobar que el Teorema 3 es un caso particular del Teorema 4. Basta definir:



Ejemplo 2. Definir rigurosamente las potencias , con y , mediante la fórmula de recurrencia:


Sugerencia: Utilizar , si el dominio de es .


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