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argentinator
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« : 23/07/2009, 09:40:31 am » |
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Ahora que se ha abierto este nuevo subforo, quizá sea una oportunidad para que todos expresemos nuestros sentimientos al respecto. Todos alguna vez hemos buscado una prueba con métodos elementales del Teorema de Fermat. Lo que voy a aportar yo son una serie de supuestos básicos que pueden hacerse, para reducir el problema a su verdadera esencia, aunque siempre dentro del terreno de lo muy elemental. Incluso voy a incluir demostraciones que son hartantes por lo fáciles y redudantes, pero nunca se sabe a quién le pueden interesar los detalles. La proposición de Fermat, para las variables  será la igualdad siguiente:  Se estudia esa ecuación para variables enteras  , y  , que también es entero por supuesto. De la manera que voy a encarar los detalles que siguen, será considerando al paquete de variables  , todo junto. Es que en realidad el exponente n puede mezclarse un poco con las otras variables. Vamos a llevar a cabo una prueba de tipo analítico, vale decir, usando cálculo y desigualdades. Vamos a ir paso a paso, viendo distintos casos. En general, lo que haremos es suponer que la igualdad  es cierta para ciertos  , y entonces iremos descartando los valores que hacen imposible la igualdad, ya que el objetivo es probar justo lo contrario: que la igualdad no es cierta. También iremos suponiendo que el exponente n es tan grande como haga falta. Para valores pequeños de n, algunas relaciones que vienen a continuación no serán ciertas. Procuraremos dejar claro cada caso.  Se puede suponer sin pérdida de generalidad que los números , son todos enteros positivos. Los detalles de esto no los voy a hacer, a menos que alguien me lo demande llorosamente. Se trata de un hecho muy conocido, y uno puede convencerse fácilmente. La idea es evitar el 0 y los números negativos tanto como sea posible. Sin embargo, aún así, esto no quiere decir que los números negativos nunca van a aparecer. Siempre hay que tener en cuenta que si hacemos alguna resta, alguna de las cantidades que trabajemos puede hacerse negativa y arruinar así nuestros razonamientos. Basta andarse con cuidado. Una consecuencia básica de esto es que los números son todos mayores o iguales que 1, lo cual se puede usar en desigualdades. De paso, digamos también que el exponente  es un entero mayor o igual que 1 en todo lo que sigue, a menos que lo restrinjamos explícitamente en algunos casos.  Se puede suponer sin pérdida de generalidad que  Esto es evidente, ya que la suma  es conmutativa, y uno puede considerar que el término de la izquierda es más pequeño que el de la derecha, si así le da la gana.  Se puede suponer sin pérdida de generalidad
que no tienen factores en común Si  fuese un factor común a , entonces  , donde  ,  ,  . Y como es no nulo se puede simplificar, obteniendo  . Así que, si es cierta para alguna terna , entonces es cierta para alguna otra terna de números que no tienen factores comunes. Dicho en forma recíproca: si no se cumple la igualdad para una terna , sin factores comunes, entonces no se cumple en ningún otro caso.  Se puede suponer que 
no tienen factores comunes. Si tuviesen algún factor primo en común  , entonces, reemplazando en , hallamos que  dividiría a  , y así dividiría a  por ser primo. De modo que comparten el factor . Pero hemos aceptado en el paso [2] que no tienen factores comunes.  Se puede suponer que  no tienen factores comunes.
También se puede aceptar que  no tienen factores comunes. Se razona igual que en el punto [3].
 Si  , se puede suponer que  . Esto es clarísimo, porque si  , entonces tendrían todos los factores primos en común, en contra del paso [3]. Y si  , en se obtiene que  , pero esto no es posible porque es entero y  .  Se puede suponer que  . Esto es clarísimo, porque si ocurriera lo contrario, es decir, si fuese  , entonces reemplazando en tendríamos:  porque  . Así que hay que quedarse con la única desigualdad posible, a saber: .  Si se satisface , entonces  . En efecto, si  , entonces, por la fórmula del binomio de Newton, y usando que ,  , y :  Notemos las ideas usadas en este paso: * Binomio de Newton, que genera una expresión con n+1 términos. * Los términos de ''las puntas'' de la suma de Newton son los que ya teníamos de antes, y el resto de los términos ''intermedios'' son nuevos. * Hay términos intermedios (con  ) porque el exponente  es más grande que 1. * Los términos intermedios tienen un valor numérico estrictamente positivo, ya que cada uno es producto de enteros positivos. * Se usa, como en todo lo hecho hasta ahora, el principio de reducción al absurdo.  Reformulación del problema.
Como  , por definición de la relación  en los enteros positivos, existen enteros ''positivos''  , tales que:
Ahora bien, la igualdad queda escrita en esta forma equivalente:
Recordemos que, como se trata de números enteros, el hecho de ser positivos significa que
 .
En todo lo que sigue vamos a ser consecuentes con el uso de estas letras, cuyo significado será siempre el mismo.
La idea es jugar con esas letras, buscando restricciones y ver hasta dónde podemos llegar.
Reescribiendo la igualdad  , nos queda esta otra:
Aplicamos ahora la fórmula del binomio de Newton a cada término, y resulta:
Se puede reescribir esto como:
Nótese que el término  se ha quitado.
Definiendo  , obtenemos la igualdad polinómica en  :
Si se prefiere, puede escribirse de esta otra forma:
Observemos que para cada  puede sacarse factor común el factor  . Además, para se obtienen los términos  y  , que en realidad son iguales a  y  , que por lo tanto se cancelan entre sí. Esto nos autoriza a quitar el término . Juntando todo esto, obtenemos las expresiones de arriba.  Cada coeficiente  es estrictamente positivo. Esto ocurre porque  es positivo, y entonces  , con lo cual  , es decir que  . Basta multiplicar por  para obtener finalmente que  .  Para todo  el coeficiente  . Supongamos que ocurre lo contrario, vale decir, que para algún índice  . En ese caso  . Pero entonces:  Estas relaciones ocurren porque sumar n términos positivos es una cantidad mayor que si tomamos sólo uno de esos términos: el de índice  . Pero al final obtuvimos el absurdo  . Esta contradicción nos muestra que no puede ocurrir que  .  El número no puede ser arbitrariamente grande.
Más precisamente, se tiene la siguiente relación:
Apliquemos el hecho [11] con  , es decir, veamos qué consecuencias nos trae la relación  . Como  Pero entonces  , de donde se deduce que  .  El exponente está siempre por debajo de los valores de la terna ,
esto es:  Debido a que  y son mayores qur , es suficiente comprobar que  . Pero esto es casi inmediato, si aplicamos [12]. Supongamos por absurdo que  . Por el hecho [12] tenemos que  , contradicción ([/tex]1< 1 [/tex]). Esto muestra que sólo es posible .  Si  , entonces el número  no puede ser arbitrariamente grande.
Más precisamente, se tiene la siguiente relación:
Esta relación nos dice que el valor de está controlado de alguna manera
por los valores de  .
Sin embargo, la cota obtenida es algo engorrosa.
Podemos conformarnos con una cota menos precisa, pero más agradable a la vista, como la siguiente:
Supongamos que  . En ese caso está bien definido el término  . Apliquemos el hecho [11] con  , es decir, veamos qué consecuencias nos trae la relación  . Calculemos:  Pero como  , resulta que:  Ahora sacamos factor común , y pasamos todos los factores que podemos al miembro derecho:  Por último, despejamos lo poco que queda, y nos da:  Esto es la primera relación que habíamos prometido. Ahora observemos que  , por lo tanto  , y así resulta que:  Por último, como es positivo y entero, ocurre que  . Pero entonces  , y así  . Esto nos brinda la segunda desigualdad.  Una manera aún más simple de estimar el tamaño de es escribiendo:
(siempre para , claro). Esto se deduce de la segunda desigualdad presentada en [13]. Allí usamos que  y que  (pues  ), y entonces  .  Si  , entonces el número  puede estimarse de una manera más ajustada, mediante:
o bien de la forma más sencilla:
Primero que nada, recordemos que al menos  . Así que tiene sentido hablar del término  . Para hallar la estimación, hacemos uso de [11] con  , es decir, usamos que  , y vemos adónde nos conduce esto. Recordemos que  . Por lo tanto:  Ahora usamos que  , y estimamos:  Despejamos un poco, y queda:  Dividimos por  :  Como  es ciertamente positivo, esto nos dice que el miembro derecho es positivo. Pero, ¿lo es? En [12] vimos que . Usando esto obtenemos que  Además,  . De manera que  Por otra parte,  , por [12], así que  . También,  . Así que  . Usando otra vez [12], obtenemos que  . Esto nos dice que  . Juntando todo, resulta finalmente  Por lo tanto, la cantidad  es positiva, y es factible extraerle la raíz cuadrada. Volviendo al cálculo principal, como extraer raíz cuadrada a ambos miembros no altera el orden de la desigualdad, obtenemos finalmente:  Si quitamos los términos que figuran restando, el resultado es una cantidad aún mayor, así que es correcto escribir:  Si queremos una expresión más limpia, usamos por ejemplo que  , y que  , resultando así:  También podemos usar que es bastante grande, digamos  , y que  , para dejar finalmente las estimaciones sencillas:  Continuará... (quizá) |
