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En este post va algo de teoría algebraica, la cual hace un poco de falta para estudiar el caso n = 3 del UTF, siguiendo la demostración de Euler.

Lo relevante es comprender la factorización en el anillo $Z[\sqrt{-3}]$ , pero aprovecharemos a explicar cosas más generales.

Para detalles de las demostraciones y ejemplos, remitimos al libro de Álgebra de Ivorra del Castillo: Ivorra-Algebra.pdf

Spoiler: Teoría Elemental de Grupos, Anillos y Cuerpos (click para mostrar u ocultar)

Spoiler: Dominios de Factorización Única (DFU) (click para mostrar u ocultar)

El anillo $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ .

Spoiler: Propiedades y Definiciones Elementales (click para mostrar u ocultar)

Spoiler: Unidades (click para mostrar u ocultar)

(El material que sigue se basa en el libro de Ivorra antes citado, secciones 6.4 y 6.5, aunque se han reformulado y reordenado los resultados, y se han agregado más detalles.)

Jugando con la norma

Para poder facilitar el estudio de la divisibilidad en $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ conviene enumerar hechos acerca de la cantidad $N(\alpha)$ para $\alpha\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ que hemos llamado norma.

Llamemos por un rato elementos normables a aquellos números enteros positivos que son la norma de un elemento de $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ .
El producto de dos elementos normables es de nuevo un elemento normable.
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En efecto, sean $\alpha=a+b\sqrt{-3}$ , $\beta=r+s\sqrt{-3}$ .
Si $m = N(\alpha)=a^2+3b^2$ , $n =N(\beta)=r^2+3s^2$ , resulta que:
con lo cual $mn=N(\eta)$ , donde $\eta = (ar-3bs)+(as+br)\sqrt{-3}$ .
Si 2 divide a un elemento normable , entonces 4 también divide a , y además el entero es de nuevo un elemento normable.
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En efecto, sea $m=N(\alpha)$ , con $\alpha=a+b\sqrt{-3}\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ .
Como $N(\alpha)=a^2+3b^2$ es par, ambos , deben tener la misma paridad, lo cual implica que ambos deben tener una misma paridad.
Si ambos son pares, entonces son ambos múltiplos de 4, y por lo tanto 4 divide a $N(\alpha)=a^2+3b^2$ .
Luego $N(\alpha)/4=(a/2)^2+3(b/2)^2=N(\tilde\alpha)$ , donde $\tilde\alpha=(a/2)+(b/2)\sqrt{-3}$ .
Este fue el caso fácil. Veamos el caso más difícil:
Si son ambos impares, entonces son congruentes con 1 ó -1 módulo 4.
Podemos escribir ahora $a = 4x\pm1, b = 4y\pm1$ , con ambos enteros.
Según el signo que acompaña a los 1's, se tiene que 4 divide a , o bien 4 divide a .
Supongamos, pues, que se da la primer situación: 4 divide a .
Denotemos $\xi=1+1\sqrt{-3}$ . Tenemos que $N(\xi)=4$ .
Escribiendo $4 N(\alpha)=N(\xi)N(\alpha)=N(\xi\alpha),$ por la propiedad multiplicativa de la norma,
Más aún, $\xi\alpha=(a-3b)+(a+b)\sqrt{-3}=(a+b-4b)+(a+b)\sqrt{-3}$ .
Como 4 divide a , y obviamente divide a , entonces 4 también divide a .
Se tiene que 4 divide a las componentes individuales de $\xi\alpha$ , así que también ha de dividir a las de $\overline{\xi\alpha}$ .
Esto implica que $16=4\cdot4$ divide a $\xi\alpha\overline{\xi\alpha}=N(\xi\alpha)=4N(\alpha)$ .
Dividiendo por 4, resulta que 4 divide a $N(\alpha)$ .
Además, podemos escribir $N(\alpha)/4 = N(\tilde\alpha)$ , donde
$\tilde\alpha=\Big(\dfrac{a-3b}4\Big)+\Big(\dfrac{a+b}4\Big)\sqrt{-3}.$
Si hubiésemos tenido que 4 divide a , se razona del mismo modo, pero ahora usando el número $\xi=1-1\sqrt{-3}$ .
Supongamos que $\alpha=a+b\sqrt{-3}\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ , y que es un entero positivo primo que también es elemento normable. O sea, existe $\varrho =r+s\sqrt{-3}\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ tal que $p=N(\varrho )$ .
Si suponemos que divide a $N(\alpha)$ , entonces el entero positivo $N(\alpha)/p$ también es un elemento normable.
Además, se tiene precisamente que $N(\alpha)/p=N(\tilde\alpha)$ , donde $\tilde\alpha\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ es el número:
$\tilde\alpha=\alpha\tilde\varrho /p$ , donde $\tilde\varrho$ es o bien $\varrho$ o bien $\bar\varrho$ (cuál de los dos corresponde se ve en los detalles de la demostración).
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Observemos que es también la norma de $\bar\varrho =r-s\sqrt{-3}$ , de manera que podemos escribir en forma más general:
$p=r^2+(\sigma s)^2$ ,
donde $\sigma=1$ ó , según el caso considerado.
Nos gustaría probar que divide a cada componente del binomio que queda en el producto $\alpha\varrho$ y de $\alpha\bar\varrho$ .
Ambos productos pueden escribirse como
$(r+\sigma s\sqrt{-3})\alpha=(ra-\sigma3sb)^2+3(rb+\sigma sa)$ , donde $\sigma$ depende del caso estudiado.
Observamos lo que ocurre con la siguiente cantidad:
$\begin{align*} (rb-sa)(rb+sa)&=(rb)^2-(sa)^2=r^2b^2+3s^2b^2-3s^2b^2-s^2a^2=b^2(r^2+3s^2)-s^2(a^2+3b^2)\\ &=b^2N(r+\sigma s\sqrt{-3})-s^2N(\alpha)=b^2p-s^2N(\alpha). \end{align*}$
Como divide a $N(\alpha)$ , concluimos que divide a .
Como es $\mathbb{Z}$ -primo, se tiene que divide a uno de los factores.
Elegimos el valor de $\sigma$ (1 ó ) de manera que divida a $rb-\sigma sa$ .
Ciertamente, divide a la cantidad
$pN(\alpha)=N(r+\sigma s\sqrt{-3})N(\alpha)=(ra-\sigma3sb)^2+3(rb+\sigma sa)^2.$
Como divide al segundo sumando, y divide a toda la cantidad, también ha de dividir al primer sumando $(ra-\sigma3sb)^2$ .
Como es primo, divide a la cantidad que está elevada al cuadrado, es decir $(ra-\sigma3sb)$ .
Así que ahora, definiendo
$\tilde\alpha=\dfrac{ra-\sigma3sb}p+\dfrac{rb+\sigma sa}p\sqrt{-3}$ ,
se tiene que $\tilde\alpha$ es un elemento que pertenece a $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ ,
y además se puede verificar usando las relaciones previas que $N(\alpha)/p = N(\tilde\alpha)$ .
Esto muestra que $N(\alpha)/p$ es un elemento normable, como deseábamos establecer.

Observemos además que, definiendo
$\tilde\varrho = \begin{Bmatrix}\varrho , & \mbox{ si } &\sigma=1\\\bar\varrho , & \mbox{si}& \sigma=-1\end{matrix},$
obtenemos la sencilla igualdad:
$\tilde\alpha=\alpha\tilde\varrho /p.$
Supongamos que $p,\alpha,\varrho ,\tilde\alpha,\tilde\varrho ,$ son como en el ítem precedente.
Entonces alguno de los dos, $\varrho$ ó $\bar\varrho$ , divide a $\alpha$ en $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ .
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Tenemos que $\tilde\alpha=\alpha\tilde\varrho /p$ , donde $\tilde\varrho$ es $\varrho$ ó $\bar\varrho$ .
Supongamos primeramente que $\tilde\varrho =\varrho$ .
Tenemos que $p=N(\varrho )=\varrho \bar\varrho$ , por la forma en que hemos definido $\varrho$ .
Por lo tanto $\tilde\alpha=\alpha/\bar\varrho$ .
Finalmente, multiplicando por $\bar\varrho$ , obtenemos que $\alpha=\tilde\alpha\bar\varrho$ .
Pero como $\tilde\alpha$ es un elemento de $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ , resulta que $\bar\varrho$ divide a $\alpha$ en $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ .

Si $\tilde\varrho =\bar\varrho$ , se puede usar un razonamiento análogo para probar que $\varrho$ divide a $\alpha$ en $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ .
Nos preguntamos acerca de cómo son los factores de un elemento normable, si acaso también son elementos normables. En esta dirección, tenemos la siguiente afirmación:
Si es un elemento normable, es un entero positivo impar que no es elemento normable, y además divide a , entonces es un entero divisible por un factor impar que no es elemento normable.

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Sea $\alpha=a+b\sqrt{-3}\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ tal que $m = N(\alpha)=a^2+3b^2$ .
Por hipótesis, , para ciertos factores , siendo impar que no es elemento normable.
Si 2 divide a , entonces 2 divide a .
En tal caso, sabemos que 4 también divide a , por ser elemento normable.
Pero como es impar, necesariamente 4 divide a .
Aplicando el teorema de descomposición única en primos de , tenemos ahora que existe algún entero no negativo tal que , para ciertos primos impares , que pueden estar repetidos.
Supongamos que todos los primos son elementos normables.
Entonces, al dividir por , resulta que es un elemento normable, por aplicación repetida de los resultados obtenidos en ítems previos.
Pero esto contradice la hipótesis sobre .
Por lo tanto, debe haber al menos un número primo impar en la descomposición anterior (o sea, al menos $k \geq1$ ) y tal que además dicho número primo no es elemento normable.
Sigamos con el elemento normable $m = N(\alpha)=a^2+3b^2$ .
Exijamos además la propiedad de que (o sea, son coprimos entre sí).
Supongamos que es un $\mathbb{Z}$ -primo positivo e impar que divide a .
Entonces es un elemento normable.
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Razonando por el absurdo, asumamos de entrada que no es elemento normable.

Dividamos los números por .
Tomando los restos resultantes, se obtienen enteros no negativos $\tilde v, \tilde w$ menores que , tales que $a\equiv{\tilde v}(\text{mod\ }p), b\equiv{\tilde w}(\text{mod\ }p)$ .
Si alguno de ellos es mayor que , le restamos , y usamos las letras para estos nuevos valores, de manera que ahora nos quede $a\equiv{v}(\text{mod\ }p), b\equiv{w}(\text{mod\ }p)$ con .
Definimos el elemento $\omega = v+w\sqrt{-3}$ , cuya norma satisface $N(\omega)=v^2+3w^2 \equiv{N(\alpha)}=a^2+3b^2 (\text{mód\ }p)$ .

Pero por hipótesis, tenemos que $N(\alpha) \equiv{0}(\text{mod\ }p)$ , así que también $N(\omega) \equiv{0}(\text{mod\ }p)$ , o sea, divide a $N(\omega)$ .
Por lo tanto, existe un $\mathbb{Z}$ -entero positivo tal que $N(\omega) = pk$ .
Una observación que podemos hacer es que .
En efecto, tenemos que $pk=N(\omega) = v^2+3w^2<\frac14p^2+3\cdot\frac14p^2=p^2$ , luego .

Denotemos .
Si y divide a , entonces , implicando que es un factor común de y .
Pero como son menores que , esto implica que .
Esto implica a su vez que divide a y ,
y entonces y tienen el factor común , lo cual no puede ser, pues .

Así que no divide a , y así divide a .
Si , es una situación trivial.
Luego, en cualquier caso, divide a .

Definiendo $\epsilon=e+f\sqrt{-3}=(c/u)+(d/u)\sqrt{-3}$ , tenemos pues que $\epsilon\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ , y además existe un entero positivo tal que $N(\epsilon)=p(k/u)=pl$ .
Como , también .

Ciertamente, $N(\epsilon)$ es un elemento normable, y lo hemos escrito como el producto .
Como hemos supuesto que no es elemento normable, ha de existir un entero positivo primo impar que no sea elemento normable y que divida a (tal como hemos probado en el ítem precedente de la lista de propiedades).

Escribamos $\alpha_0=\alpha, \alpha_1=\epsilon, p_0=p, p_1=q$ .
Lo que hemos probado es que dado un entero positivo primo impar que no es elemento normable y que divide a $N(\alpha_0),$ tal que las componentes de $\alpha_0$ son coprimas,
entonces existen $\alpha_1\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ , tal que las componentes de $\alpha_1$ son coprimas entre sí, y un entero positivo primo impar no es elemento normable, que divide a $N(\alpha_1),$ , y tal que .
Si aplicamos repetidamente este razonamiento, se obtendrán pares de números $(\alpha_2,p_2),(\alpha_3,p_3), ...$ tales que:
- $\alpha_n \in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ (todo ),
- $\alpha_n =a_n+b_n\sqrt{-3}$ . con (todo ),
- divide a $N(\alpha_n)$ (todo ),
Sin embargo, una tal sucesión de números no puede existir porque son enteros positivos, y en tal caso una sucesión decreciente sólo puede contener un número finito de elementos.

¡¡Nos hemos encontrado con el dichoso descenso infinito!! Aunque en una forma algo rebuscada.

Esta contradicción muestra que el supuesto original era falso.
Por lo tanto, es elemento normable.

Elementos Irreducibles y Primos

Sea $\alpha=a+b\sqrt{-3}$ un elemento no nulo, no unidad, en el anillo $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ .

$\alpha$ es irreducible si no existen $\beta,\gamma\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ que no sean unidades, y de tal suerte que $\alpha=\beta\gamma$ .
$\alpha$ es primo si siempre que $\alpha$ es $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ -divisor de $\beta\gamma$ , $\beta,\gamma\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ , necesariamente $\alpha$ es $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ -divisor de $\beta$ o es $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ -divisor de $\gamma$ .

En un DFU ambas definiciones resultarían equivalentes, pero lamentablemente el anillo $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ no es un DFU.
Aún así, algún trabajo todavía puede hacerse.

Tratemos en primer lugar de comprender cuáles son los elementos irreducibles y primos del anillo.

Algunos primos e irreducibles interesantes de $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ .

El número 2 es irreducible en $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ .
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En efecto, planteando $2 = \beta\gamma,$ con $\beta=(r+s\sqrt{-3}),\gamma=(t+u\sqrt{-3}),$ , y como $2 = \bar 2 = \bar\beta\bar\gamma,$ ,
resulta que $4=\beta\bar\beta\gamma\bar\gamma=N(\beta)N(\gamma)$ .
Así que las únicas posibilidades son que $N(\beta)=1,N(\gamma)=4$ , o bien $N(\beta)=4,N(\gamma)=1$ , o bien $N(\beta)=N(\gamma)=2$ .
Si $N(\beta)=1,N(\gamma)=4$ , entonces , lo cual sólo es posible si . ´
Así que $\beta$ es una unidad, y la factorización de es trivial.
Lo mismo ocurre para $N(\beta)=4,N(\gamma)=1$ .
Finalmente, si $N(\beta)=N(\gamma)=2$ , entonces . Necesariamente debe ser , porque si no el valor obtenido es muy grande.
Pero entonces resulta , que sabemos que no es posible, pues no existen enteros cuyo cuadrado sea .
Los elementos $\xi=1+1\sqrt{-3}$ y $\bar\xi=1-1\sqrt{-3}$ son irreducibles.
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Supongamos que existen elementos $\beta,\gamma\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ tales que $\xi=\beta\gamma$ .
Tomando normas se tiene que $4=N(\xi)=N(\beta\gamma)=N(\beta)N(\gamma)$ .
A continuación se razona de la misma manera que en el ítem precedente,
probando así que uno de los dos, $\beta$ o $\gamma$ , es necesariamente 1 ó .

Con $\bar\xi$ se procede en forma análoga.
Los números $2+0\sqrt{-3}$ y $1\pm1\sqrt{-3}$ no son primos en $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ .
Constituyen un ejemplo de elementos irreducibles que no son primos.
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La prueba es trivial, ya que el número 4 puede descomponerse de las siguientes dos maneras:
$(1+1\sqrt{-3})(1-1\sqrt{-3})=4=2\cdot2.$
Se ve por ejemplo que 2 divide al producto $(1+1\sqrt{-3})(1-1\sqrt{-3})$ .
Sin embargo 2 no divide a ninguno de los factores.
Si lo hiciera, entonces existiría $\beta=r+s\sqrt{-3}$ tal que $2\beta=1+1\sqrt{-3}$ , por ejemplo.
De allí que , , que no puede ser.
Lo mismo ocurre para $1-1\sqrt{-3}$ .

Por otro lado, si por ejemplo $1+1\sqrt{-3}$ divide a 2, existiría $\beta=r+s\sqrt{-3}$ tal que $(1+1\sqrt{-3})\beta=2$ , de donde
Luego r=-s implicando que , o sea , o bien , que no puede ser.
Algo similar ocurre para $1-1\sqrt{-3}$ .
Sea un entero positivo primo impar, y sea $\varrho\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ tal que $p=N(\varrho)$ .
Entonces $\varrho$ es irreducible.
Nos preguntamos si además $\varrho$ puede ser primo.
La investigación sobre primalidad nos da una condición algo "parecida" a la deseada:
Sean $\alpha,\beta\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ y supongamos que $\varrho$ divide al producto $\alpha\beta$ .
Entonces alguno de los dos $\varrho$ ó $\bar\varrho$ divide a alguno de los factores $\alpha$ o $\beta$ .
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Tomando normas se tiene que $p=N(\varrho)$ divide a $N(\alpha\beta)=N(\alpha)N(\beta)$ .
Como es primo en $\mathbb{Z}$ , resulta que divide a $N(\alpha)$ o bien divide a $N(\beta)$ .
Sin pérdida de generalidad supongamos que divide a $N(\alpha)$ .
Como es un elemento normable, sabemos que $\tilde\alpha=\alpha\tilde\varrho/p$ es un elemento de $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ , donde $\tilde\varrho$ es $\varrho$ ó $\bar\varrho$ .
Supongamos que $\tilde\varrho=\bar\varrho$ .
Se sigue que $\tilde\alpha=\alpha/\varrho$ , porque $p=\varrho\bar\varrho$ .
Por lo tanto $\alpha=\tilde\alpha\varrho$ , siendo $\tilde\alpha$ un elemento de $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ .
Esto significa que $\varrho$ divide a $\alpha$ en $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ .

Supongamos ahora que $\tilde\varrho=\varrho$ .
Razonando igual que antes se obtiene ahora que $\bar\varrho$ es quien divide a $\alpha$ .

Veamos que $\varrho$ es irreducible.
Supongamos que $\delta,\gamma$ son elementos de $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ tales que $\varrho=\delta\gamma$ .
Resulta, tomando normas, que $p=N(\varrho)=N(\delta\gamma)=N(\delta)N(\gamma).$
Como es primo en $\mathbb{Z}$ , resulta que uno de los dos, $N(\delta)$ ó $N(\gamma)$ es igual a 1.
Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que $N(\delta)=1$ .
Esto significa que $\delta = 1$ ó , y por lo tanto $\varrho$ es irreducible.

Descartando elementos que no son Irreducibles en $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ .

Fijemos un elemento, no nulo y no unidad, $\alpha=a+b\sqrt{-3}$ .

Si un número entero es $\mathbb{Z}$ -divisor tanto de como de , entonces es $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ -divisor de $\alpha$ .
Lo anterior nos motiva a calcular . Si es mayor que 1, entonces $\alpha$ no es irreducible, pues será un $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ -divisor de $\alpha$ .
Luego, debemos buscar a los irreducibles en el subconjunto de aquellos elementos con .
Si $\alpha=0+b\sqrt{-3}$ , entonces trivialmente se ve que no es irreducible, porque es el producto de $\beta=b+0\sqrt{-3}$ y $\gamma=0+1\sqrt{-3}$ .
Obviamente, si $\alpha=m+0\sqrt{-3}$ y no es $\mathbb{Z}$ -primo, entonces no es irreducible, porque existe un $\mathbb{Z}$ -primo positivo tal que divide a , con lo cual $q+0\sqrt{-3}$ es $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ -divisor no trivial de $\alpha$ .
Preguntamos ahora, ¿qué pasa si es $\mathbb{Z}$ -primo? ¿Necesariamente es irreducible en $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ ? Veremos enseguida que no.
El número 3 no es irreducible, porque haciendo $\beta = 0+1\sqrt{-3}, \bar\beta=0-1\sqrt{-3},$ tenemos que $\beta \bar\beta = 3$ . A su vez $\beta, \bar\beta$ no son unidades de $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}],$ así que la factorización no es trivial.
Si un número entero $\mathbb{Z}$ -primo es la norma de algún elemento de $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ , entonces no es $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ -irreducible.
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En efecto, si $\beta = s+t\sqrt{-3}$ y $p = N(\beta)$ , tenemos $p = \beta\bar\beta=s^2+3t^2$ .
Como es $\mathbb{Z}$ -primo, no puede ser , porque quedaría , que no puede ser.
Pero si $t \neq 0$ , entonces $\beta,\bar\beta$ no pueden ser unidades de $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ .
Luego la factorización $p = \beta\bar\beta$ no es trivial, y no puede ser irreducible.
Si existe un $\mathbb{Z}$ -primo impar que divide a $N(\alpha)$ , entonces $\alpha$ no es irreducible.
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Escribamos $\alpha =a+b\sqrt{-3}$ . Definamos .

Si , entonces $d = d + 0\sqrt{-3}$ es un $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ -divisor de $\alpha$ .
Este caso es trivial, y ni siquiera usa la hipótesis sobre el primo .

Supongamos, pues, que .
En este caso, sabemos ya que la hipótesis sobre implica que es elemento normable.
Luego, existe $\varrho\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ tal que $p=N(\varrho)$ .
Tenemos ahora que $\varrho$ es $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ -divisor de $N(\alpha)=\alpha\bar\alpha$ .
Sabemos que $\varrho$ o $\bar\varrho$ divide a alguno de los factores, ya sea $\alpha$ o $\bar\alpha$ .
Si alguno divide a $\alpha$ , obviamente resulta que $\alpha$ no es irreducible.

Si $\varrho$ divide a $\bar\alpha,$ es fácil verificar que $\bar\varrho$ divide a $\alpha$ .
Algo análogo sucede si $\bar\varrho$ divide a $\bar\alpha$ .
De modo que en este caso también $\alpha$ no es irreducible.

Factorización en $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$

Quizá hay muchas propiedades algebraicas del anillo $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ que podemos estudiar,
pero procuremos mantenernos cerca de nuestro objetivo de demostrar el Último Teorema de Fermat, en este caso para el exponente

.
Para este objetivo, nos falta enunciar las siguientes propiedades de factoreo:

Supongamos que $\alpha=a+b\sqrt{-3}\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ es tal que

. Entonces:

Si $N(\alpha)=a^3+3b^2$ es par, entonces $\xi = 1+\sigma\sqrt{-3}$ es un $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ -divisor de $\alpha$ , donde $\sigma=1$ ó (este signo se elige adecuadamente en la prueba que sigue).
Además, el número $\gamma =\alpha /\xi = x+y\sqrt{-3}$ satisface que .
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Definimos $\xi = 1+\sigma \sqrt{-3}$ . Deseamos probar que $\xi$ divide a $\alpha$ en $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ .
Para ello, basta ver que $\alpha /\xi \in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ .
Sin embargo, tenemos que:
$\alpha /\xi =\alpha \bar\xi /N(\xi )=\alpha \bar\xi /4=\frac14(a-3\sigma b)+\frac14(a+\sigma b)\sqrt{-3}.$
Por lo tanto, es suficiente probar que 4 divide a los enteros $a-3\sigma b$ y $a+\sigma b$ .

Como $N(\alpha)$ es par, los enteros deben tener la misma paridad.
Además, como son coprimos, no pueden ser ambos pares (porque tendrían el factor común 2), así que son ambos impares.
Por lo tanto son congruentes con 1 ó -1 módulo 4.
Esto quiere decir que uno de los dos, ó , es congruente con 0 módulo 4.
Fijamos $\sigma = 1$ ó según convenga para obtener que
$a+\sigma b \equiv{0}\textsf{\ (mod 4)}$ .
Esto significa que 4 divide a $a+\sigma b.$

Por otro lado, manteniendo el mismo valor de $\sigma$ :
como $-3\equiv{1}\textsf{\ (mod 4)}$ , tenemos ahora las siguientes congruencias módulo 4:
$a-3\sigma b\equiv{}a+\sigma b\equiv{0}\textsf{\ (mod 4)}.$
Esto significa que divide a $a-3\sigma b$ .

Tenemos que $x+y\sqrt{-3}=\alpha /\xi = \frac14(a-3\sigma b)+\frac14(a+\sigma b)\sqrt{-3}$ .
Por lo tanto $x =\frac14(a-3\sigma b), y = \frac14(a+\sigma b)$ .
Si fuese un entero factor común de , entonces dividiría a y a ,
con lo cual dividiría a $-\sigma b$ y a .
O sea, sería un factor común de . Pero como son coprimos, necesariamente debemos tener .

Así que .
Si es un primo impar que divide a $N(\alpha )$ , hemos visto anteriormente que:
- es un elemento normable. Con lo cual, existe $\varrho\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ tal que $p=N(\varrho )$ .
- Además uno de los dos, $\varrho$ o $\bar\varrho$ divide a $\alpha$ en $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ .
- Escribiendo $\varrho = r+s\sqrt{-3}$ , se vio en los detalles de esos resultados que divide a $ra-\sigma sb$ , donde $\sigma = 1$ ó (pero no necesariamente ambos).
  En caso de que $\sigma =+1$ , quien divide a $\alpha$ es $\varrho$ , y
  en caso de que $\sigma =-1$ , quien divide a $\alpha$ es $\bar\varrho$ .
Además, si $\gamma = x+y\sqrt{-3}=\alpha /\tilde\varrho$ (donde $\tilde\varrho$ es $\varrho$ ó $\bar\varrho$ , según que el valor de $\sigma$ es 1 ó ),
entonces .
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Tenemos que:
$x+y\sqrt{-3}=\frac1p(ra-\sigma 3sb)+\frac1p(rb+\sigma sa)\sqrt{-3}.$
(En la sección "Jugando con la norma" hicimos los detalles de estos cálculos).

Luego, $x= \frac1p(ra-\sigma 3sb), y=\frac1p(rb+\sigma sa).$
Además, sabemos que , son enteros.
Supongamos que es un divisor común de .
En tal caso, es también divisor de
$sx-\sigma ry=-\sigma \frac1p(3 s^2+ r^2)b=-\sigma \frac1pN(\varrho )b=-\sigma \frac ppb=-\sigma b.$
También es divisor de:
$rx+3\sigma sy=\frac1p(r^2+3s^2) a=\frac pp a = a$ .
Por lo tanto, u es divisor común de .
Esto implica que .

Así que
Si $\omega =v+w\sqrt{-3}$ es $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ -divisor de $\alpha$ ,
entonces $-\omega =-v-w\sqrt{-3}$ también es $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ -divisor de $\alpha$ .
Esta observación sencilla la hacemos con el fin de buscar una cierta unicidad en la factorización de un elemento de $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ .
Diremos que $\omega =v+w\sqrt{-3}$ es estándar en $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ si su primer componente es positiva. O sea, .
El tipo de factorización que vamos a estudiar no utiliza números $\omega$ con componente , así que no decimos nada al respecto.
El número $\alpha =a+b\sqrt{-3}$ se puede factorizar de la siguiente manera:
$\alpha =\sigma\omega _1\omega _2...\omega _k$ ,
donde $\sigma=1$ ó ,
cada $\omega _j$ es estándar y tiene norma igual a 4, o bien normal igual a un primo impar .
Además, si $\omega_j$ es uno de los factores anteriores,
entonces el conjugado $\bar\omega _j$ no aparece en la misma factorización.
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Supongamos que 2 divide a $N(\alpha )$ . En ese caso uno de los dos, $\xi =1+1\sqrt{-3}$ ó $\bar\xi =1-1\sqrt{-3}$ es $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ -divisor de $\alpha$ .
Elegimos $\omega _1$ como $\xi$ ó $\bar\xi$ , según el caso correcto.
Si no, si hay un primo impar que divide a $N(\alpha )$ , sabemos que existe $\varrho \in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ tal que $\varrho$ es estándar, $N(\varrho )=p$ , y tal que además, o bien $\varrho$ divide a $\alpha$ , o bien $\bar\varrho$ divide a $\alpha$ .
Elegimos $\omega _1$ igual a $\varrho$ ó $\bar\varrho$ , según sea el caso correcto.
Si $N(\alpha )$ no tuviera divisores primos, querría decir que $N(\alpha )=1$ , con lo cual $\alpha =1$ ó .
En tal caso hacemos $\omega _1=1$ .

En cualquier caso, definimos $\alpha _1=\alpha /\omega _1$ , y tenemos que $\alpha _1$ pertenece a $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ .
Escribamos $\alpha _1=a_1+b_1\sqrt{-3}$ .
En los ítems anteriores hemos visto que, necesariamente, los enteros han de ser coprimos.
(He aquí uno de los "puntos clave" que permiten la factorización).

Esto significa que podemos aplicar a $\alpha _1$ el mismo procedimiento que aplicamos a $\alpha$ .
Obtenemos un divisor $\omega _2$ que es $\xi$ ó $\bar\xi$ , o bien existe un primo impar tal que $N(\omega _2)=p$ , o bien $\omega _2=1$ .
Definimos en cualquier caso $\alpha _2=\alpha _1/\omega _2$ .

Podemos continuar así definiendo números $\alpha _1,\alpha _2,\alpha _3,$ etc., que pertenecen todos a $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}],$ y tales que cada uno $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ -divide al anterior en de la secuencia.

Si alguno de los $\alpha _k$ tiene norma 1, entonces $\alpha _k = 1$ ó , y así todos los que le sigan en la secuencia tendrán norma 1.
Por otra parte, si $\alpha _k$ tiene norma mayor que 1, el que le sigue en la secuencia tiene norma estrictamente menor que la norma de $\alpha _k.$
Esto muestra que en un número finito de pasos se obtendrá un elemento $\alpha _k$ con norma 1.

Quedémonos con el último índice tal que $N(\alpha _k)> 1$ .
En ese caso, podemos escribir:
$\alpha =\sigma \omega _1\omega _2...\omega _k,$
donde $\sigma = 1$ ó .

Por último, veamos que cuando $\omega _j$ aparece en la factorización, el conjugado $\bar \omega _j$ no aparece en esa misma factorización.
Sea $p=N(\omega _j)=N(\bar\omega _j).$
Si ambos $\omega _j, \bar\omega _j$ aparecieran juntos en la misma factorización anterior,
entonces $\omega _j \bar\omega _j$ sería $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ -divisor de $\alpha$ .
Pero $\omega _j\bar\omega _j=N(\omega _j)=p$ , con lo cual sería $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ -divisor de $\alpha$ .
Esto quiere decir que $\frac1p\alpha=\frac ap+\frac bp\sqrt{-3}$ es un elemento de $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ .
Pero entonces $\frac ap$ y $\frac bp$ son enteros, con lo cual es divisor común de y .
Esto contradice el supuesto general de que y son coprimos.

Por lo tanto, no pueden aparecer ambos $\omega _j, \bar\omega _j$ a la vez en la misma factorización.
Sea $\omega=v+w\sqrt{-3} \in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ tal que $p =N(\omega)$ es un primo impar.
Si hubiera otro elemento $\varrho=r+s\sqrt{-3}\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ tal que $p =N(\varrho)$ ,
entonces $r=\pm v, s=\pm w$ .
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Primero observemos que necesariamente , porque si no, sería divisor de $N(\omega)=p$ , que no puede ser porque es primo.
Aplicando lo visto en ítems anteriores, vemos que alguno de los dos, $\varrho$ ó $\bar\varrho$ , es $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ -divisor de $\omega$ .
Supongamos sin pérdida de generalidad que $\varrho$ es el caso correcto.
Tenemos que $N(\omega/\varrho)=N(\omega)/N(\varrho)=p/p=1$ .
Esto quiere decir que el cociente entre $\omega$ y $\varrho$ sólo puede ser 1 ó .

Esto prueba la afirmación.

	Autor	Tema: Último teorema de Fermat. Demostración estándar (exclusivamente). (Leído 15390 veces)
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