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Autor Tema: Construcción de R a partir de Q: Método de sucesiones crecientes acotadas  (Leído 1351 veces)
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« : 06/04/2012, 17:55:11 »


(Este post está en edición, faltan detalles en las demostraciones, y puede haber errores de tipeo...
La construcción está completa, pero falta verificar que satisface los Axiomas de los Números Reales, lo cual da bastante trabajo.)


Este post es parte del siguiente enlace:

Diversos Métodos de Construcción de Números Reales



Construcción de un modelo de Números Reales
mediante sucesiones monótonas acotadas de números racionales.

Según el Teorema 3, parte (c) del siguiente enlace:


el axioma de la cota superior mínima de los números reales
es equivalente a la propiedad de que
Toda sucesión monótona y acotada de números reales, converge a un límite..

¿Qué pasa ahora si nos olvidamos por un momento del sistema de números reales,
y nos quedamos sólo con los números racionales?
Las sucesiones monótonas acotadas de racionales no tendrán siempre un límite (racional).

Para verlo, bastará un ejemplo, que pondremos en Spoiler.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Estas aclaraciones son importantes pues vamos a manipular en lo que sigue "clases de sucesiones monótonas acotadas", y no podemos asegurar que ellas converjan a "algo".
Tendremos que manipularlas sin hacer caso de lo que ocurre a nivel de convergencia, y construir haciendo malabares un sistema que satisfaga los axiomas de los números reales.

¿Por qué "malabares"?
El problema central en la construcción que sigue es que tenemos que reconocer con algún método si dos sucesiones de números racionales "van a converger" al mismo número real, sin siquiera decir cuál vendría a ser ese supuesto número real, ya que se supone que aún no tenemos construidos los "reales".



Denotemos con [texx]\mathcal M[/texx] la familia de todas las sucesiones [texx]\{a_n\}[/texx] monótonas acotadas de números racionales.
Esto quiere decir que [texx]\{a_n\}[/texx] es no-decreciente ([texx]a_1\leq a_2\leq a_3\leq\ldots[/texx]) o bien que [texx]\{a_n\}[/texx] es no-creciente ([texx]a_1\geq a_2\geq a_3\geq\ldots[/texx]),
y además existe [texx]\alpha \in  Q[/texx] tal que [texx]a_n\leq \alpha [/texx], todo [texx]\alpha =1,2,3,\ldots[/texx]

Sean pues [texx]\{a_n\}_{n=1}^\infty,\{b_n\}_{n=1}^\infty[/texx] dos elementos de [texx]\mathcal M[/texx].
Diremos que [texx]\{a_n\},\{b_n\}[/texx], son equivalentes, y lo denotamos [texx]\{a_n\}\sim\{b_n\}[/texx], si

[texx]\displaystyle\lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0.[/texx]

O sea, para que las dos sucesiones sean equivalentes, su diferencia tiene que tener límite, y ese límite tiene que ser 0.
Notemos que, aunque este límite exista, no significa que el límite de las sucesiones [texx]\{a_n\},\{b_n\}[/texx] tenga que existir separadamente.




  • Proposición 1. En la familia [texx]\mathcal M[/texx] la relación [texx]\sim[/texx] es de equivalencia.

    Spoiler: Demostración (click para mostrar u ocultar)

Dada una sucesión [texx]\sigma =\{a_n\}[/texx] que está en la familia [texx]\mathcal M[/texx], se puede formar ahora su correspondiente clase de equivalencia:

[texx][\sigma ]=\{\sigma '\in\mathcal M| \sigma '\sim \sigma \}[/texx]

También se puede denotar [texx][\{a_n\}][/texx] a la clase de equivalencia.

Sea [texx]\mathcal M/\sim[/texx] el conjunto de todas las clases de equivalencia determinadas por [texx]\sim[/texx].
Por la teoría de clases de equivalencia, sabemos que todos los elementos de [texx]\mathcal M/\sim[/texx] son conjuntos disjuntos entre sí.

Veamos un par de resultados importantes.

  • Proposición 2. Si [texx]\sigma =\{a_n\}\in\mathcal M[/texx], entonces [texx]\{a_n\}[/texx] es una sucesión de Cauchy.

    Spoiler: Demostración (click para mostrar u ocultar)

Una propiedad muy útil es la siguiente:

  • Proposición 3. Toda sucesión en [texx]\mathcal M[/texx] es equivalente a cada subsucesión de ella misma, es decir, si [texx]\sigma =\{a_n\}[/texx], [texx]\tau=\{b_n\}[/texx], donde [texx]b_n=a_{k_n}[/texx], con [texx]k_1< k_2<k_3<\ldots[/texx], entonces [texx]\sigma \sim\tau [/texx].

    Spoiler: Demostración (click para mostrar u ocultar)



Ahora nos interesa definir operaciones de suma y producto entre clases de equivalencia.

Para ello, primero definimos una "pseudosuma" y un "pseudoproducto" en el conjunto [texx]\mathcal M[/texx] de las sucesiones, y luego procuraremos comprobar que esas operaciones preservan la relación de equivalencia.

Sean pues [texx]\sigma =\{a_n\},\tau =\{b_n\}\in\mathcal M[/texx].
Definimos las siguientes "pseudooperaciones" algebraicas entre ellas, así:

[texx]\begin{align*}
   \sigma \oplus \tau & := \{a_n+b_n\}\\
    \sigma \ominus\tau  & := \{a_n-b_n\}\\
    \sigma \odot \tau & := \{a_n\, b_n\}.
\end{align*}[/texx]

Por otra parte, si [texx]\tau[/texx] no es una sucesión que tienda a 0, entonces existe un índice [texx]N[/texx] tal que [texx]a_N\neq 0[/texx] y de paso tiene siempre el mismo signo.
Así, podemos definir:

[texx]\sigma\oslash  \tau :=\{c_n\} [/texx], donde:

[texx]c_n=\begin{cases}a_n/b_N,&\qquad (n<N)\\
a_n/b_n,&\qquad (n\geq N).
\end{cases}[/texx]

  • Proposición 4. Las operaciones [texx]\oplus, \ominus, \odot,\oslash[/texx] se conservan por relaciones de equivalencia, es decir, si [texx]\sigma \sim\sigma ',\tau \sim\tau '[/texx], entonces:

    [texx]\sigma \oplus\tau \sim \sigma '\oplus\tau ',\quad \sigma \ominus\tau \sim \sigma '\ominus\tau ',\quad \sigma \odot\tau \sim \sigma '\odot\tau ',\quad \sigma \oslash\tau \sim \sigma '\oslash\tau '.[/texx]

    Spoiler: Demostración (click para mostrar u ocultar)


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« Respuesta #1 : 06/04/2012, 17:55:46 »

En general, dado un número racional [texx]r[/texx] se puede definir la clase de equivalencia [texx]\mathcal C_r[/texx] determinada por la sucesión constante [texx]\{r,r,r,\ldots\}[/texx], y cuyos miembros equivalentes son todas aquellas sucesiones monótonas de racionales que tiende a [texx]r[/texx]. En símbolos:

[texx]C_r=[\{r,r,r,\ldots\}]=\{\sigma =\{a_n\}\in\mathcal M|\lim_{n\to\infty} a_n=r\}.[/texx]

Si [texx]r=0[/texx], es fácil convencerse de que [texx]\mathcal C_0[/texx] consta de aquellas sucesiones monótonas [texx]\{a_n\}[/texx] de racionales que tienden a 0.
En particular, esto indica que si [texx]\{a_n\}[/texx] es no-decreciente, todos los elementos [texx]a_n[/texx] tiene que ser negativos, o bien hacerse 0 a partir de algún [texx]n[/texx]. Ídem, si [texx]\{a_n\}[/texx] es no-creciente, todos los elementos [texx]a_n[/texx] tienen que ser positivos, o bien hacerse 0 a partir de algún [texx]n[/texx].

 



Por lo tanto, no hay ambigüedad si definimos las siguientes operaciones en [texx]\mathcal M/\sim[/texx]:

[texx]\begin{align*}
[\sigma] + [\tau] &:=[\sigma \oplus \tau ]\\
[\sigma] - [\tau] &:=[\sigma \ominus \tau ]\\
[\sigma] \cdot [\tau] &:=[\sigma \odot  \tau ]\\
[\sigma] / [\tau] &:=[\sigma \oslash \tau ],\qquad \textsf{sólo si $\tau\not\in \mathcal C_0$}.
\end{align*}[/texx]

Finalmente, definimos el "negativo" y el "recíproco" de una clase de equivalencia, así:


[texx]\begin{align*}
  - [\tau] &:=\mathcal C_0 - [\tau]\\
  [\tau]^{-1} &:=\mathcal C_1/ [\tau ],\qquad \textsf{sólo si $\tau \not\in \mathcal C_0$}.
\end{align*}[/texx]

Con todos estos elementos, estamos en condiciones de enunciar el siguiente:

  • Teorema 1. La -upla [texx](\mathcal M/\sim,+,\cdot,\mathcal C_0,\mathcal C_1)[/texx] es un cuerpo conmutativo. Además, si [texx][\sigma ][/texx] es un elemento de [texx]\mathcal M/\sim[/texx], entonces [texx]-[\sigma ][/texx] es su opuesto aditivo y [texx][\sigma ]^{-1}[/texx] es su opuesto multiplicativo (siempre que [texx][\sigma]\neq \mathcal C_0[/texx].

    Spoiler: Demostración (click para mostrar u ocultar)





Ahora necesitamos definir una relación de orden entre los elementos de [texx]\mathcal /\sim[/texx].

Definición. Dada [texx]\sigma = \{a_n\} \in \mathcal M[/texx], decimos que es positiva si existen un número racional positivo [texx]\lambda[/texx] y un entero positivo [texx]N[/texx] tal que [texx]a_n\geq \lambda >  0[/texx] para todo [texx]n\geq N[/texx].
Del mismo modo, decimos que es negativa si existe [texx]N[/texx] tal que [texx]a_n\leq -\lambda< 0[/texx], todo [texx]n\geq N[/texx]. Y diremos que es nula si [texx]\sigma \sim \mathcal C_0[/texx].

Podemos demostrar los siguientes hechos:

  • Hecho 1. Toda [texx]\sigma \in\mathcal M[/texx] puede clasificarse como positiva, negativa o nula.

    Spoiler: Demostración (click para mostrar u ocultar)
  • Hecho 2. Si [texx]\sigma \sim\sigma '[/texx], entonces ambas [texx]\sigma ,\sigma '[/texx] son al mismo tiempo positivas, o bien ambas negativas, o bien ambas nulas.

    Spoiler: Demostración (click para mostrar u ocultar)

A partir de estos Hechos, podemos decir sin ambigüedad que la clase de equivalencia [texx][\sigma ][/texx] es positiva, negativa o nula, según que lo sea [texx]\sigma [/texx], pues esta definición no depende del representante que se tome en la clase de [texx]\sigma [/texx].

Ahora es factible definir una relación de orden en [texx]\mathcal M/\sim[/texx], así:

Definición. Dadas [texx][\sigma ],[\tau ]\in\mathcal M/\sim[/texx], decimos que [texx][\sigma ][/texx]  es menor que [texx][\tau [/texx] si [texx][\tau ]-[\sigma ][/texx] es una clase positiva.
Denotamos esto como
[texx][\sigma ]< [\tau ].[/texx]

De modo similar se pueden definir las relaciones mayor que, menor o igual que, mayor o igual que, denotadas con los símbolos usuales [texx]> ,\leq,\geq[/texx].



  • Teorema 2. La relación [texx]<[/texx] es un orden total estricto en [texx]\mathcal M/\sim[/texx].

    Spoiler: Demostración (click para mostrar u ocultar)
  • Teorema 3. La 6-upla [texx](\mathcal M/\sim,+,\cdot,< ,\mathcal C_0,\mathcal C_1)[/texx] satisface los axiomas de un cuerpo ordenado.

    Spoiler: Demostración (click para mostrar u ocultar)
  • Teorema 4. Sea [texx]\mathcal Q=\{\mathcal C_r|r\in Q\}[/texx].
    Se tiene que [texx]\mathcal Q[/texx] es un subcuerpo ordenado de [texx](\mathcal M/\sim,+,\cdot,< ,\mathcal C_0,\mathcal C_1)[/texx].
    Más aún, [texx]\mathcal Q[/texx] satisface los axiomas de un sistema de números racionales, y en particular será isomorfo a todo tal sistema, en particular al [texx]Q[/texx] que hayamos tomado como punto de partida.

    Spoiler: Demostración (click para mostrar u ocultar)

Sólo nos falta demostrar alguna propiedad analítica en [texx]\mathcal M/\sim[/texx] que sea una de las tantas equivalentes a la Propiedad del Supremo.
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« Respuesta #2 : 06/04/2012, 18:51:52 »

Ahora estudiamos el aspecto analítico.

Vamos a demostrar la propiedad de que toda sucesión monótona no-decreciente y acotada en [texx]\mathcal M/\sim[/texx] converge a un límite en [texx]\mathcal M/\sim[/texx].

En efecto, sea [texx]\{\alpha _k\}_{k=1}^\infty[/texx] una tal sucesión.
Esto quiere decir que cada [texx]\alpha_k[/texx] es una clase de equivalencia, y por lo tanto existe [texx]\sigma _k\in\mathcal M[/texx] tal que [texx]\alpha _k=[\sigma _k][/texx].
A su vez, cada uno de estos objetos es una sucesión monótona acotada de racionales, que podemos denotar así:

[texx]\sigma _k=\{a^k_1,a^k_2,a^k_3,\ldots\}[/texx]

Tenemos además que [texx][\sigma _k]\leq [\sigma_{k+1}][/texx], todo [texx]k[/texx], por lo tanto [texx]\sigma _{k+1}-\sigma _k=\{a^{k+1}_n-a^k_n\}_{n=1}^\infty[/texx] es positiva.
En particular existe [texx]M_k[/texx] tal que [texx]a^{k+1}_n-a^k_n> 0[/texx], todo [texx]n\geq M_k[/texx].
A su vez, definamos un nuevo entero positivo [texx]\tilde M_k=\max\{k,M_1,\ldots,M_k\}[/texx].
En particular [texx]\tilde M_{k+1}\geq \tilde M_k\geq k[/texx].

Sea ahora [texx]\epsilon \in\mathcal /\sim[/texx] positiva, o sea, [texx]\epsilon > 0[/texx].

Definamos la sucesión [texx]\omega =\{c_k\}_{k=1}^\infty:=\{a^k_{\tilde M_k}\}_{n=1}^\infty[/texx].
Probemos primero que [texx]\omega \in\mathcal M[/texx].
En efecto, dado [texx]k[/texx] entero positivo, tenemos que [texx]a^k_{\tilde M_k}\leq a^k_{\tilde M_{k+1}}\leq a^{k+1}_{\tilde M_{k+1}}[/texx].

Por lo tanto [texx]c_k\leq c_{k+1}[/texx].

Afirmamos que [texx][\omega ] [/texx] es una cota superior de [texx]\alpha _k[/texx] en [texx]\mathcal M/\sim[/texx].
En efecto, si [texx]n\geq \tilde M_k\geq k[/texx], entonces [texx]a^k_n\leq a^k_{\tilde M_n}\leq a^n_{\tilde M_n}=c_n[/texx].

Esto nos muestra que [texx]\{c_n\}-\{a^k_n\}[/texx] es no negativa, para todo [texx]k[/texx], y entonces

[texx][\omega ]-[\sigma _k]\geq 0.[/texx]

Afirmamos que existe un índice [texx]K_0[/texx] tal que [texx]k\geq K_0[/texx] implica que

[texx][\omega ]-[\sigma _k]< \epsilon .[/texx]

Denotemos [texx]\epsilon =[\{\epsilon _n\}][/texx]. Para [texx]n[/texx] "bastante grande" se tiene que [texx]\epsilon _n> 0[/texx].

Dado [texx]k[/texx], calculamos, para [texx]n[/texx] bastante grande de tal manera que [texx]e_n> 0[/texx] y además [texx]n\geq \tilde M_k\geq k[/texx]:

[texx]c_n-a^k_n\leq c_n-a^k_{\tilde M_k}=c_n-c_k\geq 0.[/texx]

Sea [texx]\epsilon _0> 0[/texx] un número racional tal que [texx]\epsilon _0\leq \epsilon _n[/texx], todo [texx]n[/texx].
Sabemos que [texx]\{c _n\}[/texx] es de Cauchy, por la Proposición 2.
Por lo tanto, existe [texx]K_0[/texx] tal que [texx]n,k\geq K_0[/texx] implica [texx]|c _n-c _k|<\epsilon _0/2[/texx].

De aquí se deduce que si [texx]k\geq K_0[/texx], entonces [texx]k\geq K_0, n\geq \tilde M_k[/texx] implica:

[texx]c_n-a^k_n\leq  c_n-c_k <\epsilon _0/2.[/texx]

Esto demuestra que [texx][\omega ]-[\sigma _k]\leq [\{\epsilon _0/2\}][/texx], para todo [texx]k\geq K_0[/texx].
Más aún, esto es estrictamente menor que [texx]\epsilon =[\{\epsilon _n\}][/texx], pues [texx]\epsilon _n-\epsilon _0/2\geq \epsilon _0/2 > 0[/texx].

En síntesis:
[texx]\mathcal C_0 \leq [\omega ]-\alpha _k<\epsilon .[/texx]

Por definición de límite, esto quiere decir que:

[texx]\displaystyle\lim_{k\to \infty}\alpha _k=\omega [/texx].

Por lo tanto, hemos demostrado el siguiente:

Teorema 5. En [texx]\mathcal M/\sim[/texx] vale la propiedad de que toda sucesión monótona no-decreciente y acotada tiende a un límite.

Según hemos visto en la Sección 4.6, esto es equivalente a que en el cuerpo [texx]\mathcal M/\sim[/texx] se cumpla la Propiedad del Supremo.

Por lo tanto:

Teorema 6. La 6.upla [texx](\mathcal M/\sim,+,\cdot,\mathcal C_0,\mathcal C_1,<)[/texx] satisface los Axiomas de un Sistema de Números Reales.
En particular, sabemos que tendrá que ser isomorfo a todo sistema que satisfaga los mismos axiomas.

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