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Autor Tema: Esquema de recursión primitiva para PROP  (Leído 2672 veces)
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pierrot
pabloN
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« : 05/04/2012, 01:41:56 am »

Primero que nada, voy a exponer un breve resumen de algunos conceptos y definiciones que se manejan en el libro Logic and Structure de Dirk van Dalen, para que todo el que lea este post sea capaz de entender la notación y saber cuál es concretamente mi duda. Si algo figura en inglés es porque lo he transcrito directamente del libro.

El lenguaje de la lógica proposicional se basa en un alfabeto que consiste de:

i) símbolos de proposición: [texx]p_0,\ p_1,\ p_2,\dots,[/texx]
ii) conectivos: [texx]\wedge,\ \vee,\ \rightarrow,\ \lnot,\ \leftrightarrow,\ \bot,[/texx]
iii) símbolos auxiliares: [texx](\ ,\ ).[/texx]

Definición 1
Se define el lenguaje de la lógica proposicional ([texx]\mbox{PROP}[/texx]) como el menor conjunto [texx]X[/texx] que satisface las siguientes reglas:

[texx]\begin{array}{ll} \mbox{ I } & p_i\in X(i\in \mathbb{N}),\ \bot\in X, \\ \mbox{ II }& \mbox{Si $\varphi,\psi\in X$, entonces (\varphi\wedge \psi),\ (\varphi\vee \psi),\ (\varphi\rightarrow \psi),\ (\varphi\leftrightarrow \psi)\in X$}\\ \mbox{ III }& \mbox{Si $\varphi \in X$, entonces $(\lnot \varphi)\in X$} \end{array}[/texx]

Con la finalidad de simplificar la cláusula [texx]\mbox{II}[/texx] se escribirá [texx]\varphi,\psi\in X\Rightarrow \varphi\square \psi\in X[/texx] donde [texx]\square[/texx] es uno de los conectivos [texx]\wedge,\ \vee,\ \rightarrow,\ \leftrightarrow[/texx]. A modo de ejemplo, [texx](p_7\rightarrow p_0),\ ((\bot \vee p_{32})\wedge (\lnot p_2))\in \mbox{PROP}[/texx] pero [texx]p_1\leftrightarrow p_7,\ \lnot\lnot\bot\not\in \mbox{PROP}[/texx].

Como en toda definición inductiva, a partir de ella podemos inferir dos teoremas que son el principio de inducción primitiva y el esquema de recursión primitiva.

Principio de inducción primitiva

Sea [texx]A[/texx] una propiedad. Luego, [texx]A(\varphi)[/texx] es cierta para toda fórmula proposicional [texx]\varphi\in\mbox{PROP}[/texx] si:

1) [texx]A(p_i)[/texx] para todo [texx]i[/texx], y [texx]A(\bot)[/texx],
2) [texx]A(\varphi),\ A(\psi)\Rightarrow A((\varphi\square \psi))[/texx]
3) [texx]A(\varphi),\ A(\psi)\Rightarrow A((\lnot\varphi))[/texx]

Spoiler: Demostración (click para mostrar u ocultar)

Esquema de recursión primitiva

Let mappings [texx]H_{\square}:B^2\rightarrow B[/texx] and [texx]H_{\lnot}:B\rightarrow B[/texx] be given and let [texx]H_{at}[/texx] be a mapping from the set of atoms into [texx]B[/texx], then there exists exactly one mapping [texx]F:\mbox{PROP}\rightarrow B[/texx] such that

[texx]\left\{\begin{array}{lll}{ F(\varphi)}&=& \mbox{ $H_{at}(\varphi)$ for $\varphi$ atomic }\\F((\varphi\square\psi))} &=& \mbox{ $H_{\square}(F(\varphi), F(\psi))$ }\\F((\lnot\varphi))} &=& \mbox{ $H_{\lnot}(F(\varphi))$ } \end{array}\right.[/texx]

Un ejemplo de aplicación puede ser el siguiente. Supongamos que queremos definir una función [texx]\mbox{brackets}:\mbox{PROP}\rightarrow \mathbb{N}[/texx] que, dada una fórmula proposicional [texx]\varphi[/texx], me devuelva la cantidad de paréntesis de dicha fórmula. La podemos definir recursivamente como:

[texx]\left\{\begin{array}{lll} \mbox{brackets}(\varphi)} &=& \mbox{$0$ for all $\varphi$ atomic}\\ \mbox{brackets}((\varphi\square\psi))} &=& \mbox{brackets}(\varphi)+\mbox{brackets}(\psi)+2 }\\\mbox{brackets}((\lnot\varphi))} &=& \mbox{brackets}(\varphi)+2 \end{array}\right.[/texx]

Mi duda está en la demostración del esquema de recursión primitiva. El libro dice lo siguiente:

Spoiler: Demostración (click para mostrar u ocultar)

Sé hacer el apartado (a) y el apartado (b) pero no me doy cuenta de cómo usar el principio de inducción para probar que es función. Agradezco cualquier ayuda.

Saludos
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« Respuesta #1 : 05/04/2012, 09:27:33 am »

Por lo que creo entender, en el apartado a) has demostrado la existencia de un conjunto [texx]F^*\subset \text{PROP}\times B[/texx] de pares ordenados, y en el apartado c) quieres probar que es una función [texx]F=F^*: \text{PROP}\longrightarrow B[/texx].

Esto significa que tienes que probar que si [texx]\phi\in \text{PROP}[/texx] y [texx]b,b'\in B[/texx] cumplen que [texx](\phi,b),(\phi,b')\in F^*[/texx], entonces [texx]b=b'[/texx]. Y se trata de razonarlo por inducción sobre [texx]\phi[/texx], es decir, tomando como propiedad [texx]A(\phi)[/texx] la dada por

[texx]\forall bb'\in B ((\phi,b)\in F^*\land (\phi, b')\in F^*\Rightarrow b=b')[/texx].

Para continuar es necesario hacer referencia a la forma concreta en que hayas construido el conjunto [texx]F^*[/texx] en el apartado a).
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« Respuesta #2 : 05/04/2012, 11:04:14 am »

Gracias Carlos.

Para continuar es necesario hacer referencia a la forma concreta en que hayas construido el conjunto [texx]F^*[/texx] en el apartado a).

Yo había pensado en definir [texx]F^*\subset \mbox{PROP}\times B[/texx] de la siguiente manera:

[texx]\begin{array}{ll} \mbox{ I } & \mbox{Si $\varphi=p_i$ o $\varphi=\bot$, entonces $(\varphi,H_{at}(\varphi))\in F^*$} \\ \mbox{ II }& \mbox{Si $(\varphi,b)\in F^*$ y $(\psi,b')\in F^*$, entonces $((\varphi\square \psi),H_{\square}(b,b'))\in F^*$}\\ \mbox{ III }& \mbox{Si $(\varphi,b) \in F^*$, entonces $((\lnot \varphi),H_{\lnot}(b))\in F^*$} \end{array}[/texx]

¿Está bien así? Porque si tengo mal la definición del conjunto, también tendré mal el principio de inducción que se pide en el apartado (b). Con lo que has dicho, me quedó claro la propiedad que hay que probar. Es porque una función [texx]f:A\rightarrow B[/texx] se puede ver como una relación [texx]f^*\subset A\times B[/texx] donde cada elemento [texx]a\in A[/texx] aparece una y sólo una vez como primer componente de un par ordenado. Por lo tanto, si [texx](a,b)\in f^*[/texx] y [texx](a,b')\in f^*[/texx] han de ser el mismo par, o sea que [texx]b=b'[/texx].

Gracias de nuevo.

Saludos
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« Respuesta #3 : 05/04/2012, 11:17:29 am »

Tu definición es correcta, en el sentido de que determina correctamente el conjunto [texx]F^*[/texx] y a partir de ella no deberías tener dificultades para probar que F es una función. Sólo hay un punto que me resulta confuso, y es que en las instrucciones del libro dice que definas F "by recursion on PROP". Lo que no sé es qué principio de recursión estás suponiendo exactamente, pero no insinúo con ello que haya nada que no cuadre en tu planteamiento. Sólo digo que no acabo de hacerme una idea del enfoque que está siguiendo tu libro.
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« Respuesta #4 : 05/04/2012, 12:07:16 pm »

Sólo hay un punto que me resulta confuso, y es que en las instrucciones del libro dice que definas F "by recursion on PROP".

Creo que lo que dice en realidad es "dar una definición inductiva de la función [texx]F[/texx] (la cual satisface la propiedad de estar definida por recursión sobre [texx]\mbox{PROP}[/texx] a partir de las funciones [texx]H_{at}[/texx], [texx]H_{\square}[/texx] y [texx]H_{\lnot}[/texx]), como un conjunto [texx]F^*[/texx] de pares". Es decir, para mi lo que está entre paréntesis (en el texto original entre dos comas), es sólo una propiedad que cumple la función [texx]F[/texx] pero no significa que debamos definirla por recursión; ya está definida así por hipótesis desde el momento que escribimos:

[texx]\left\{\begin{array}{lll}{ F(\varphi)}&=& \mbox{ $H_{at}(\varphi)$ for $\varphi$ atomic }\\F((\varphi\square\psi))} &=& \mbox{ $H_{\square}(F(\varphi), F(\psi))$ }\\F((\lnot\varphi))} &=& \mbox{ $H_{\lnot}(F(\varphi))$ } \end{array}\right.[/texx]

Al menos ésa es mi interpretación.

Para el apartado (b):

Principio de inducción primitiva para [texx]F^*[/texx]

Sea [texx]A[/texx] una propiedad sobre los elementos de [texx]F^*[/texx]. Si se cumple:

[texx]\begin{array}{ll} \mbox{ i } & \mbox{$A(\varphi, H_{at}(\varphi))$ si $\varphi=p_i$ o $\varphi=\bot$} \\ \mbox{ ii }& \mbox{Si $A(\varphi,b)$ y $A(\psi,b')$, entonces $A((\varphi\square \psi),H_{\square}(b,b'))$}\\ \mbox{ iii }& \mbox{Si $A(\varphi,b)$, entonces $A((\lnot \varphi),H_{\lnot}(b))$} \end{array}[/texx]

Entonces es cierto [texx]A(\varphi, b)[/texx] para cualquier [texx](\varphi, b)\in F^*[/texx].

La demostración es un calco de la de mi primer post. Pero ahora me surge una duda. ¿Cuál sería la propiedad que hay que probar? Para usar el principio de inducción enunciado anteriormente tiene que ser una propiedad referida a un par [texx](\varphi,{\red b})\in F^*[/texx] pero lo lógico sería lo que has dicho tú antes:

Y se trata de razonarlo por inducción sobre [texx]\phi[/texx], es decir, tomando como propiedad [texx]A(\phi)[/texx] la dada por

[texx]\forall bb'\in B ((\phi,b)\in F^*\land (\phi, b')\in F^*\Rightarrow b=b')[/texx].

Ahí estás tomando una propiedad que depende de un sólo parámetro que es [texx]\varphi[/texx]. En tal caso habría que usar, no el principio de inducción de [texx]F^*[/texx] (que fue el que enuncié recién), sino el de [texx]\mbox{PROP}[/texx] que está arriba de todo en este hilo. Pero si fuera así, no entiendo la necesidad de los apartados (a) y (b). ¿Para qué entonces definir el conjunto [texx]F^*[/texx]?  :indeciso:
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« Respuesta #5 : 05/04/2012, 01:04:57 pm »

La demostración es un calco de la de mi primer post. Pero ahora me surge una duda. ¿Cuál sería la propiedad que hay que probar? Para usar el principio de inducción enunciado anteriormente tiene que ser una propiedad referida a un par [texx](\varphi,a)\in F^*[/texx] pero lo lógico sería lo que has dicho tú antes:

Y se trata de razonarlo por inducción sobre [texx]\phi[/texx], es decir, tomando como propiedad [texx]A(\phi)[/texx] la dada por

[texx]\forall bb'\in B ((\phi,b)\in F^*\land (\phi, b')\in F^*\Rightarrow b=b')[/texx].

Ahí estás tomando una propiedad que depende de un sólo parámetro que es [texx]\varphi[/texx]. En tal caso habría que usar, no el principio de inducción de [texx]F^*[/texx] (que fue el que enuncié recién), sino el de [texx]\mbox{PROP}[/texx] que está arriba de todo en este hilo.

Ah, es que yo no había hecho ningún caso al apartado b), pero teniéndolo en cuenta, la propiedad [texx]A(\phi,b)[/texx] podría enunciarse así:

[texx]\forall b'\in B ((\phi,b')\in F^*\Rightarrow b=b')[/texx].

Pero si fuera así, no entiendo la necesidad de los apartados (a) y (b). ¿Para qué entonces definir el conjunto [texx]F^*[/texx]?  :indeciso:

Yo tengo la sensación, desde tu primer hilo sobre este tema, cuando aclaraste que había técnicas que no valía usar, de que tu libro lo hace todo muchísimo más complicado de lo necesario. Mi impresión es que todos los principios de inducción y recursión que usas podrían reducirse trivialmente a los usuales para números naturales (razonando por inducción o recursión sobre la longitud de las fórmulas), pero como no conozco el propósito concreto del libro, ni si supone ciertas limitaciones por alguna razón técnica que en principio no sea evidente, no puedo decir nada al respecto con seguridad.
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« Respuesta #6 : 05/04/2012, 07:53:34 pm »

Muchas gracias Carlos. Voy a ver si lo paso en limpio.

Yo tengo la sensación, desde tu primer hilo sobre este tema, cuando aclaraste que había técnicas que no valía usar, de que tu libro lo hace todo muchísimo más complicado de lo necesario. Mi impresión es que todos los principios de inducción y recursión que usas podrían reducirse trivialmente a los usuales para números naturales (razonando por inducción o recursión sobre la longitud de las fórmulas), pero como no conozco el propósito concreto del libro, ni si supone ciertas limitaciones por alguna razón técnica que en principio no sea evidente, no puedo decir nada al respecto con seguridad.

La verdad que no tengo idea. No conozco otros libros de lógica como para comparar. Estudio de ahí porque es el libro del curso y los profesores se basan en él. Puede ser que esté un poco rebuscado, esta materia me está costando entenderla. Se me plantean mucho más dudas que en otras.

Volviendo al tema, ¿cómo se probaría la unicidad? Lo que vendría a ser el apartado (d).

Saludos, y muchas gracias.           
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« Respuesta #7 : 05/04/2012, 07:58:04 pm »

Volviendo al tema, ¿cómo se probaría la unicidad? Lo que vendría a ser el apartado (d).

Pues supones otra función G que cumpla las mismas condiciones de la definición recursiva de F y tienes que probar la fórmula [texx]A(\phi)[/texx] dada por [texx]F(\phi)=G(\phi)[/texx] para toda fórmula [texx]\phi[/texx].
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« Respuesta #8 : 06/04/2012, 02:47:23 am »

Bueno, reúno todo lo dicho anteriormente en este post.

Esquema de recursión primitiva para [texx]\mbox{PROP}[/texx]

Dado un conjunto [texx]B[/texx] arbitrario y ciertas funciones [texx]H_{\square}:B^2\rightarrow B[/texx], [texx]H_{\lnot}:B\rightarrow B[/texx] y [texx]H_{at}[/texx] que va del conjunto de átomos en [texx]B[/texx], existe una única función [texx]F:\mbox{PROP}\rightarrow B[/texx] tal que:

[texx]\left\{\begin{array}{lll}{ F(\varphi)}&=& \mbox{ $H_{at}(\varphi)$ si $\varphi=p_i$ o $\varphi=\bot$}\\F((\varphi\square\psi))} &=& \mbox{ $H_{\square}(F(\varphi), F(\psi))$ }\\F((\lnot\varphi))} &=& \mbox{ $H_{\lnot}(F(\varphi))$ } \end{array}\right.[/texx]

Spoiler: Prueba (click para mostrar u ocultar)

Muchas gracias por tu ayuda, Carlos.

Saludos
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« Respuesta #9 : 06/04/2012, 07:45:18 am »

Falta una cosa. De hecho, fui yo quien te lo dijo mal: para probar que [texx]F^*[/texx] es una función tienes que demostrar lo que dices que hay que demostrar, que no es lo que demuestras (que es lo que yo te dije que tenías que demostrar). Me refiero a que falta probar que para cada [texx]\phi[/texx] existe un [texx]b[/texx] tal que [texx](\phi,b)\in F^*[/texx]. Sólo has probado la unicidad, pero no la existencia.
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« Respuesta #10 : 06/04/2012, 10:56:13 am »

Falta una cosa. De hecho, fui yo quien te lo dijo mal: para probar que [texx]F^*[/texx] es una función tienes que demostrar lo que dices que hay que demostrar, que no es lo que demuestras (que es lo que yo te dije que tenías que demostrar). Me refiero a que falta probar que para cada [texx]\phi[/texx] existe un [texx]b[/texx] tal que [texx](\phi,b)\in F^*[/texx]. Sólo has probado la unicidad, pero no la existencia.

Humm... Creo que te entiendo. Donde digo:

Veamos ahora que este subconjunto del producto cartesiano [texx]\text{PROP}\times B[/texx] es una función [texx]F=F^*:\text{PROP}\rightarrow B[/texx]. Para ello debemos mostrar que toda fórmula [texx]\varphi\in \text{PROP}[/texx] aparece una y sólo una vez como primer componente de un par ordenado de [texx]F^*[/texx]. O dicho de otra manera, si [texx]\varphi\in \text{PROP}[/texx] y [texx]b,b'\in B[/texx] cumplen que [texx](\varphi,b)\in F^*[/texx] y [texx](\varphi,b')\in F^*[/texx] entonces [texx]b=b'[/texx].

Ese "dicho de otra manera" no es cierto. No serían cosas equivalentes. Es decir, para mostrar que toda fórmula [texx]\varphi\in \text{PROP}[/texx] aparece una y sólo una vez como primer componente de un par ordenado de [texx]F^*[/texx] hay que probar dos cosas:

a)-Que aparece alguna vez.

b)-Que en caso de aparecer, aparece una única vez.

En la parte de existencia, yo sólo probé b). Me faltaría probar a), ¿es eso lo que me quieres decir, no?

¿Lo demás está bien?

Saludos
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« Respuesta #11 : 06/04/2012, 11:14:42 am »

En la parte de existencia, yo sólo probé b). Me faltaría probar a), ¿es eso lo que me quieres decir, no?

Sí o, mejor dicho, has probado la unicidad (o sea, b), pero no la existencia (a).

¿Lo demás está bien?

Yo creo que sí.
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« Respuesta #12 : 06/04/2012, 11:19:01 am »

Bueno, un matiz: Al probar la unicidad, usas la existencia. La prueba estará bien en cuanto hayas probado la existencia, pero la prueba de la existencia debe hacerse antes de la de la unicidad para que el argumento no sea circular. No creo que haya ningún problema en demostrar la existencia sin apoyarse en la unicidad.
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« Respuesta #13 : 06/04/2012, 11:34:00 am »


Sí o, mejor dicho, has probado la unicidad (o sea, b), pero no la existencia (a).


Pero... ¿no es que a) y b) prueban en forma conjunta la existencia de una función [texx]F:\mbox{PROP}\rightarrow B[/texx]? Porque b) lo que nos asegura es que si [texx]\varphi[/texx] está en el dominio de la función [texx]F[/texx], no hay dos imágenes de una misma fórmula [texx]\varphi[/texx] por medio de la función [texx]F[/texx]. Si no se cumpliera ésto, [texx]F^*[/texx] sería una relación entre [texx]\mbox{PROP}[/texx] y [texx]B[/texx], pero no una función [texx]F:\mbox{PROP}\rightarrow B[/texx]. Con el apartado a) se estaría demostrando que [texx]\varphi[/texx] está en el dominio de la función para todo [texx]\varphi\in \text{PROP}[/texx]. O sea, que el dominio de la función es [texx]\text{PROP}[/texx].

Está un poco mal expresado matemáticamente, pero creo que se entiende mejor así lo que quiero decir. La prueba de la unicidad sería aparte, ¿o ya está probado con b)? Creo que a estas alturas, me estoy confundiendo. Capaz que están más ligadas de lo que creía existencia y unicidad...
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« Respuesta #14 : 06/04/2012, 11:40:04 am »

En un caso como este, creo que lo normal es decir que a) prueba la existencia de imagen para toda [texx]\phi[/texx] y b) prueba la unicidad de dicha imagen. Existencia y unicidad se refieren aquí a la imagen de una fórmula [texx]\phi[/texx], no a la existencia y unicidad de F. Disculpa si te he liado, pero todo lo que dices es correcto, lo estás entendiendo bien.
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« Respuesta #15 : 06/04/2012, 02:05:06 pm »

En un caso como este, creo que lo normal es decir que a) prueba la existencia de imagen para toda [texx]\phi[/texx] y b) prueba la unicidad de dicha imagen. Existencia y unicidad se refieren aquí a la imagen de una fórmula [texx]\phi[/texx], no a la existencia y unicidad de F.

Eso mismo intenté decir :sonrisa_amplia:.

Disculpa si te he liado, pero todo lo que dices es correcto, lo estás entendiendo bien.

No hay necesidad de disculpas. Al contrario, me has ayudado mucho a entender las sugerencias que se dan en el libro. Sin tu ayuda me hubiese resultado imposible. Ahora ya lo tengo todo claro.

¡Muchísimas gracias, Carlos!

Saludos
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