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Autor Tema: Notas de Análisis Numérico  (Leído 4651 veces)
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« : 14/11/2011, 01:17:30 am »

Hace tiempo tenía ganas de postear cosas sobre Análisis Numérico.

No sé bien cómo hacerlo, así que empezará como unas Notas.

Aunque hay una amplia bibliografía sobre el tema, me basaré principalmente en "An Introduction to Numerical Analysis", de Atkinson.

El progreso de estas notas puede que sea muy lento, así que aquellos que estén interesados sepan tener paciencia.
También es posible participar libremente, ya sea con sugerencias o con material.



¿Qué es el Análisis Numérico?

El Análisis Numérico o Cálculo Numérico estudia las soluciones a diversos problemas matemáticos por vía de aproximaciones.
Cuando un problema no puede resolverse en forma exacta, uno tiene que conformarse con una aproximación.
En ese caso, se diseña un método o un algoritmo que va dando aproximaciones sucesivas, idealmente cada vez más precisas, a la solución verdadera.

En ese sentido interesa que la solución aproximada obtenida satisfaga ciertos requisitos:

  • Si bien la solución aproximante no es exacta, el tamaño del error debe estar controlado o previamente estipulado. El error es la diferencia entre la solución real y la aproximada que nosotros hemos obtenido. Como es lógico, este error no puede conocerse con precisión, porque si no, bastaría sumarlo a nuestra solución aproximada para obtener la exacta, y listo. Por lo tanto, el error sólo puede estimarse en algun sentido.

  • Cuando se especifica un método o algoritmo para obtener cierta solución aproximada, en general se trata de un método sistemático e iterativo, de modo que pueda programarse en una computadora.
    En este caso interesa saber cuán rápido el método llegará a la solución buscada, dentro de la tolerancia de error previamente estipulada. A esto se le llama velocidad de convergencia del método.
    Si [texx]h[/texx] es dicha tolerancia, la velocidad o rapidez de convergencia será una función de [texx]h[/texx], aunque también puede depender de otros parámetros.

  • Se busca así que el error sea lo más pequeño posible, y que la velocidad de convergencia sea la mayor posible.
    En ocasiones hay que estipular varios criterios de error distintos, y elegir el método numérico adecuado a ese tipo de error.
  • También, la solución aproximada, que de ahora en más llamaremos solución numérica, puede que se le exija cumplir requisitos adicionales en aras de alguna conveniencia ya sea teórica o práctica.
    Por ejemplo, requisitos de continuidad, convexidad, diferenciabilidad, simetría, etc.


El análisis numérico comienza de esta manera, y lentamente se va ganando en abstracción lo cual lleva a estudiar operadores abstractos.
No quiero llegar a lo más abstracto sin haber pasado por lo más cotidiano y rudimentario.

Es común en este terreno plantear nuevos conceptos matemáticos que sean computacionalmente más viables, y que reemplacen efectivamente a conceptos teóricos sólidamente estandarizados.

Por ejemplo, cuando se reemplazan las derivadas por las diferencias finitas, lo cual lleva a una teoría de ecuaciones en diferencias finitas que intenta dar una alternativa a la teoría de ecuaciones diferenciales.

Una derivada, al involucrar un límite, se convierte en un proceso infinito impracticable por una computadora. Una teoría efectiva de diferencias finitas sí que puede implementarse en una máquina, y muchos cálculos pueden sistematizarse y aprovechar así la potencia de cálculo de la máquina.



A pesar de todas estas promesas, yo iré avanzando muy lentamente.

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« Respuesta #1 : 14/11/2011, 02:02:05 am »

(Lo que sigue se basa en principio en An Introduction to Numerical Analysis, Kendall Atkinson).


Tema 1: Fuentes y Propagación del Error

Sección 1.1: Preliminares

Varios resultados de Análisis Matemático de funciones reales se necesitarán una y otra vez.
Esto es muy común en el Análisis Numérico, y exploraremos aquí los principales teoremas, junto con algunos experimentos.

 
  • Teorema del Valor Intermedio. Sea [texx]f:[a,b]\in\mathbb R[/texx] una función continua, y sean

    [texx]m=\inf_{a\leq x\leq b}f(x),\qquad M=\sup_{a\leq x\leq b}f(x).[/texx]

    Entonces, dado un número cualquiera [texx]\zeta\in[m,M][/texx], existe al menos un punto [texx]\xi\in[a,b][/texx] tal que:

    [texx]f(\xi)=\zeta[/texx].

    En particular, hay puntos [texx]\underline x,\bar x\in [a,b][/texx] tales que

    [texx]f(\underline x)=m,\qquad f(\bar x)=M.[/texx]

  • Comentarios:

    Spoiler (click para mostrar u ocultar)

El Teorema anterior utiliza fuertemente las propiedades de los números reales.
La recta real es un continuo ordinal, y así los intervalos cerrados y acotados son compactos y conexos, con lo cual sus imágenes por funciones continuas también son compactos y conexos.

El Teorema del Valor Intermedio es un resultado de conexidad en sentido topológico.
El hecho de alcanzar el mínimo y el máximo en un intervalo cerrado es un resultado de compacidad.



¿Para qué sirve el dichoso Teorema del Valor Intermedio?

Una aplicación directa es la de asegurar la existencia de raíces de ecuaciones para funciones continuas.
Así, sea [texx]f(x)[/texx] una función continua, de la cual se sabe que [texx]f(a)<  0[/texx] y [texx]f(b)> 0[/texx].
Como [texx]f(x)[/texx] es en particular continua en [texx][a,b][/texx], y como:

[texx]m=\inf f(x)\leq f(a)< 0< f(b)\leq \sup f(x)=M[/texx]

se deduce que [texx]m< 0< M[/texx] con [texx]f([a,b])=[m,M][/texx].
O sea, el mínimo de [texx]f(x)[/texx] en [texx][a,b][/texx] es negativo, y el máximo es positivo.
Ahora, por el Teorema del Valor Intermedio, tiene que existir un punto [texx]\xi\in[a,b][/texx] tal que [texx]f(\xi)=0[/texx], pues [texx]0\in[m,M][/texx].

En otras palabras, existe una solución [texx]x=\xi[/texx] en el intervalo [texx][a,b][/texx] a la ecuación:

[texx]f(x)=0.[/texx]




A simple vista, esto de decir existe una solución en [texx][a,b][/texx] pareciera que no nos dice mucho, después de todo, el intervalo [texx][a,b][/texx] tiene infinitos puntos posibles, y vaya uno a saber cuál de todos ellos es la solución de la ecuación.

Pero recordemos que nos conformamos con una solución aproximada, y en todo caso nos interesa saber con cierta precisión dónde es que "más o menos" anda la solución buscada.

Algo tan simple como decir que existe una solución en un intervalo es la base de uno de los algoritmos más básicos de búsqueda de soluciones de ecuaciones que veremos más adelante, el cual se llama método de búsqueda binaria.


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« Respuesta #2 : 15/11/2011, 01:48:20 am »

Hola

Me encanta este tópico. Estudio Lic. Matemáticas aplicadas y el área de Cálculo y Análisis Numérico verdaderamente me apasiona. Será genial ir repasando temas que ya vi hace un tiempo y refrescarlos. ¡Cuenta con mi participación!

Saludos!  :sonrisa_amplia:
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« Respuesta #3 : 15/11/2011, 01:54:22 am »

Ok, Carolina.

Si sigo el orden del libro, voy a ir lento y tendrás que tener paciencia...

Sin embargo, si surge algún tema interesante, no hay problema en desviarse de ese "orden" rígido de los temas.

Hay otros libros que se pueden tener en cuenta.
Hay uno que me agrada también, que es uno de Kinkaid.

Saludos
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Carolina Herschel
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« Respuesta #4 : 16/11/2011, 10:10:54 pm »

Hola

Sí, ese es el que yo usaba. Muy bueno en verdad.
Por la velocidad no te preocupes, no hay prisa  :cara_de_queso: aparte te está quedando bonito!

Saludos!
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« Respuesta #5 : 18/11/2011, 11:37:27 pm »

Seguimos ahora con los Teoremas de Valor Medio.



  • Teorema del Valor Medio: Sea [texx]f:[a,b]\to\mathbb R[/texx] una función continua, que además es diferenciable en [texx](a,b)[/texx]. Existe un número [texx]\xi[/texx] tal que [texx]a< \xi< b[/texx] de manera que:

    [texx]\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi).[/texx]

  • Comentarios:

    Spoiler (click para mostrar u ocultar)




Desde el punto de vista geométrico, la derivada es, como sabemos, la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto dado.

El dibujo muestra cómo la pendiente de la recta que une los puntos [texx](a,f(a)),(b,f(b))[/texx] es la misma que la recta tangente a la curva [texx]y=f(x)[/texx] en el punto [texx]x=\xi[/texx].
Tener la misma pendiente quiere decir, claro está, que ambas rectas son paralelas.

En el dibujo hay al menos otro punto donde la tangente a la curva es paralela a las rectas dibujadas en color rojo, sin embargo no la he dibujado.

Esto no contradice el Teorema, ya que es sólo de existencia, pero nunca se asegura allí si el punto [texx]\xi[/texx] es único o no.



Es común usar este Teorema para hacer estimaciones que involucran incrementos sucesivos.
Por ejemplo, así:

[texx]|f(a+h)-f(a)|\leq |f'(\xi)||h|\leq |h|\, \max_{x\in [a,a+h]} |f'(x) |.[/texx]

Si esto se aplica a varios intervalos, la estimación del máximo de la derivada en todos ellos resulta útil.


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