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Autor Tema: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo (review de un libro sobre el tema)  (Leído 10793 veces)
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« : 06/08/2011, 04:04:31 am »

Hay varios libros de Fundamentos de las Matemáticas.

Yo "pesqué" uno cualquiera, para comentar acá, que se llama

"Logicism, Intuitionism and Formalism, what has become of them?"

(Logicismo, Intuicionismo y Formalismo, ¿qué ha sido de ellos?).

Hay varios editores y autores, no sé si vale la pena nombrarlos.

Si alguno tiene razón, a lo mejor lo nombre para que le manden una tarjeta de felicitación.
Lo mínimo que puede hacer un lógico es tener razón.
Pero ya eso no se ve más en estos tiempos.

Elegí este texto porque parece apuntar a la discusión del tema de los fundamentos, y no tanto al estilo: "Sea T una teoría, entonces T es una lista de Axiomas A1, A2, A3...", aaaahhhh!!! Estaríamos de nuevo en la eterna pregunta de ¿por qué diablos y con la autorización de quién un tipo se pone a definir cosas de tal o cual modo, y hace y dice las cosas que hace?

Voy a poner enlaces en los posts que sigan el "hilo principal", para que no se pierdan entre los posts que surgen a modo de debate o comentario.

En el spoiler siguiente pongo comentarios personales, que no tienen por qué importarle o agradarle a otros.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)



Voy a comentar el capítulo de introducción, y si puedo seguiré con el resto del libro, que está dividido en tres secciones: Logicismo, Intuicionismo y Formalismo.

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« Respuesta #1 : 06/08/2011, 12:51:37 pm »

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Introducción: Los Tres Programas Fundamentales.

Por Lindström y Palmgren.

Vaya uno a saber quiénes son estos dos.
Seguramente unos mentirosos.
Hacer lógica es mentir.

Pero la parte histórica que cuentan, esa debe ser bastante cierta.

Ocasionalmente pondré comentarios al margen en azul marino, así pueden salteárselos libremente si no son de vuestro agrado.

También habrá información adicional en color marrón, la cual no está en el texto original, y la agrego porque me parece que puede ser importante. Aunque también se puede omitir.

En letra negra corriente aparecerán comunmente párrafos traducidos del libro, o bien frases resumidas, o extractos.
Puede que yo opte por decir lo mismo que el libro pero con otro estilo, pensando en la brevedad, en lo que me parece más central, y también en quienes posiblemente lo van a leer.

Finalmente, se puede omitir todo.



Hablan de un período histórico "clásico" de los Fundamentos de las Matemáticas, que se originó con un artículo de Frege en 1879, y culminó con uno de Gödel en 1931. Antes la matemática era un desastre, y después nadie entendió más nada.

Spoiler: Información adicional sobre Frege (click para mostrar u ocultar)

Se atribuyen (o quizá mejor dicho: asocian) el Logicismo a Frege, Russell y Whitehead, el Intuicionismo a Brouwer, y el programa formalista a Hilbert.
Sabemos que han habido muchos otros autores dando vueltas en estos temas, y seguramente aparecerán a lo largo de los capítulos.

Digamos que esos seis hombres nombrados son los principales "culpables" (o víctimas) de las mencionadas líneas filosóficas.

En 1930 hubo un simposio en Könisberg, en donde se dio un resumen del estado de cosas en el tema de Fundamentos, con papers de Carnap, Heyting y von Neumann. Ahí también Gödel anunció su Primer Teorema de Incompletitud.

La discusión central del libro se centra en este período clásico, y en la pregunta de si acaso en la época actual aún esos programas de Fundamentos de las Matemáticas aún perduran.

En lo que a mí concierne, me parece de vital importancia que aquellos que no tenemos una ardua formación en estos temas, podamos ir caminando paso a paso por el camino recorrido históricamente.
Hoy en día hay tantos libros, páginas web, gente hablando por todas partes, que es muy confuso el panorama.

Hay libros de Lógica que hablan de modelos y otras cuestiones que parecen tener que ver con los Fundamentos, pero resulta que usan deliberadamente lenguaje de Teoría de Conjuntos, lo cual generaría un círculo vicioso, porque es tarea de los Fundamentos discutir lo que le pasa justamente a la Teoría de Conjuntos, como a otras cuestiones más.

La abstracciòn en esos libros a veces es sólo aparente. Se estudian lógicas como una rama del álgebra: Álgebras de la Lógica y temas relacionados.
Pero de fundamentos, nada, y uno tiene que adivinar cuáles son los textos que tratan a la Lógica y los Conjuntos realmente desde la perspectiva fundacional.

Sólo ganando experiencia podremos llenar estos huecos.
Por suerte, la mayoría acá en el foro están igual de perplejos que yo, así que supongo que vamos a hablar todos el mismo idioma.




Logicismo y Neologicismo.

Hay un filósofo que siempre me pareció un pelele: Kant.
Lo único bueno que hizo fue que se animó a hacer lo que otros no: pensar.
Imagino que su fama proviene de que todo el mundo fácilmente halla fácil el modo de estar en desacuerdo con él, y por lo tanto no queda más remedio que nombrarlo.


Digamos que el "filósofo K." deliraba sobre las relaciones entre la intuición y la matemática, y que el conocimiento matemático es sintético a priori (vaya uno a saber qué quiere decir esto. Ni siquiera sé si tengo ganas de enterarme).

Frege más o menos le creía a K. cuando se habla de geometría, porque es bastante claro que la geometría tiene raíces intuitivas.

Tengamos en cuenta que la intuición es una palabra que permite abusos del lenguaje.
La gente empieza a debatir en vano cuando se entra en este terreno.

Se supone en todo esto que hay ciertos "productos de la mente", intuiciones, que de algún modo son comunes a todos los seres humanos. La intuición de línea recta, de plano, etc., es más o menos la misma para todos.

Serían "intuiciones colectivas", porque no son subjetivas, vale decir, no dependen del sujeto que "intuye".

Pero no todo lo intuitivo funciona así, y la frontera entre subjetivo y colectivo es muy borrosa.
Nótese que preferí el uso de la palabra "colectivo" al de "objetivo".


Aún no tenemos claro tampoco qué se entiende por "verdad matemática" o "leyes" o "razonamientos válidos" o "lenguajes", así que al usar esos términos estaremos siendo vagos e imprecisos.
Si hay suerte, a medida que avancemos podremos precisar más.

Por ejemplo, citemos a Frege:

Cita
Las bases de la Aritmética residen, al parecer, más profundas que cualquiera de las ciencias empíricas y aún que la geometría. Las verdades de la aritmética gobiernan todo lo que es numerable. Esto es el más amplio dominio de todo; pues concierne no sólo a lo existente, no sólo a lo intuíble, sino todo lo pensable. ¿No deberían las leyes de los números entonces estar íntimamente conectadas con las leyes del pensamiento?

En esta reflexión coincido con Frege. Pero las razones por las cuales coincido se notarán mejor después, cuando logremos avanzar en los temas de lenguajes y conjuntos.
Como yo lo veo, la estructura de la escala de los números naturales está íntimamente entroncada en la manera que pensamos y escribimos cualquier cosa de matemática, hasta un nivel tan básico que resulta "pegajoso", tan elemental que incluso es anterior a la lógica o cualquier teorización hasta ahora imaginada.

Como es de esperar, mucha gente no tiene ganas ni de oírme cuando empiezo a hablar así. Hasta con la cara dicen: "no pibe, así no es", jaja.
Bueno, ya vamos a ver qué pasa...


Pero las coincidencias con Frege terminan rápido.
Él consideró que la aritmética puede ser deducida directamente de la lógica.
Y por eso sus fundamentos de la aritmética y la matemática son lógicos. Hizo su sistema, y de ahí arrancó.

Los números (siempre naturales en este contexto) son entidades abstractas, no se puede interactuar empíricamente con ellos, así que tenemos el problema de cómo obtener conocimiento de ellos.
Frege decía que esto era posible a pesar de todo, y que bastaba para ello reducir la aritmética a la lógica.

¿Qué son para Frege la aritmética y la lógica?
Bueno, la aritmética se refiere a los números naturales y sus propiedades, incluyendo inducción completa y quizás también las operaciones elementales de suma y producto.

¿Qué es la lógica para Frege?
Esto no lo puedo responder con precisión, no sé en qué estaba pensando Frege en ese entonces.

En esos tiempos se conocía sin dudas la lógica aristotélica, el Álgebra de Boole, y la lógica proposicional (que no incluye cuantificadores).
Pero a continuación Frege define y/o construye un sistema lógico con su propio estilo y criterio.
Esto es lo que Frege nos ofrece como "lógica". Es la lógica de 2do orden (la primera formalmente establecida de ese tipo, seguramente).

Pero antes de haberla construido, la "lógica" para Frege era algo vago, una idea pululando en las nebulosas Kantianas.

Para mí Kant es el símil filosófico de Arjona.
Lo imagino recostado en un sillón haciendo como que pensaba, y "mandando fruta".

Fue Frege quien se puso realmente a trabajar y construir un sistema concreto, del cual se pudiera decir algo a favor o en contra.



Frege intentó mostrar que:

(i) Los conceptos de la aritmética pueden definirse explícitamente en términos de conceptos lógicos.
(ii) Las verdades de la aritmética pueden deducirse de los axiomas y definiciones lógicas por meras reglas de inferencia.

La palabra "verdad" por estos lados también es controvertida, porque puede interpretarse de varias maneras, según el caso.
Así que la dejamos en "stand by".


Un sujeto racional ideal sería capaz de obtener todo conocimiento de la aritmética (números naturales) "a priori" de esta manera. Los editores critican con razón que Frege a lo sumo "le tira la pelota" a la lógica, porque asume ahora que los principios básicos de la lògica de Frege son conocibles apriori.

Más aún, y lo peor de todo esto, es que el sistema de Frege resultó inconsistente, vale decir, se halló en él una contradicción básica.
Según he leído por ahí, el sistema se puede salvar quitando uno de los axiomas o principios de Frege, y haciendo las cuentas sólo con la parte restante.

A pesar de esa inconsistencia, la influencia de Frege llega hasta nosotros fuertemente a través de los tiempos. Por eso vale la pena estudiarlo. Aunque es bueno saber que tuvo una falla. De no haberse hallado ese error, quizá hoy estaríamos todos usando alegremente la teoría de Frege.

Se habla de cuatro afirmaciones "implícitas" el programa logicista de Frege:

  • (a) La lógica es (o puede representarse) por un sistema formal.
  • (b) Se puede saber a priori que los axiomas de la lógica son verdaderos y que las reglas lógicas de inferencia preservan verdades.
    (O sea, si uno sigue las reglas de la lógica, las consecuencias obtenidas, calculando según dictan las reglas de inferencia, son verdaderas).
  • (c) Los conceptos aritméticos son conceptos lógicos.
  • (d) Las verdades aritméticas son demostrables en la Lógica.

Ya veremos qué tan profunda es para Frege la interacción de los números en el seno de la lógica.

Más o menos en la misma época, Dedekind también argumentaba sobre un tipo de logicismo:

Cita
En la ciencia nada susceptible de demostración debería ser aceptado sin demostración. Aunque esta demanda parece muy razonable, no puedo considerar que se cumple aún en esta parte de la lógica que trata con la teoría de números.
Al hablar de aritmética (álgebra, análisis) como una parte de la lógica, quiero implicar que considero el concepto de número completamente independiente de las nociones de intuición de espacio y tiempo, que lo considero un resultado inmediato de las leyes dle pensamiento.

Recordemos que Dedekind se ocupó de construir los distintos sistemas numéricos con completo rigor, partiendo de los números naturales. No sé si fue él quien primero expuso la construcción de los enteros desde los naturales, y luego de los racionales desde los enteros.
Pero fue él quien dio una de las tantas maneras de construir los reales a partir de los racionales, a partir del método de las cortaduras.
Como se ve, estaba preocupado tratando de dar consistencia a la aritmética de su tiempo.


A partir de acá, sigue una interesante discusión sobre Dedekind, que ya va más al grano con lindos calculitos.

En particular, Dedekind dio una definición lógica de los números naturales, al mismo estilo de Peano. Veremos los detalles en el siguiente post.


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* 20110806Frege.pdf (623.29 KB - descargado 141 veces.)
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« Respuesta #2 : 06/08/2011, 05:28:54 pm »

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Dedekind

¿Qué quiso hacer Dedekind?

Lo concreto es que hizo varios tiros con los dardos, y le pegó más o menos con algunos... Veamos.

Trabajó en una teoría informal de conjuntos, la cual (supuestamente) puede verse como una parte de la lógica.
Dedekind dio, por primera vez, una caracterización axiomática abstracta de los números naturales.
Lo hizo a través de un:

Sistema simplemente infinito: es un conjunto [texx]X[/texx] (que vendrían a ser los naturales) junto con un elemento [texx]e[/texx] (que vendría a ser el [texx]0[/texx]), y una operación [texx]S[/texx] en [texx]X[/texx] (la función sucesor), satisfaciendo:

  • (a) [texx]S[/texx] es una función uno-a-uno (ó inyectiva) de [texx]X[/texx] en [texx]X\setminus \{e\}[/texx].
     
  • (b) Para todo [texx]Y\subseteq X[/texx], si [texx]e\in X[/texx], y siempre que [texx]x\in Y[/texx] también [texx]S(x) \in Y[/texx], entonces [texx]Y=X[/texx].

Obviamente (b) es el Principio de Inducción.

¿Por qué Dedekind hacía esto así?
Bueno, como Dedekind quería expresar los números naturales con bases puramente lógicas, lo que pretendía era definir unos entes con ciertas propiedades, demostrar luego que esos entes son todos "equivalentes", y así queda claramente definido, salvo isomorfismos, la noción de sistema de números naturales.

Estos entes abstractos que Dedekind define son una clase especial de conjuntos, que él llama: sistema simplemente infinito.
Se puede demostrar que todos los sistemas simplemente infinitos son isomorfos entre sí.
Esto conduce a una noción matemática inambigua, y permite demostrar con herramientas netamente lógicas la existencia de un sistema como el de los números naturales.

También permite, por supuesto, demostrar propiedades de los números naturales con todo rigor, sin especulaciones "intuitivas", que nadie sabe adónde pueden ir a parar.


En forma independiente Peano publicó su lista de Axiomas de los números naturales:

  • (P1) 0 es un número natural.
  • (P2) Todo número natural [texx]n[/texx] tiene un único sucesor [texx]S(n)[/texx].
  • (P3) 0 no es el sucesor de ningún número natural.
  • (P4) Dos diferentes números naturales no tienen el mismo sucesor.
  • (P5) Para toda [texx]F[/texx], si valen las siguientes dos condiciones:

    • (a) F(0),
    • (b) para todo número natural [texx]n[/texx], si [texx]F(n)[/texx] entonces [texx]F(S(n))[/texx].

    entonces todo para todo número natural [texx]n[/texx], vale [texx]F(n)[/texx].

Observamos dos cosas. La primera, esos axiomas están escritos en una forma muy "conversada". Hay mucho palabrerío.
El término número natural está bien, porque se lo está definiendo a partir de los Axiomas. Pero frases como "dos números naturales diferentes", "el mismo sucesor", están dichas en forma idiomática y no simbólica.

Si nadie me lo define con precisión, no sé qué quiere decir "dos diferentes ... de lo que fuere", o "el mismo".

El uso de términos como "número natural" ó "sucesor" podrían escribirse simbólicamente... pero el problema acá es que se está evitando, al parecer, el simbolismo propio de la teoría de conjuntos.
Se evita hablar de "el conjunto de números naturales", o la relación [texx]\in{}[/texx].

No sé si esto se debe a antiquismos propios de la época, o bien se trata justamente de dar un sistema formal con absoluta generalidad.

Por ejemplo, ¿qué es [texx]F(n)[/texx]? Eso es una función proposicional que depende de una variable [texx]n[/texx], la cual, cuando es reemplazada por un número natural, tiene un cierto valor de verdad.
Esas funciones proposicionales pueden tener un universo de discurso muy amplio: conjuntos, clases propias, e incluso quizá cualquier objeto abstracto imaginablle.

No puedo inferir de esos axiomas el alcance de dicho universo de discurso.
He visto demostraciones matemáticas que usan este principio de inducción matemática general,
por ejemplo, aplicado a clases propias de grupos de orden [texx]n[/texx].

Por otro lado, el uso de la notación [texx]S(n)[/texx] me resulta extraño, porque no parece haber ninguna referencia a "funciones" (para que la haya, tendrían que haberse primero definido conjuntos de pares ordenados, o sea, las funciones como conjuntos o clases).
Es así que [texx]S(n)[/texx] no es una "función sucesor" sino una "notación taquigráfica" para decir "sucesor de [texx]n[/texx]", y el "sucesor de" es sólo un término primitivo más.


El uso de "palabrerío" para dar sistemas axiomáticos es un síntoma de que los símbolos matemáticos están molestando, porque se pretende permanecer en un estadio "previo" a dicho simbolismo.
No es la primera vez que veo sistemas axiomáticos escritos así.

Es como si uno, viendo que no tiene aún nada definido, busca desesperadamente herramientas de algún otro lugar para poder "decir algo", empezar, construir.

Esas herramientas están en el lenguaje coloquial y libre, pero es tan amplio, vasto, ambiguo e informal, que no veo posible justificar un sistema formal de esta manera.

Pero entonces, ¿cómo si no?

La gente, rendida ante la situación, ni se lo cuestiona, y empieza a "enunciar", esperando que de ahí algo "inambiguo y formal" surja.
Una especie de "segregación" del lenguaje, dentro del lenguaje mismo, para obtener un subproducto más preciso e inambiguo.

Aún así no me lo creo. Pero por ahora, se queda así...




Dedekind probó que dos sistemas simplemente infinitos (como él los llama) son isomorfos.
Acá los editores comienzan a hablar en idioma de teoría de modelos y yo no entiendo más nada. Me limito a traducirlo, con la esperanza de entenderlo más adelante:

Esto significa que la aritmética de Peano de 2do orden, con las semánticas estándar, es categórica, es decir, todos sus modelos son isomorfos,
y por lo tanto es negación-completo, o sea: para cualquier sentencia [texx]\phi [/texx] en el lenguaje de la aritmética de 2do orden, o bien [texx]\phi[/texx] o bien la [texx]no-\phi[/texx] es una consecuencia lógica de los Axiomas de Peano (o sea, verdadera en todos los modelos de los Axiomas).

En el Spoiler, analizamos ese párrafo.


Se supone que los Axiomas de Peano se aceptan en la actualidad como referidos a "modelos estándar de 2do orden para los números naturales". Esto requiere que se aclare una terminología técnica, para la cual aún no estoy listo, y aún si lo estuviera, éste no es el lugar propicio.

Hay estructuras de 2do orden que parecen tener agradables propiedades de los sistemas lógicos, las conocidas propiedades de ser recursivamente axiomatizable, compacidad, y el Teorema de Löwenheim–Skölem. Para que esto ocurra, se requiere seguir la teoría de Henkin. Hay semánticas de 2do orden que no satisfacen esas propiedades "deseables" (vaya a saber por quién).

Todo esto lo estudiaremos mucho más adelante...



Dedekind decía que la secuencia de los números naturales eran una libre creación de la mente humana.
Sin embargo, no podía él estar seguro de la existencia real, palpable, de estos números, ni tampoco de sus propiedades, ya que fácilmente se podría caer en contradicciones internas.

Para ello, él puso esos axiomas, luego mostró de alguna manera cómo se "generaba" una de esas posibles secuencias (o modelo) de números naturales, advirtió que podía haber muchos modelos más satisfaciendo las mismas leyes, y los puso a todos en una misma familia, que él llamo: sistemas simplemente infinitos, y finalmente probó que, por suerte, todas ellas eran equivalentes.

Por lo tanto, uno podría usar los números naturales sin temor en todo razonamiento matemático.
No importa con qué grado de abstracción se usen, ni en qué contexto estemos, los números naturales siempre tendrán un mismo comportamiento...

Tendremos ocasión de ver que esto no es siempre así... pero bueno, una cosa a la vez.
Creamos lo mismo que creyó Dedekind en su momento, así entendemos cómo fueron evolucionando las cosas.


Si bien todos los sistemas de Dedekind son isomorfos, no dejan de ser "muchos".
¿Cómo se obtiene algo "único", un definitivo y único "conjunto" de números naturales?
Esto se logra, según Dedekind, mediante abstracción, y le llamó tipo abstracto de los sistemas simplemente infinitos.

Eso es, para Dedekind, la secuencia de los números naturales.
Uno, al hablar de 1, 2, 3, 4, ... está haciendo referencia a todos los 1's, todos los 2's, etc., que "viven" cada uno en su sistema (X, C) correspondiente, y que pueden ligarse unos a otros por un isomorfismo [texx]f[/texx].

Es algo que tiene mucho sentido, y a cualquiera de nosotros bien se le puede ocurrir decir esto.
Dedekind tan sólo fue el primero que lo pensó.



Siguiendo con estas intenciones de Dedekind de definir todo en abstracto, sólo a partir de propiedades meramente lógicas, podemos ver cómo se las apañó para definir las nociones de finito e infinito, sin usar ningún tipo de "conteo".

Declaró que un conjunto [texx]X[/texx] es infinito si es biyectivo con algún subconjunto propio [texx]Y[/texx] de sí mismo.
En cambio, el conjunto [texx]X[/texx] se dice finito si no es infinito, o sea, si no es posible biyectarse con una parte propia.

Estas nociones se conocen mejor como Dedekind-infinito y Dedekind-finito.
Es importante notar que dichas nociones no presuponen en modo alguno la noción de sistema de números naturales.
No hace falta usar números para definir finitud ni infinitud.  Aplauso




A continuación Dedekind mostró que todo conjunto infinito incluye un sistema simplemente infinito. Esto es lo mismo que decir que todo conjunto infinito contiene adentro una "versión" de los números naturales, o sea, que se puede armar una secuencia ordenada de elementos de [texx]X[/texx] que se comporten como los naturales. Mejor todavía: que hay una función inyectiva de un sistema de números naturales en [texx]X[/texx].

De esto, para poder concluir, pues, que existe un sistema de números naturales, es necesario y suficiente que exista un conjunto infinito.

¿Cómo hizo Dedekind para demostrar, a partir de la pura lógica, que existe un conjunto infinito?
Porque eso es lo que se puso a hacer...  Aplauso Un "troesma".

(Más aún, para que el sistema axiomático de Peano sea consistente, es necesario que exista un tal sistema de números naturales. Consistencia quiere decir acá: satisfabilidad, que haya algún modelo que satisface los axiomas).

El tipo dijo: Considero mi "propio reino de pensamientos, o sea, la totalidad [texx]S[/texx] de todas las cosas que pueden ser objeto de mi pensamiento". Y argumentó que esa totalidad [texx]S[/texx] es infinita:

* Dado un [texx]x\in S[/texx], define el sucesor [texx]s(x)[/texx] como el pensamiento de que "[texx]x[/texx] puede ser un objeto de mi pensamiento"  :guiño: Este objeto s(x) puede ser un objeto de "mi" pensamiento, por lo tanto [texx]s(x)\in S[/texx].
Además, hay elementos en [texx]S[/texx] que no son pensamientos de algún otro [texx]x[/texx]. Por ejemplo "mi propio ego".
(Estos vendrían a ocupar el lugar del "0" en una proceso iterativo, son elementos [texx]x[/texx] sin "antecesor").

Al parecer luego argumenta que [texx]s[/texx] es una aplicación uno-a-uno de [texx]S[/texx] en [texx]S[/texx].
Partiendo de algún elemento sin antecesor (como "mi ego"), se puede generar una secuencia de naturales...

Por lo tanto [texx]S[/texx] es Dedekind-infinito. Espectacular.  Aplauso

No me extraña que la mente de Dedekind sea tan vasta que pueda albergar infinitos pensamientos.
Cuanto más lo conozco a Dedekind, más me simpatiza.

En cambio el filósofo K...


Sin embargo, esta "demostración" de Dedekind, más allá de parecer matemáticamente poco seria, adolece de fallos que no se pueden emparchar.
Un conjunto como [texx]S[/texx] de "todos mis posibles pensamientos", parece ser un conjunto muy amplio.
Cuando esto es así, fácilmente se obtienen colecciones que "no pueden ser conjuntos", como por ejemplo el "conjunto R de todos aquellos conjuntos que no se contienen a sí mismos".
¿Es R un conjunto? Se cae en una paradoja.

Así que el intento de Dedekind, así como está, es un error.

Puede quedar la duda, porque el lenguaje en que está expresado es algo ajeno a la teoría de conjuntos, salvo por un informal uso de los conjuntos... No queda del todo claro la intención precisa en el uso de los términos que aparecen en esos dichos de Dedekind.
Pero pareciera que cualquier intento razonable de precisar mejor las ideas de Dedekind, conducirían seguramente, indefectiblemente, a las consabidas paradojas de la teoría de conjuntos, como la del conjuntor R.



Demostrar la existencia de conjuntos infinitos es un obstáculo importante para cualquier programa meramente logicista.

Desde la perspectiva moderna no se ve cómo puede ser posible demostrar la existencia de infinitos números naturales dentro de la lógica. (Imagino que se refiere a alguna lógica de las modernas).

La lógica moderna procura ser neutral ante los temas que versan sus predicados y prescindir de cualesquiera características ontológicas (la existencia de objetos de algún tipo). Es algo que puede hacerse (dice por ahí) a costa de perder elegancia. Pero es teóricamente posible.
Parece entonces que para cualquier programa logicista que alguien quisiera imponer, se requieren bases lógicas diferentes a las aceptadas en tiempos contemporáneos.


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« Respuesta #3 : 06/08/2011, 07:34:08 pm »

Hola, Argentinator. Te he leído de arriba a abajo (suelo hacerlo así, me gusta ser ordenado por lo menos para algunas cosas  :risa: ). En serio, quiero decir que lo he leído todo; menos el PDF en alemán.
 Lo primero que vi cuando abrí un libro de análisis -o de lo primero que vi-, fueron los axiomas de Peano. Es de las cosas que más me sorprendieron: uno empieza a leerlos, a estudiarlos, en plan novato, y al principio te parece que te están tomando el pelo, parecen tan obvios que piensas que están de más, que de ahí no va a salir nada que ya no sepas; y dices "el uno es el primero, pero qué chorrada es ésta". Pero enseguida ves que no es así y que esa "s" de siguiente, que no sugiere más que ese simple y conocido concepto, se transforma en una herramienta prodigiosa. Y te asombras de que no se te ocurriera a ti. Entonces ves que lo más oculto de la ciencia no está encerrado en esos conocimientos que te quedan grandes, lejanos, futuristas y complicados, sino, por el contrario, en lo que parece más básico, en lo elemental.
 No tengo, ahora mismo, ningún comentario concreto que hacer sobre lo que has escrito, sólo te diré que me ha recordado eso que he escrito al principio y que se palpa que, en esos matemáticos  antiguos, existía una acuciante necesidad de "volver a empezar" para encontrar el "eslabón perdido"; eso que muchos tuvieron delante de las narices o en la punta de la lengua pero nunca terminó de concretarse; creo que Schopenhauer -mira, otro filoósofo como K...- fue el que dijo esta frase: "No hay que pretender ver lo que nadie ve, sino pensar lo que nadie piensa sobre lo que todo el mundo puede ver".
   
 Saludos y buenas noches (que aquí es tarde)
 
 
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« Respuesta #4 : 06/08/2011, 08:58:02 pm »

Bueno, las propiedades de los números eran bastante conocidas desde hacía siglos.

La pregunta es, ¿todo sistema abstracto que cumple esas propiedades puede considerarse un sistema de números naturales?
¿Qué propiedades son las que caracterizan a los números de esta manera?

Además, en matemática se necesita justificar lo que se afirma mediante razonamientos.
¿Qué relación hay entre los razonamientos y los números?
¿Son los números algo independiente de la lógica, o se pueden construir dentro de la lógica misma?

¿Cómo demostrar con absoluto rigor qué existen los números?
¿Y más importante aún, cómo estar seguros de cuáles son las propiedades de los números naturales, y cómo saber que a la larga no hallaremos una contradicción?

Hay varios ejemplos de paradojas relativas a números si no se tiene cuidado de cuán libre es el universo de discurso en que se les permite actuar.
Por ejemplo, sabemos que todo conjunto no vacío de números naturales tiene un elemento mínimo, lo cual es intuitivamente obvio.
Ahora consideremos el conjunto X de aquellos números x talles que x no puede expresarse con menos de cien caracteres.

Ese conjunto es no vacío ya que si el número de caracteres admisibles es digamos, el del UNICODE ([texx]2^{16}[/texx]), entonces el número de números que, como máximo, podrían expresarse, serían [texx]2^{1600}[/texx]. Tomemos el máximo de esos números así representados. El número M+1 no podrá representarse con menos de cien caracteres.

Bueno, ahora que el conjunto X es no vacío, tiene un mínimo elemento, digamos m. Ese m no puede expresarse con menos de cien caracteres. Pero por mera definición, m pertenece a X, por lo tanto m es "el mínimo elemento en X no expresable con menos de cien caracteres". Pero con esta frase hemos expresado m con menos de cien caracteres, lo cual es una contradicción.
(Paradoja de Berry).

Esto muestra que el uso libre de las propiedades de los números naturales conduce a errores.
Y por lo tanto es necesario determinar con rigor cómo y en qué contexto se puede usarlos o hablar de ellos.
Ya no son algo tan "libre" que pulula en nuestra mente.

Seguramente algo de ellos funciona correctamente, ¿pero qué, hasta dónde, en qué sentido?
Estas preguntas son las que han hecho a la gente cuestionarse los fundamentos de la aritmética.

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Fernando Revilla
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« Respuesta #5 : 07/08/2011, 03:39:51 am »

¿Son los números algo independiente de la lógica, o se pueden construir dentro de la lógica misma?

Mi conclusión (tras larga, dura y a veces amarga reflexión): están por encima de la Lógica.
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« Respuesta #6 : 07/08/2011, 03:57:25 am »

¿Por "encima" te referís a que están profundamente escondidos en la mente, que son previos a la lógica misma?
Porque esto es lo que a mí me parece.
Yo he llegado a esa conclusión.

No obstante, lo que a "uno le parece" lamentablemente no es publicable como artículo científico, jejeje.

Aún tengo un largo camino que recorrer, y muchas pestañas que quemar entre los libros.

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Fernando Revilla
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« Respuesta #7 : 07/08/2011, 04:22:56 am »

¿Por "encima" te referís a que están profundamente escondidos en la mente, que son previos a la lógica misma?

Que la Lógica no capta toda su esencia.

Cita
Porque esto es lo que a mí me parece. Yo he llegado a esa conclusión.

Bienvenido al Club.  :risa:

Cita
No obstante, lo que a "uno le parece" lamentablemente no es publicable como artículo científico, jejeje.

No me gusta la frase "lo que a uno le parece". Mejor diría lo que uno deduce después (insisto) de larguísima reflexión. En cuanto a lo de publicable o no, lo veo irrelevante. Creo que se presentan al año medio millón de artículos de "alta" matemática.

Cita
Aún tengo un largo camino que recorrer,

Todos.
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« Respuesta #8 : 07/08/2011, 06:33:06 am »

Es grato ver nuevamente este interesante tema por aquí.
Mañana intentaré aportar mi visión sobre el problema de los fundamentos de la Lógica y la Aritmética con la esperanza de que argentinator me diga en qué "ismo" estoy parado.

Saludos.
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Mi primer gran deslumbramiento matemático consistió en comprender que puede demostrarse que existen infinitos de diferente tamaño.
El segundo fue comprender que lo anterior, aun pese a ser correcto, carece de todo significado.
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« Respuesta #9 : 07/08/2011, 07:58:28 am »

Hola,

Sobre el asunto de que la aritmética es anterior a la lógica, parece que después del fracaso del logicismo (primero Frege, y luego menor, pero fracaso igual, Russell y Whitehead), hay un cierto consenso entre los expertos en filosofía de las matemáticas de que la aritmética es anterior a la lógica, y por tanto no se pueden deducir las propiedades de los números naturales a partir de la lógica pura, sino que hay que introducir algún elemento "no lógico" para poder reproducir una teoría de la aritmética.

Aparte de esto, yo también estoy de acuerdo (y lo estaba antes de hablar con ningñun experto en filosofía de las matemáticas) en que la aritmética es previa a la lógica.

Por cierto, un comentario sobre la inconsistencia en el sistema de Frege. Frege publicó tres grandes obras sobre lógica y aritmética: el Begriffsschrift, donde expone un sistema puramente lógico y aún no desarrolla al completo su sistema lógico de donde pretende deducir toda la aritmética, pero da unos primeros pasos en esa dirección. Este ha sido el libro influyente, y el sistema de este libro sí es consistente. Aquí es donde aparece por primera vez el concepto de cuantificación y también el de cálculo deductivo o sistema formal tal como lo entendemos hoy en día. En este sistema Frege no tenía semántica, solo sintaxis y el cálculo deductivo. De hecho la sintaxis de su sistema era bastante complicada, haciendo uso de la distinción función - argumento (otra novedad importante de Frege respecto a la lógica anterior que hacia distinción sujeto-predicado) donde cualquier cosa podía tomar el lugar del argumento y de la función.
Después de este influyente libro, publicó los Grundlagen, un libro más orientado a filósofos y menos formal, debido a la poca aceptación de su Begriffsschrift, y por último los Grundgesetze en dos tomos, donde se lanzaba a ampliar su trabajo del Begriffsschrift (con algunos cambios importantes sobre los que había reflexionado y cambiaod de opinión entre los dos libros) y desarrollar al completo su programa logicista. Aquí es donde Russell encontró una contradicción (la famosa paradoja de Russell, en contradicción con el axioma V del sistema de Frege) y se acabó la lógica para Frege. Frege intentó reparar a la desesperada su trabajo, pero el "parche" que le hizo era demasiado ad-hoc como para ser tomado en serio, y además muchos años después alguien demostró que su sistema seguía siendo consistente. Para hacer consistente el sistema de los Grundgesetze había que quitar o restringir un axioma con el cual todo el programa logicista de Frege se hundía, de manera que ya no era posible deducir las leyes de la aritmética de él.

Pero no hay que perder de vista que el trabajo realmente influyente para la lógica actual es el Begriffsschrift, y ese sí que es consistente.

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« Respuesta #10 : 07/08/2011, 08:05:44 am »


La pregunta es, ¿todo sistema abstracto que cumple esas propiedades puede considerarse un sistema de números naturales?


Si no se me escapa alguna definición olvidada que haya por ahí, creo que la respuesta debería ser "no sólo". Esos axiomas, hasta ahí, sin atender a más cosas como axiomas de las suma y demás, definen los elementos de un conjunto numerable en los que se establece que existe un primero por medio del [texx]0[/texx] y el [texx]1[/texx]; estableciendo así una relación de orden (creo ver que sin esos axiomas sobre el cero y el uno se podría también establecer, aunque arbitraria). Pero me parece que nada dice o nada hace ver con claridad que no existe un último elemento (no existe un último elemento definido, es un conjunto abierto).
Vamos, ya digo, repasando tu artículo así por encima, y recordando de mala memoria los axiomas de Peano, creo que al menos se escapa ese detalle.

 Por ejemplo, podríamos tomar este subconjunto de [texx]\mathbb{Q}[/texx]:

[texx] \{\displaystyle\frac{1}{n}\,\,, \displaystyle\frac{1}{n-1}...\,\,1\}[/texx]

Y podríamos tomar un elemento unidad, y decir el [texx]0,0...1[/texx] es el primero, y [texx]S(0,0...1)[/texx] será [texx]0,0...2[/texx] etc. También vale en este subconjunto decir que detrás del cero no hay ningún número... La diferencia está en que el símbolo, la grafía, que hemos de utilizar para designar el primer elemento no concreta tanto; aunque quizá esto no es así y es una impresión subjetiva mía; porque si 1 es el primer elemento de un conjunto infinito, y numerable, qué diferencia esencial existe con esto [texx]0,0...1[/texx], en realidad no tanta o no es tan fácil de definir el matiz, simplemente empleamos más símbolos separados en cuanto al trazo; y gastamos mas tinta, más allá de eso no es tan fácil, como en principio parece, señalar diferencias.

Pero no sé, insisto en que no lo he repasado ni pensado suficiente.

---

En cuanto a la paradoja ésa con la que me ilustras (Berry creo que era el nombre, ¿no?, ahora no lo veo escrito desde el editor) entiendo que el asunto está en que cuanto más buscamos abstraer una definición más definiciones necesitamos; es decir, si tenemos la definición modelo Perogrullo (por ejemplo: " éste 2 es el dos") va a ser difícil que surjan paradojas, o casi imposible. Sin embargo, si queremos alejarnos de esa simpleza y abstraer el concepto tendremos que echar manos de otros conceptos más ambiguos que involucran a la definición de más cosas: los números son caracteres pero las letras también los son. Esto hace pensar que una definición abstracta ideal necesitará de infinitas definiciones auxiliares; y, como se suele decir, para ese viaje no hacía falta alforjas, de donde nos debemos rendir a la evidencia de que dejar de emplear la intuición del todo es un sueño imposible. Pero, en mi opinión, eso no debe preocupar tanto, la cuestión es llegar a saber si no sabemos algo, sobre los números, que debiéramos saber y  aún no sabemos; poder asegurar esto, sin dejarlo en una simple hipótesis, sería el primer paso; y después... a buscar ese algo.
Para mí la investigación es semejante a un ejército de millones de personas dando una batida sobre un terreno en el que hay pequeños objetos; va a ser difícil que deje de encontrarse uno brillante, aparentemente "obvio", pero existe al menos alguna probabilidad de ello, de que uno de esos objetos se haya pasado por alto y haya quedado perdido detrás del Ejército; y por existir, aunque se antoje imposible, existe incluso la probabilidad de que un niño que camine detrás de la muchedumbre lo descubra.

Saludos.




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« Respuesta #11 : 07/08/2011, 09:37:54 am »

No entiendo la notación que usaste.

Pero en realidad, dado un sistema que cumple los axiomas de Peano, pueden "construirse" ahí las operaciones de suma y producto.
Todo viene gratis, al menos donde yo "me muevo" que es la teoría de conjuntos estándar ZFC.


La pregunta es, ¿todo sistema abstracto que cumple esas propiedades puede considerarse un sistema de números naturales?


Si no se me escapa alguna definición olvidada que haya por ahí, creo que la respuesta debería ser "no sólo". Esos axiomas, hasta ahí, sin atender a más cosas como axiomas de las suma y demás, definen los elementos de un conjunto numerable en los que se establece que existe un primero por medio del [texx]0[/texx] y el [texx]1[/texx];

Esas cuentas las hice bastante acá en el foro...

La suma y la multiplicación, así como la relación de orden "vienen gratis" tras los axiomas de Peano.

Esto es posible porque uno puede probar el Principio de Definición Recursiva a partir del Principio de Inducción.
La Recursión en N permite definir la suma y la multiplicación, y también la relación de orden < viene de la suma misma, al decretar que a < b cuando la ecuación a + x = b tiene solución en N.



Si un sistema axiomático necesita aclarar por separado cuáles son los axiomas para la suma y el producto, es que la lógica subyacente es más débil.

No estoy ducho en esos sistemas aún, pero pienso que se ahí no tiene uno las herramientas de la teoría de conjuntos.
Uno necesita conjuntos para construirse funciones en la demostración del Principio de Definición Recursiva.
Necesita unir esos conjuntos para "pegar" las funciones y formar la función de recurrencia.

En un sistema axiomático de números naturales en que no se asume ninguna teoría de conjuntos, me parece bien que los axiomas de suma y producto se deban agregar aparte, porque no se deducirían, quizá, necesariamente de los Axiomas de Peano.
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« Respuesta #12 : 07/08/2011, 09:42:15 am »

Aparte de esto, yo también estoy de acuerdo (y lo estaba antes de hablar con ningñun experto en filosofía de las matemáticas) en que la aritmética es previa a la lógica.

...

Pero no hay que perder de vista que el trabajo realmente influyente para la lógica actual es el Begriffsschrift, y ese sí que es consistente.


Habría que ser más "preciso" en lo que queremos decir conque la aritmética es previa a la lógica.
No sé, para mí todavía eso tiene un aire místico.
Imagino que Fernando o vos podrán hablar de esto con más fundamento.

Tal como has dicho, la inconsistencia en el sistema de Frege vino cuando agregó su axioma "V".
Va a ver que analizar esto.
En el enlace que puse está supuestamente todo desarrollado (en inglés) el sistema de Frege.
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« Respuesta #13 : 07/08/2011, 09:46:14 am »

Mañana intentaré aportar mi visión sobre el problema de los fundamentos de la Lógica y la Aritmética con la esperanza de que argentinator me diga en qué "ismo" estoy parado.

Los aportes son bienvenidos, pero no sé si estoy calificado para "clasificarte" en algún "ismo".

Estoy exponiendo este libro tal como lo estoy leyendo, y antes de terminar el capítulo introductorio me doy cuenta de que hay muchas cosas que no sabía.

Claro que en estos años he leído sobre estos temas, y hay hechos históricos que los conozco, como lo que Oscar menciona sobre Frege, o algunas cosas de Dedekind. Pero veo que ignoro bastante.

Así que espero no me quieran matar cuando meta algún error descabellado.
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« Respuesta #14 : 07/08/2011, 12:30:08 pm »

No entiendo la notación que usaste.

Pero en realidad, dado un sistema que cumple los axiomas de Peano, pueden "construirse" ahí las operaciones de suma y producto.
Todo viene gratis, al menos donde yo "me muevo" que es la teoría de conjuntos estándar ZFC.

 El conjunto al que me refería es el subconjunto de [texx]Q^{+}[/texx] cuya sucesión de elementos ordenados de mayor a menor es ésta:

[texx]\dfrac{1}{n}\,\,\,\,,\dfrac{1}{n-1}\,\,\,\,,\dfrac{1}{n-2}\,\,\,\,...\,\,\dfrac{1}{n-(n-1)}\,\,[/texx]

Se puede definir un primero, es numerable, tiene infinitos elementos, permite el método de inducción... pero a diferencia de N está acotado en 1 por la derecha.

 Creo acertar si digo que una buena definición de N debe lograr que este conjunto no sólo no se confunda con ninguno de los otros grandes conjuntos, sino que también debemos intentar que no se confunda con ninguno de sus subconjuntos.
 Tú me habías preguntado si esos axiomas definían a los naturales, y yo te he contestado "creo -que implica que el que habla no está seguro- que no sólo, porque me parecía que esos axiomas no definían bien o suficientemente cómo es el "último" elemento de N. 

 En esencia podríamos decir que he dicho que intuyo que hay que definir más, no menos, sin que ello implique que haya que recurrir a cosas que vienen después, como los axiomas de la suma o, qué sé yo, la teoría de la relatividad  :sonrisa:

Saludos.


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« Respuesta #15 : 07/08/2011, 04:33:09 pm »

Ese conjunto es finito.

¿Cuánto es n? Si n = 5, por ejemplo, tu sucesión tiene 5 elementos: 1/5, 1/4, 1/3, 1/2, 1.

A lo mejor el ejemplo que buscás es éste: 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ..., o sea, la sucesión 1/n.

Toda sucesión cuyos elementos son objetos distintos, de cualquier especie, satisface los axiomas de Peano, ya que una sucesión no es otra cosa que una función de N en un conjunto X.
Si todos son distintos, la función es inyectiva.

Luego [texx]f:N\to X[/texx] es una inyección, y si además la función recorre todo X, se tiene una biyección.
En este caso, se puede contagiar la estructura de N a X, por sólo definir el "siguiente" de f(n) como f(s(n)).
Con eso en mano, en X vale el principio de inducción.

En tu ejemplo, la suma en el conjunto X = {1, 1/2, 1/3, 1/4, ...} estaría dada por:

[texx]\dfrac1n \oplus \dfrac 1m = \dfrac 1{m+n}[/texx].

Aquí, el denominador "m+n" es una suma en "N", mientras he usado el símbolo "[texx]\oplus[/texx]" para indicar la suma en X.

El orden de los elementos en X quedará al revés.

Entiendo lo que estás planteando, pero el conjunto X, visto como un subconjunto de racionales, claramente no satisface los axiomas de Peano.



¿y entonces, satisface o no satisface?

Lo que hay que tener claro es que los Axiomas de Peano no se aplican a un "conjunto" sino a una "estructura".

Dichos axiomas no hablan de un "conjunto N" sino de una terna "(N, e, s)" donde "N" es un conjunto, "e" es algún "primer elemento y "s" es una función inyectiva de N en N - {e}.

La terna (X, 1, s), donde X = {1, 1/2, 1/3, ...}, y  [texx]s(x) = 1/(1+1/x) [/texx] satisface los Axiomas de Peano.
Al definir ahí la suma, claro que queda una suma distinta a la suma de racionales.

No es lo mismo [texx]1/2 + 1/3[/texx] (que da 5/6, y que encima no es un elemento de X, se sale afuera del conjunto) sino que además [texx]1/2 \oplus 1/3 = 1/5[/texx], que nada tiene que ver.

Si bien esto puede hacerse con cualquier sucesión (inyectiva) de objetos de cualquier conjunto X,
normalmente las sumas y productos en tales sucesiones no se usan para nada.
Y no se usa sólo porque, si hay que hacer "aritmética", se la hace en el conjunto de índices, que ya tiene a "los" naturales.
(Si has leído lo de Dedekind, verás que no tiene sentido decir "los" naturales, sino "unos" naturales).

Pero la estructura de los naturales está ahí presente.
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« Respuesta #16 : 07/08/2011, 05:29:47 pm »

Ese conjunto es finito.


 Digamos que [texx]n\rightarrow{n}[/texx] y que es el mismo [texx]n[/texx] de la sucesión

 [texx]1,2,3...\,\,n[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #17 : 07/08/2011, 05:35:36 pm »

Sigo sin entender. Vas a tener que precisar mejor.

¿Podrías enumerar los elementos del conjunto? Porque lo que vos escribís me da un conjunto finito.
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« Respuesta #18 : 07/08/2011, 05:43:31 pm »

Sigo sin entender. Vas a tener que precisar mejor.

¿Podrías enumerar los elementos del conjunto? Porque lo que vos escribís me da un conjunto finito.

 Podría, pero estoy pensando en una contraobjeción para evadirme de la objeción que me vas a lanzar;  :risa:
 Esto del infinito no es fácil, pero admite que lo mismo ocurre por la derecha que por la izquierda.

 Un cordial saludo.
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« Respuesta #19 : 07/08/2011, 06:03:51 pm »

Si X es el conjunto de las funciones continuas, no hay ni "izquierda" ni "derecha".
Una sucesión de funciones [texx]f_n[/texx] distintas que converge a la función 0 en X es un ejemplo de sucesión bastante arbitraria, y ahí sigue siendo posible hablar de Axiomas de Peano.
La terna ahí sería [texx](F, f_1, S)[/texx], donde [texx]F = \{f_1, f_2, f_3, ...\}, S(f_n) = f_{n+1}[/texx].

Pero ya con el "subíndice" n le estoy "contagiando" la estructura de los naturales.

Hago siempre lo mismo, que es muy burdo.

No obstante, uno podría construirse ejemplos de ternas [texx](X, e, s)[/texx] que cumplan los Axiomas de Peano, sin necesidad de hacerlas a propósito como sucesiones con subíndice natural...

Todo esto, siempre en la teoría de conjuntos más estándar que se te ocurra.
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