Conjetura de Goldbach para 12n

[feriva]

Para todo número par se cumple la conjetura de Goldbach.

 Tomemos la sucesión



A la izquierda y a la derecha de   las parejas simétricas de coprimos con suman y, análogamente, los números que tienen algún divisor común con  suman ese par entre ellos; es fácilmente demostrable que no puede darse la suma pretendida con un coprimo con y otro que no lo sea.

 Hagamos la hipótesis de que la Conjetura de Goldbach deja de cumplirse para algún par 



En existe un primo que suma con el compuesto . Por otra parte, elijamos que estos números sean coprimos con , de forma que lo serán también con .

En el intervalo tenemos un compuesto que suma con ; por lo que este compuesto es coprimo con al serlo también  .

Obsérvese ahora lo siguiente:

, por lo cual, si la descomposición en factores primos de es , y habiendo un que es el primo coprimo con   más bajo, la descomposición de no puede ser menor que .

 Entonces ocurre que, como  es coprimo con , el valor de este primo, como muy bajo, puede ser . Así que como poco ha de ser tan grande como .

Por lo dicho, al ser tendremos que ; y en estas circunstancias no puede existir el compuesto coprimo con , tiene que ser primo: un primo que sumará con el par .

Dadas estas condiciones a las que hemos llegado, para que no se cumpliera la conjetura para un par , sería necesario que en no hubiera ningún primo coprimo con que sumara con un compuesto ; todos los primos coprimos con habrían de sumar con primos y no existiría, en dicho intervalo, la descomposición en sumandos   siendo "p" y "c" coprimos con .
 
Obsérvese que ello implica que no podrían existir compuestos coprimos con en el intervalo .

  Si ocurriera lo último, entonces, alguno de esos primos coprimos con tendría que sumar la cantidad con otro primo existente en , ya que, por el postulado de Bertrand, en dicho intervalo existe siempre al menos un primo; primo el cual, al ser un impar mayor que , tiene que ser siempre coprimo con .

Luego para todo par se cumple la conjetura. ¿Estáis de acuerdo?

[el_manco]

Hola

 Sería bueno que dividieses tu resultado en teoremas, lemas, o simplemente que numerases los resultados enunciados con claridad que vas probando.

 Eso ayuda a comprobar la veracidad de los argumentos, punto por punto, sin  mezlcar todos. Además ayuda a decir "voy a suponer que los Lemas 1,2,3" están bien y ver si entonces es correcto el 4. Así es más fácil analizar lo que pones.

 En general haces afirmaciones sin aclarar bien porque se cumplen; y no dejas suficientemente claro donde se usa la hipótesis de que la conjetura debe de cumplirse para .

 Por ejemplo: dices que en existe un primo que suma con un compuesto y que podemos elegirlos coprimos con .

 Si , los primos en son . El único coprimo con es . Tendríamos que no es compuesto como dices.

Saludos.

P.D. ¿Por qué has duplicado el mensaje?.

[feriva]

Hola, el_manco. Qué alegría me das interesándote por esto. Después de comer intentaré hacer lo que me dices y dejarlo claro todo.

P.D. ¿Por qué has duplicado el mensaje?.

 Porque en vez de dar a "modifica" para poner una letra que me había comido le debí de dar a "citar" sin darme cuenta; ahora lo elimino.

 Un saludo y muchas gracias.

 

[feriva]

PROPOSICIÓN:

Para todo número par se cumple la conjetura de Goldbach.

LEMA 1

Tomemos la sucesión



A la izquierda y a la derecha de   las parejas simétricas de coprimos con suman y, análogamente, los números que tienen algún divisor común con  suman ese par entre ellos; es fácilmente demostrable que no puede darse la suma pretendida con un coprimo con y otro que no lo sea; veámoslo:

Sea coprimo con 2n y sea  un número que tiene algún divisor común con  , y supongamos que suman  . Tendremos:

   donde  es el divisor común.

Entonces y resulta que no puede ser coprimo con  .

LEMA 2

Dada la sucesión anterior para ,  si en el intervalo no existiesen primos coprimos con  tampoco podrían existir compuestos coprimos con  en todo el intervalo 

Es obvio, los compuestos coprimos han de estar formados por factores primos menores que ellos, y si los compuestos pertenecieran a  igualmente pasaría con sus factores.
Por otra parte, dado ese caso, tampoco podrá haberlos en el intervalo  , ya que, el valor de  como mínimo será  y cualquier primo que apareciera en el intervalo daría lugar a un compuesto mayor que  ,

LEMA 3

Dada la sucesión anterior para , en el intervalo existe siempre algún primo coprimo con .

La conclusión se extrae directamente del Postulado de Bertrand. En existe al menos un primo. Y este primo, al ser mayor que , será coprimo con . Al ser coprimo habrá de sumar con otro coprimo con que estará contenido en (por lo dicho en LEMA 1). Si dicho coprimo fuera compuesto, implicaría inmediatamente la existencia de un primo coprimo menor que él (según ha quedado visto en LEMA 2).

Los casos para son los únicos que deben ser excluidos en cuanto al cumplimiento de este lema, para todos los demás es cierto, nos lo asegura el Postulado de Bertrand.

COROLARIO

De esto se deduce que si no existieran compuestos coprimos con en el intervalo para (lo que implicaría que no existirían tampoco en ) se cumpliría la conjetura por el LEMA 1; dado que existirían primos coprimos con  , por el LEMA 3, que se verían obligados a sumar el par entre ellos.


HIPÓTESIS

Hagamos la hipótesis de que la Conjetura de Goldbach deja de cumplirse para algún par  tomando la sucesión adecuada



En existe un primo que suma con el compuesto . Por otra parte, elijamos también que estos números sean coprimos con , de forma que lo serán igualmente con
 
En el intervalo tenemos un compuesto que suma con ; por lo que este compuesto es coprimo con al serlo también  .

(*Nótese que, por lo dicho en los lemas anteriores, si no pudiéramos hacer estas elecciones se cumpliría directamente la conjetura de Goldbach; (quizá podría ponerse una objeción, sobre una "posibilidad" muy remota, que soluciono al final)).

DEMOSTRACIÓN

Obsérvese ahora lo siguiente:

, por lo cual, si la descomposición en factores primos de es , y habiendo un que es el primo coprimo con   más bajo, la descomposición de no puede ser menor que .

* ver el punto "ACLARACIÓN" en este mismo hilo
http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,45633.msg182788.html#msg182788

Entonces ocurre que, como  es coprimo con , el valor de este primo, como muy bajo, puede ser . Así que como poco ha de ser tan grande como .

Por lo dicho, al ser tendremos que ; y en estas circunstancias no puede existir el compuesto coprimo con , tiene que ser primo: un primo que sumará con el par .

Yo mismo encuentro una posible objeción que paso a resolver

Hay que considerar, sin embargo, un caso muy extraño que parece que nunca podría darse, que existiera un compuesto coprimo en y ninguno en  , Aun así, se cumpliría lo dicho.

En ese caso se daría entonces lo siguiente:



Necesariamente, a la izqueirda de ha de existir un primo coprimo que lo componga, que es .

En , por el Postulado de Bertrand ha de existir al menos otro primo; este primo será también coprimo con , ya que, es mayor que y es impar.

En , habrá un compuesto , también coprimo con , que sumará con ; si no fuera compuesto se cumpliría la conjetura.

Lo mismo ocurre con , ha de sumar con un simétrico compuesto contenido en .

Y por lo dicho anteriormente se ve que puede ser menor que y quizá que  , pero si es compuesto ha de ser claramente mayor que ya que, ha de ser mayor o igual que . Con lo que se mantiene lo dicho, ha de ser un primo que suma con un primo.


Luego para todo par parece que la conjetura ha de cumplirse; yo no veo de momento por dónde se puede escapar.

Un saludo.

[feriva]

Esta demostración -si fuera correcta- implica la demostración completa de la Conjetura de Goldbach. Estoy a la espera de alguna objeción o de su aceptación para publicarla o no (si no fuera correcta no tendría objeto publicarla, porque tampoco sería correcta la demostración para el caso general).

[feriva]

ACLARACIÓN:

En el punto DEMOSTRACIÓN se podría encontrar un contraejemplo engañoso:

En el la demostración se dice:

, por lo cual, si la descomposición en factores primos de es , y habiendo un que es el primo coprimo con   más bajo, la descomposición de no puede ser menor que .

Ese contraejemplo engañoso, con números, puede consistir en considerar lo siguiente:
 
con lo que si  no es cierto
que se mayor o igual que . Sin embargo, para que esta consideración sea posible debemos tomar al menos un primo "nuevo", es decir, al menos debemos tomar un primo distinto que no compone a .

Bien, ese primo será componente de , compuesto éste que pertenece a y por tanto es mayor que , de done el primo nuevo a considerar, que es divisor suyo, ha de ser menor que , y en consecuencia se hallará en .

Al ser así, este nuevo primo que hemos considerado encontrará un simétrico, que será también coprimo con , en el intervalo ; de tal forma que tendremos que añadir también un nuevo compuesto en .

Y tendremos, entonces:



Ahora, ó es al menos tan grande como o nos vemos obligados a considerar otro primo nuevo en el planteamiento teórico; y así hasta concluir que, en algún momento, habrá de acabarse ese bucle para un cierto de manera que éste sea al menos tan grande como .
 
Pero —eso ya lo hemos visto— en ese caso, tal compuesto sería mayor que  y, por tanto, el bucle ha de terminar en un primo.

Por lo tanto, el contraejemplo no era tal.