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Autor Tema: Resolución de ecuaciones de cuarto grado  (Leído 6402 veces)
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Georg
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« : 15/10/2010, 11:04:31 am »

Una solucion a la de cuarto

Muchos matematicos lo han logrado, entre ellos Euler, Descartes, Ferrari (El primero), todos ellos grandes matematicos. Estos poseen un vinculo común, en este sentido, y, es que cada uno ha resuelto de una manera particular y diferente la ecuación de cuarto grado, ciertamente que a mediados de 2008 me llego el turno de hacerlo, (probablemente el primer matematico de habla hispana que lo logra) el hecho, hallar una solución particular de la ecuación de cuarto grado, bien que no encontre otro sitio para darle una notación que fuere digna de ella mas que este foro, en el cual la comparto con ustedes, luego muchos meses de laborioso esfuerzo, no es merecedora quizas de un premio Novel, ni mucho menos, pero es un esfuerzo propio que culmino en un exito (lo cual no es algo que sea común ciertamente), y me siento orgulloso, sin animos de vanagloria.

En matemática a menudo bien que no siempre, se llega a la conclusión de que es un mundo lleno de contrastes extremos, o bien un problema es muy fácil al ser resoluble, o bien, es muy difícil, cuando este es irresoluble, entre estos casos contradictorios tenemos el caso de los polinomios, no siempre los tiempos fueron iguales a estos, en tiempos pre-Internet no existían las herramientas ni las fuentes de información claves para la resolución de muchos problemas un pro, de este hecho es que, por lo menos se podía decir que el resultado de un problema era fruto de un esfuerzo propio, sin ninguna mediación externa.

Ciertamente que algo que nos cuesta tiende a ser satisfactorio una ves realizado, en aquellos días pre-Internet el problema básico era la resolución de polinomios, en realidad en muchas ocasiones es difícil llegar a un problema que gire en torno a la solución de una ecuación de cuarto grado, esto de manera relativa si se compara con la infinidad de aplicaciones que posee la ecuación de segundo grado, un pro de Internet es el hecho de que surge como una ventana muy amplia para la discusión y el enriquecimiento en el conocimiento para aquellos que lo valoran, es posible, estar conectado en un foro con personas de mucho conocimiento, y es posible compartir, y en suma discutir, sobre muchos problemas concernientes, se llega a luchar fuertemente sin Internet para resolver un problema, este mi caso personal, en primera instancia los polinomios dan una cuantía de nuestra propia ignorancia, un tema que en ocasiones se toma a la ligera, en muchos casos se estudian otros campos de la matemática, calculo diferencial, álgebra lineal etc., y se pretende en alguna forma de subestimarlos, en el caso de los polinomios se requiere de algo de imaginación, es común llegar a ecuaciones que parecen soluciones, las cuales simplemente no lo son, en el caso de la ecuación de cuarto pasa esto mismo, luego de forzosa búsqueda de una solución, voy a Internet, y encuentro la solución de Ferrari para las ecuaciones de cuarto asimismo como la solución de Tartaglia (Nicolo Fontana llamado así por ser tartamudo ‘Tartaglia’ en italiano), de la de tercero -obviamente que para nadie es posible evitar involucrarse en la mas dramática de las disputas matemáticas-, tales soluciones ciertamente imaginativas, y llenas de gran creatividad, siempre se tiende a pensar después de tanto esfuerzo ¡pude haberlo hecho!, sin embargo reflexionando un poco mas nos damos cuenta que esa solución estaba un tanto alejada de nuestras posibilidades, a pesar de conocer la solución de Ferrari, se mantiene al margen esta obsesión matemática, este esfuerzo intelectual, de tratar de dejar por lo menos una pequeña huella en el mundo de los polinomios, en esto un atisbo, leyendo la historia veía que a pesar de que los matemáticos Italianos llegaron a las soluciones que definirían las soluciones generales de las ecuaciones de cuarto y tercero, en ningún modo trataron de resolver las ecuaciones generales de tercero y cuarto simplemente que se limitaron a resolver las ecuaciones, en este caso;

(1) [texx] x^3 + ax^2 = b [/texx]

, para las soluciones de Tartaglia, y;

(2) [texx] x^4 + ax^2 + bx = c [/texx]

, Ferrari, nótese que en la primera, falta el termino [texx] cx [/texx] y en la segunda el termino [texx] dx^3 [/texx] no son entonces de ninguna manera las ecuaciones generales –en ese momento a mediados del siglo XV, estas ecuaciones no estaban definidas en una forma general-, ciertamente que la importancia de estas formas es el hecho notable de que cualquier ecuación de tercero, y, cuarto grado puede ser reducida siempre a esas formas, como se dijo anteriormente mediante la transformada de Tschirhaussen, aunque muy utilizada no es la única transformada disponible, el foco principal de la resolución es la de reducir la ecuación y el de ganar la mayor determinación posible, en este sentido realizo, dos determinaciones primero no trato de resolver la ecuación general;

[texx] x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 [/texx]

, más bien trato de resolver una forma más sencilla de la ecuación;

[texx] x^4 + ax + b = 0 [/texx]

, esto me permite encontrar mi propia solución de la ecuación de cuarto grado de la forma mas inesperada posible, es casi increíble, después de muchos intentos, hallar este tipo de solución bien para lograrlo sin mas preámbulos sea la ecuación;

(3) [texx] x^4 + ax + b = 0 [/texx]

, ahora bien introduciendo la identidad notable;

(4) [texx] (ux + v)^2 = u^2x^2 + 2uvx + v^2 [/texx]

, lo que da un grado mayor de determinación, ahora bien es posible lo siguiente;

(5) [texx] x^4 -2a'x^2 + (ux + v)^2 +a'^2 = 0 [/texx]

, de forma de obtener el siguiente sistema de ecuaciones;

(a.1) [texx] u^2 = 2a' [/texx]

(a.2) [texx] 2uv = a [/texx]

(a.3) [texx] v^2 + a'^2 = b [/texx]

, de manera que resolviendo, es posible hallar el valor de [texx] u [/texx] requerido;

[texx] a^2/4 + u^6/4=bu^2 [/texx]

, esto nos lleva a la ecuación;

(7) [texx] u^6- 4bu^2 + a^2=0 [/texx]

, que es la resolvente, es una ecuación de tercer grado enmascarada, haciendo [texx] u^2 = z [/texx]

(8) [texx] z^3 - 4bz + a^2=0 [/texx]

, ahora bien en 5;

[texx] (x^2 - a')^2 = -(ux + v)^2 [/texx]

, de donde;

[texx] x^2-a'= \pm i(ux + v) [/texx]

, que es una ecuación de segundo grado con coeficientes complejos la cual es resoluble;

[texx] x^2 \pm iux -a' \pm iv = 0 [/texx]

, de modo que;

(9) [texx]x =\begin{Bmatrix} \pm \frac{iu}{2} + \sqrt{\frac{u^2}{4} \pm iv & \mbox{ } }& \\ \pm \frac{iu}{2} - \sqrt{\frac{u^2}{4} \pm iv& \mbox{}}& \end{matrix}  [/texx]

, es la solución a la ecuación (3), de aquí es posible deducir todas las soluciones, después de muchos intentos infructuosos es posible, dudar acerca de la valides de la ecuación bien que es un método de resolución legitimo, es posible asimismo resolver la ecuación completa, si la ecuación es;

(10) [texx] x^4 + ax^2 + bx + c =0 [/texx]

, haciendo;

[texx] x^4 + ax^2 - a'x^2 + (ux + v)^2 + \frac{(a - a')^2}{4} = 0 [/texx]

, llegamos al siguiente sistema de ecuaciones;

(b.1) [texx] u^2 = a' [/texx]

(b.2) [texx] 2uv=b [/texx]

(b.3) [texx] c = v^2 + \frac{(a - a')^2}{4} [/texx]

, de manera que;

[texx] 4cu^2 = b^2 + a^2u^2 - 2au^4 + u^6 [/texx]

[texx] u^6 - 2au^4 + (a^2 - 4c)u^2 + b^2 = 0 [/texx]

, que es la resolvente de sexto grado de la ecuación de cuarto, de manera que mediante este método es posible resolver la ecuación general de cuarto grado, un corolario interesante de esta ecuación es que es posible mediante la primera ecuación demostrar que una ecuación de la forma 3 posee por lo menos dos soluciones conjugadas complejas, si la ecuación de cuarto se expresa mediante coeficientes reales.

Gaddy Alcalá F.
En línea

Gaddy Evin Alcalá Fuenmayor (Georg)
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