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Autor Tema: C. Sists. Numéricos. --- Sección 3: Números Racionales  (Leído 4356 veces)
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« : 21/07/2010, 02:09:08 am »

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Nota: Este thread forma parte del tema




Construcción de los Sistemas Numéricos.

Sección 3. Números Racionales.


(Continúa desde el thread-maestro...)

Introduzco estos números diciendo que en realidad no sé cómo introducirlos.
Hay muchas variantes posibles para jugar al "expositor ameno"  :cara_de_queso: y no sé cuál convenga.
He aquí un par de comentarios introductorios posibles, accesibles tras abrir los desplegables.


Subsección 3.1. Lo fraccionario como parte de la necesidad de medir.

Desde un punto de vista histórico, los números racionales surgieron antes que los enteros, en la Grecia antigua.
Surgieron en el contexto de la geometría (que hoy llamamos euclidiana), más concretamente, ante la necesidad de medir magnitudes con exactitud. No obstante, el nombre exacto en este contexto sería el de proporciones.
En efecto, los griegos no hablaban de los números racionales como objetos concretamente definidos, tal como lo hacemos hoy, sino que trabajaban con proporciones de números naturales para establecer relaciones entre elementos geométricos, por ejemplo.

No obstante, también se hablaba (quizá) de fracciones iguales de una unidad entera.
Es fácil darse cuenta de cómo surgió este concepto.
En la antigüedad era importante establecer límites y medidas de terrenos, ya sea por dominio territorial o por cuestiones de agricultura, entre otras.
Para tener una idea de "cuánto" perímetro tenía el terreno de algún hombre, se utiliza una unidad básica, como el pie del faraón, o una varilla, o lo que sea, y se cuenta el número de veces que esta unidad básica y fija se repite hasta cubrir el perímetro total.

El problema con este procedimiento tan obvio y simple, es que no tiene por qué encajar un número entero de veces esa unidad elegida en forma arbitraria con la longitud que se desea medir. Por lo general sobrará una pequeña parte.
En ese caso, lo que se hace es subdividir la unidad patrón en subunidades, tomadas en partes iguales, para poder medir con más precisión los trocitos más pequeños de perímetro.
Esta subunidad aún no es satisfactoria, y puede aún necesitarse de más subdivisiones, todas cada vez más pequeñas, hasta lograr una medición exacta del perímetro buscado.

Al hacer estas subdivisiones de la unidad se introducen sin querer operaciones sobre fracciones de los números naturales, que en principio eran los únicos que existían en el mundo antiguo.

Observemos que la operación de "contar" es "discreta", vale decir, varias unidades, al contarlas, están perfectamente separadas y/o individualizadas en nuestra mente.
En cambio, el perímetro de un terreno es algo de naturaleza "continua", sus puntos no pueden separarse claramente, y se avanza a lo largo de dicho perímetro en una permanente "transición".

La comparación de dos magnitudes continuas puede, a lo mejor, llevarse a cabo por mera inspección, y ver cuál es mayor que la otra usando algún criterio simple.
Pero al pretender usar números naturales para explicar esa magnitud continua, se está usando una herramienta "discreta" para hablar de una entidad "continua". Y esto se hace bajo la creencia de que los números naturales ofrecen más exactitud o un entendimiento más preciso de lo que se está estudiando, al menos matemáticamente hablando.

"Medir" en esta forma es "contar".

Antes de los griegos dichas proporciones también han sido útiles, aunque sería interesante indagar en detalle qué cultura fue la primera en usar una expresión fraccionaria, o una proporción, o cosa similar.

Los griegos, con sus métodos avanzados de geometría, nos enseñaron a subdividir un segmento en [texx]n[/texx] partes iguales, para cualquier número natural [texx]n[/texx].
Como curiosidad, veamos el procedimiento:

Sea [texx]AB[/texx] un segmento dado, que queremos dividir en [texx]n[/texx] partes congruentes.

  • Tracemos una recta [texx]r[/texx] que pase por el punto [texx]A[/texx] formando un ángulo menor que un llano.
  • Elijamos en dicha recta un punto cualquiera [texx]P_1[/texx].
  • El segmento [texx]AP_1[/texx] lo llamaremos ahora [texx]u[/texx], y lo transportaremos en forma consecutiva a lo largo de la recta [texx]r[/texx], tantas veces como el número [texx]n[/texx], y siempre de modo que todos los segmentos así formados se toquen en uno de sus extremos.
  • Quedan formados los segmentos [texx]P_1P_2, P_2P_3, ..., P_{n-1}P_n[/texx].
  • Observemos que ahora el segmento [texx]AP_n[/texx] está en la recta [texx]r[/texx], y está dividido en [texx]n[/texx] partes iguales, las cuales están separadas por los puntos [texx]A, P_1,P_2,...,P_n[/texx].
  • Ahora unimos el punto [texx]P_n[/texx] con el punto [texx]B[/texx].
  • Nos queda determinada una recta, que llamamos [texx]s[/texx].
  • Trazamos ahora rectas paralelas a [texx]s[/texx], que a su vez pasen por los puntos [texx]P_1,...,P_n[/texx].


Cada una de estas [texx]n[/texx] rectas cortan a la recta original [texx]AB[/texx] en ciertos puntos que llamamos [texx]C_1,...,C_n[/texx]. (El [texx]C_n[/texx] coincide con [texx]B[/texx], claro).
Se obtienen los [texx]n[/texx] segmentos [texx]AC_1, C_1C_2,...,C_{n-2}C_{n-1},C_{n-1}B[/texx].
Esos [texx]n[/texx] segmentos son consecutivos, congruentes, y su unión da el segmento [texx]AB[/texx].
En resumen, hemos logrado subdividir el segmento [texx]AB[/texx] en [texx]n[/texx] partes iguales.

¿Por qué hacer todo este procedimiento tan extraño?
Bueno, si nos ponemos a pensar un poquito, resulta que estamos muy acostumbrados a usar la regla y la división para hacer este tipo de tareas. O sea, si nos piden dividir un segmento en 5 partes iguales, lo que haríamos comunmente sería "medir" con una regla el segmento total, dividir por 5, y usar este número para medir la posición de los puntitos de la subdivisión del segmento.

Pero eso puede hacer una vez que se ha definido todo un sistema de números fraccionarios.
Los griegos no tenían eso, porque apenas los estaban inventando, y aún sin darse demasiada cuenta de que lo estaban haciendo.
Para ellos, número era sinónimo de número natural.
Medir era establecer proporciones entre números naturales.
Con esa mentalidad, dividir un segmento con las herramientas disponibles en ese entonces requería ingenio matemático.


Incluso, el método expuesto arriba es más exacto que el de medir con regla y dividir.
Por ejemplo, si quisiéramos dividir un segmento de 10 cm en 3 partes, no podríamos hacerlo con exactitud debido a los infinitos decimales que aparecen al dividir 10 por 3.
Una manera elegante y exacta de solucionarlo sería usando el procedimiento geométrico antes explicado, que permite dividir por cualquier cantidad [texx]n[/texx], sin importar qué problemas pudiera haber con dígitos periódicos o alguna otra cosa.


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« Respuesta #1 : 21/07/2010, 02:10:42 am »

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Subsección 3.2. Lo fraccionario como necesidad algebraica.

Supongamos que tenemos una ecuación como la siguiente en números enteros [texx]a, b, x[/texx]:

[texx]a\cdot x =b.[/texx]

Esta ecuación es más bien una pregunta. Nos preguntamos si existe algún número entero [texx]x[/texx] tal que [texx]a\cdot x[/texx] sea igual a [texx]b[/texx].
En algunos casos la respuesta es afirmativa, y en otras no.
Por ejemplo, la ecuación [texx]3\cdot x = 72[/texx] tiene la solución [texx]x = 24[/texx].
En cambio, la ecuación [texx]2\cdot x = 3[/texx] no tiene solución entera [texx]x[/texx].
Supongamos que existiera una tal solución [texx]x[/texx].
Resulta que [texx]x[/texx] debe ser un entero positivo, porque si no [texx]2\cdot x[/texx] daría negativo, por reglas de los signos, contradiciendo que 3 es positivo.
Así que [texx]x  \geq 1[/texx].
Además, si fuese [texx]x \geq 2[/texx], por monotonía del producto de enteros, resulta que [texx]2\cdot x \geq 2\cdot 2 =4=3+1>3[/texx].
Así que [texx]2\cdot x[/texx] no sería igual a [texx]3[/texx] en ese caso.
Luego [texx]x<2[/texx]. Pero [texx]2[/texx] es el sucesor de [texx]1[/texx], y también teníamos [texx]x \geq1[/texx].
Sabemos que entre un entero y su sucesor no hay otros números enteros posibles, así que sólo puede ser [texx]x = 1[/texx].
Mas, en este caso [texx]2\cdot 1 = 2 < 2+1=3[/texx].
Así que no puede existir el [texx]x[/texx] que estamos buscando. No hay solución a la ecuación [texx]2\cdot x = 3[/texx].

Para poder resolver "siempre" este tipo de ecuaciones, se amplía el sistema de números para incluir más entidades.
Resolver una ecuación multiplicativa conduce a la operación de división.
En otras palabras, pretendemos que siempre sea posible dividir entre dos números enteros.

Pero al ampliar el sistema a un conjunto con más objetos, podría ser que estos nuevos entes, a pesar de resolver la división entre los enteros, quizá no puedan resolver divisiones entre ellos mismos.
O sea, podríamos estar pateando el problema para adelante.
No obstante, veremos que la ampliación puede hacerse de modo que no sean necesarias más ampliaciones.
Una vez resuelto el problema de la división de enteros, los objetos resultantes no ofrecen dificultades adicionales en este sentido, y tendremos un sistema "cerrado por operaciones de división".

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« Respuesta #2 : 21/07/2010, 02:14:29 am »

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Subsección 3.3. Axiomas de los Números Racionales.

Los entes primitivos del Sistema Axiomático de los números racionales serán [texx]Q, +, \cdot, 0, 1,  \leq[/texx].
Los Axiomas de los números racionales son los siguientes:

  • Axioma 1. El quinteto [texx](Q,+,\cdot,0,1)[/texx] es un cuerpo con identidad 0 respecto la adición [texx]+[/texx] e identidad 1 respecto el producto [texx]\cdot[/texx].
    Los detalles de lo que esto significa se listan a continuación:
    Spoiler: Detalles del Axioma 1 (click para mostrar u ocultar)

    Podemos resumir un poco diciendo lo siguiente:
    • La terna [texx](Q,+,0)[/texx] es un grupo conmutativo con identidad 0.
    • La terna [texx](Q\setminus\{0\},\cdot,1)[/texx] es un grupo conmutativo con identidad 1.
    • El producto distribuye a la suma en [texx]Q[/texx].

  • Axioma 2. [texx] \leq[/texx] es una relación de orden total en [texx]Q[/texx].
    Spoiler: Detalles del Axioma 2 (click para mostrar u ocultar)
    Se dice que un elemento [texx]m\in Q[/texx] es positivo si [texx]m > 0[/texx], y se dice negativo si [texx]m < 0[/texx].
    Se dice que un elemento [texx]m\in Q[/texx] es no negativo si [texx]m \geq0[/texx], y se dice no positivo si [texx]m  \leq 0[/texx].

  • Axioma 3. La suma y el producto son monótonas respecto el orden [texx]\leq[/texx]
    Esto quiere decir que, para cualesquiera [texx]a, b, c\in Q[/texx]:
    • Si [texx]a < b[/texx] entonces [texx]a+c<b+c[/texx].
    • Si [texx]a < b[/texx] y [texx]c>0[/texx], entonces [texx]a\cdot c<b\cdot c[/texx].

  • Teorema 0. Existe un subconjunto [texx]N[/texx] de [texx]Q[/texx], que contiene al elemento 1 (el neutro de la multiplicación), de tal suerte que [texx](N,s,1,+,\cdot, \leq)[/texx] es isomorfo al sistema de los números naturales, donde [texx]s:Q\to Q[/texx] es la función definida por [texx]s(q)=q+1[/texx]. Más aún, ese conjunto es único.

    Observamos que la prueba anterior puede usarse en cualquier anillo ordenado.
    Basta constatar que sólo se han invocado propiedades que provienen de los axiomas correspondientes a anillo ordenado.
    En particular, podríamos haber usado esta misma prueba para construir un conjunto [texx]N[/texx] de números naturales dentro del sistema de números enteros en el post anterior.
    Así que tenemos aquí otro método distinto al que se dio allí (que aprovechaba propiedades de [texx]Z[/texx]), aunque el método del Teorema 0 es de aplicación más general.

  • Definición. Llamamos al único conjunto [texx]N[/texx] obtenido en el Teorema 0, subconjunto de números naturales contenido en [texx]Q[/texx].
    Consideremos el conjunto [texx]Z = \{m\in Q:-m\in N\}\cup\{0\}\cup\{m\in Q:m\in N\}[/texx].
    Denominamos a [texx]Z[/texx] el subconjunto de enteros de [texx]Q[/texx].
    Obsérvese que en cualquier cuerpo con un orden total compatible con las operaciones aritméticas se puede obtener un subconjunto de números naturales y también un subconjunto de números enteros.

  • Axioma 4. Para todo [texx]q\in Q[/texx], existe [texx]m\in N[/texx] tal que [texx]q\cdot m \in Z[/texx].
    O sea, para todo número racional [texx]q[/texx] existe algún entero positivo [texx]m[/texx] tal que al multiplicar por ese [texx]m[/texx], da como resultado un número entero.

    Este es el axioma de racionalidad, o sea, la principal propiedad que caracteriza a los números racionales.
    Afirma que todo elemento [texx]q\in Q[/texx] puede escribirse en la forma [texx]q = a\cdot m^{-1}[/texx], siendo [texx]a\in Z[/texx] y [texx]m\in N.[/texx]

Los primeros 3 axiomas no son suficientes para obtener de forma unívoca al sistema de números racionales.
O sea, hay varios cuerpos ordenados que cumplen esos axiomas, y que no son isomorfos entre sí.
Ahora, con el último axioma agregado, todos los sistemas [texx]Q[/texx] que satisfagan esas propiedades son isomorfos, y por lo tanto hay esencialmente un único sistema de números racionales.

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« Respuesta #3 : 21/07/2010, 02:17:14 am »

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Subsección 3.4. Propiedades de los Números Racionales.

Las siguientes propiedades elementales se prueban del mismo modo que en la sección de números enteros, ya que sólo se usa la estructura de anillo conmutativo y ordenado de [texx](Q,+,.0,1, \leq)[/texx].
Por lo tanto no vamos a repetir las demostraciones aquí.

Definición. Dados [texx]a,b\in Q[/texx], se define la resta de [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx] como [texx]a - b=a+(-b)[/texx].

Lema 1. El producto de cualquier número racional por [texx]0[/texx] es igual a [texx]0[/texx].
Lema 2. Para todo número racional [texx]a[/texx], su inverso aditivo satisface: [texx]-a=(-1)\cdot a[/texx].
Lema 3. 1 > 0.
Lema 4. Un número racional [texx]a[/texx] es positivo si, y sólo si, [texx]-a[/texx] es negativo.
Lema 5. Si [texx]a,b\in Q[/texx] son tales que [texx]a \leq b[/texx], entonces [texx]-b \leq -a[/texx].
Lema 6. Si [texx]a\in Q[/texx], [texx]a \geq 1[/texx], entonces [texx]0<a^{-1} \leq 1.[/texx]

Teorema 1. El sistema [texx](Z,+,\cdot, 0,1,\leq)[/texx] donde [texx]Z[/texx] es el conjunto definido antes del Axioma 4, satisface los axiomas de los números enteros.



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« Respuesta #4 : 21/07/2010, 02:19:40 am »

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Subsección 3.5. Propiedades de "densidad" de los Números Racionales. Propiedad Arquimediana.

Observemos que podemos ya hurgar en la propiedad de densidad de los números racionales.

  • Si [texx]q,r\in Q[/texx], y [texx]q<r[/texx], entonces existe [texx]t\in Q[/texx] tal que [texx]q<t<r[/texx].

    La demostración es muy fácil. Basta definir [texx]t = 2^{-1}(q+r)[/texx]. Es claro que
    [texx]q=2^{-1}\cdot2\cdot q=2^{-1}\cdot(q+q) < 2^{-1}\cdot(q+r) < 2^{-1}\cdot(r+r)=2^{-1}\cdot2\cdot r=r.[/texx]


Teorema 2. Todo número racional se encuentra entre algún par de números enteros.
En símbolos, esto se dice así: para todo [texx]q\in Q[/texx], existen [texx]\mu,\nu\in Z[/texx] (el conjunto de enteros de [texx]Q[/texx]), tales que [texx]\mu<q<\nu[/texx].

Esto hace que no haya números racionales demasiado "grandes".

Spoiler: Demostración (abrir desplegable) (click para mostrar u ocultar)

Corolario. Propiedad Arquimediana. Dados [texx]q,r\in Q[/texx], [texx]q>0,r>0[/texx]. Entonces existe [texx]n\in N[/texx] tal que [texx]q < r\cdot n[/texx].

Spoiler: Demostración (abriendo desplegable) (click para mostrar u ocultar)

La propiedad arquimediana es cierta también en sistemas de números naturales y enteros.
No la enunciamos allí porque quizá no es lo bastante interesante como en este lugar, debido a que nos estamos acercando al sistema de los números reales, y las propiedades geométricas y topológicas comienzan a cobrar mayor importancia.


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« Respuesta #5 : 21/07/2010, 02:21:26 am »

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Subsección 3.6. Unicidad algebraica del Sistema de Números Racionales.

Otra propiedad interesante de los sistemas de números racionales, es que todos son esencialmente "el mismo".
Vale decir, dados dos sistemas que satisfacen los Axiomas de los números racionales, resultan isomorfos entre sí, tanto en sentido algebraico como ordinal. Lo enunciamos así:

Teorema 3. Sean [texx](Q,+,.,0,1, \leq)[/texx] y [texx](\tilde Q,\oplus, \odot,\tilde 0,\tilde 1,  \preccurlyeq)[/texx] dos sistemas que satisfacen los axiomas de los números racionales.
Entonces ambos sistemas son isomorfos entre sí.

Spoiler: Demostración (abrir desplegable) (click para mostrar u ocultar)

En particular, si dos sistemas [texx](Q,+,\cdot,0,1, \leq)[/texx] y [texx](\tilde Q,\oplus, \odot,\tilde 0,\tilde 1,  \preccurlyeq)[/texx] satisfacen los Axiomas de los números racionales, entonces los conjuntos [texx]Q[/texx] y [texx]\tilde Q[/texx] tienen el mismo cardinal, pues el isomorfismo es una biyección entre ambos sistemas.


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« Respuesta #6 : 21/07/2010, 02:22:27 am »

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Subsección 3.7. Cardinalidad de los Números Racionales.

En cuanto a la cardinalidad de los números racionales podemos ser más precisos:

Teorema 4. Si [texx](Q,+,\cdot,0,1, \leq)[/texx] es un sistema de números racionales, entonces [texx]Q[/texx] es un conjunto biyectivo con su subconjunto [texx]N[/texx] de números naturales (definido antes del Axioma 4).



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« Respuesta #7 : 21/07/2010, 02:23:30 am »

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Subsección 3.8. Solución al problema de la división en el Sistema de Números Racionales.

Recordemos que los números racionales se inventaron para poder dividir.
¿Resuelven realmente los números racionales el problema de la división?

Veamos los detalles en el siguiente desplegable:

Spoiler: Dividiendo enteros y racionales (click para mostrar u ocultar)


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« Respuesta #8 : 21/07/2010, 02:25:45 am »

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Por último mostremos cómo puede construirse un sistema que satisfaga los Axiomas de los números racionales.
El método estándar consiste definir una relación de equivalencia de pares ordenados de números enteros, y definir el conjunto de racionales como las clases de equivalencia pertinentes.
Veamos los detalles.

Subsección 3.9. Construcción (estándar) de un Sistema de Números Racionales. Preliminares.

Sea [texx](Z,+,\cdot,0,1, \leq)[/texx] un sistema de números enteros.
Vamos a trabajar con pares ordenados [texx](m,n)\in Z\times N[/texx], donde [texx]N[/texx] denota al subsistema de números naturales que sabemos que existe dentro de [texx]Z[/texx].
O sea que [texx]m\in Z, n\in N[/texx].

Ahora vamos a definir una relación [texx]\sim{}[/texx] entre elementos de [texx]Z\times N[/texx].
Decimos que [texx](m,n)\sim (m',n')[/texx] si [texx]m\cdot n'=m'\cdot n[/texx].

Intuitivamente, el par [texx](m,n)[/texx] representaría formalmente a la "fracción" [texx]\dfrac mn[/texx].
Fíjese cómo hemos evitado líos con los ceros o con los signos en el denominador, exigiendo que [texx]n[/texx] sea siempre un entero positivo.


Teorema 5. La relación [texx]\sim[/texx] es de equivalencia.

Spoiler: Demostración (abrir desplegable) (click para mostrar u ocultar)

Definimos en [texx]Z\times N[/texx] ciertas operaciones de suma y producto, diciendo que, para cualesquiera [texx]m,m''\in Z,n,n'\in N[/texx]:

[texx](m,n)\oplus (m',n')=(m\cdot n'+n\cdot m',n\cdot n')[/texx]
[texx](m,n)\otimes (m',n')=(m\cdot m', n\cdot n')[/texx]

Dejamos como ejercicio comprobar que estas operaciones cumplen las propiedades asociativa, conmutativa, y que además el producto distribuye a la suma.

Ahora necesitamos hacer una comprobación muy importante: las operaciones aritméticas son compatibles con la relación de equivalencia.
Esto lo desarrollamos en el siguiente:

Teorema 6. Si [texx](m,n)\sim(\mu,\nu)[/texx], y si [texx](a,b)\sim(\alpha,\beta)[/texx], entonces [texx](m,n)\oplus(a,b)\sim(\mu,\nu)\oplus(\alpha.\beta)[/texx] y [texx](m,n)\otimes(a,b)\sim(\mu,\nu)\otimes(\alpha.\beta)[/texx].

Spoiler: Demostración (abrir desplegable) (click para mostrar u ocultar)

Dado un par [texx](m,n)\in Z\times N[/texx], definimos su clase de [texx]\sim[/texx]-equivalencia como el conjunto:
[texx][m,n]=\{(\mu,\nu)\in\mathbb{}Z\times N:(\mu,\nu)\sim (m,n)\}.[/texx]

Al igual que ocurre siempre al definir una relación de equivalencia (y como ya mostramos en el post de números enteros), tenemos que dos clases de equivalencia [texx][m,n], [a,b][/texx], o bien son disjuntas, o bien son iguales.

El conjunto de todos los pares [texx](m,n)\in \mathbb{}Z\times N[/texx] queda particionado en la unión de las clases de equivalencia [texx][m,n][/texx], que son todas disjuntas.

Debido al Teorema 6, vemos que si [texx](\mu,\nu)[/texx] es un elemento de la clase [texx][m,n][/texx], y si [texx](\alpha,\beta)[/texx] es un elemento de la clase [texx][a,b][/texx], entonces [texx](\mu,\nu)\oplus(\alpha,\beta)[/texx] es un elemento de la clase de equivalencia determinada por [texx](m,n)\oplus(a,b)[/texx], y del mismo modo, [texx](\mu,\nu)\otimes(\alpha,\beta)[/texx] es un elemento de la clase de equivalencia determinada por [texx](m,n)\otimes(a,b)[/texx].

De esta manera, podemos definir la suma y el producto de clases de equivalencia, como la clase determinada por la suma o producto de cualquiera de sus elementos.
Al hacerlo de este modo, no hay ambigüedad en la definición, pues hemos visto que hay una y sólo una clase posible como resultado.

Así, establecemos las siguientes definiciones:

[texx][m,n]+[a,b]=[(m,n)\oplus(a,b)][/texx]
[texx][m,n]\cdot[a,b]=[(m,n)\otimes(a,b)][/texx]

Deseamos determinar cuáles son todas las clases de equivalencia posibles.
Los detalles los damos en el siguiente desplegable.


¿Existen otras clases de equivalencia posibles? La respuesta es negativa, y se puede ver por qué abriendo el desplegable siguiente.


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« Respuesta #9 : 21/07/2010, 02:26:48 am »

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Subsección 3.10. Construcción (estándar) de un Sistema de Números Racionales. Conclusión.

Llamamos [texx]Q[/texx] al conjunto de todas las clases de equivalencia.
En cuyo caso,

[texx]Q = \{\overline {m/n}:m\in Z, n\in N\}.[/texx]

(para la notación [texx]\overline{m/n}[/texx] ver los detalles en el post anterior, en el spoiler: Determinación y descripción de todas las clases de equivalencia posibles).

Tenemos también en [texx]Q[/texx] definidas unas operaciones de suma y producto.

Finalmente definimos una relación de orden en [texx]Q[/texx], aunque lo haremos usando previamente una noción de elemento positivo.
Se dice que una clase [texx][m,n][/texx] de [texx]Q[/texx] es:
  • positiva si [texx]m>0[/texx],
  • negativa si [texx]m<0[/texx]
  • nula si [texx]m=0[/texx].
.

Es fácil comprobar que una clase [texx][m,n][/texx] sólo puede ser positiva, negativa o nula, y por lo antes dicho, siempre es de alguno de esos tres tipos.
Definimos ahora que [texx][m,n]<[a,b][/texx] si existe una clase positiva [texx][p,q][/texx] tal que [texx][m,n]+[p,q]=[a,b][/texx].
Además, como de costumbre, se define [texx][m,n] \leq[a,b][/texx] si [texx][m,n]<[a,b][/texx] o [texx][m,n]=[a,b][/texx].

Sea el subconjunto [texx]\overline{\mathbb{Z}}=\{\bar n:n\in Z\}[/texx]. Es decir, se trata del conjunto de clases enteras.

Dejamos como ejercicio para el lector comprobar que el sistema [texx](\bar{\mathbb{Z}},+,\cdot,0,1, \leq)[/texx] satisface todos los Axiomas y propiedades de los números Enteros.
Para ello compruebe que la función [texx]\phi(n)=\bar n[/texx] es un isomorfismo algebraico y ordinal de [texx]\mathbb{Z}[/texx] en [texx]\overline{\mathbb{Z}}[/texx].

Finalmente, el lector debiera comprobar exhaustivamente todos los detalles del siguiente:

Teorema 7. El sistema [texx](Q,+,\cdot,\bar 0,\bar 1, \leq)[/texx] satisface todos los axiomas de los números racionales.

Para este Teorema, los axiomas deben comprobarse uno por uno.
No está permitido usar algún "isomorfismo" con el conjunto de racionales definido de forma axiomática, porque no sabemos aún si existe un sistema que cumpla esos axiomas.
Justamente, toda esta tarea en base a las relaciones de equivalencia es lo que se encarga de demostrar que efectivamente hay un conjunto con unas operaciones dadas que cumplen los axiomas de sistema de racionales.

Esto culmina nuestra construcción de un ejemplo concreto de sistema de números racionales a partir del sistema de los números enteros.
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