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Autor Tema: C. Sists. Numéricos. --- Sección 2: Números Enteros  (Leído 3906 veces)
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« : 21/07/2010, 01:16:33 am »

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Nota: Este thread forma parte del tema




Construcción de los Sistemas Numéricos.

Sección 2. Números Enteros.


(Continúa desde el thread-maestro...)

Subsección 2.1. Ideas y motivaciones para los números enteros.

Los números enteros son, intuitivamente, números naturales que pueden tener un signo positivo o negativo.
La necesidad de ampliar el sistema de los números naturales a un sistema mayor, proviene de que la operación de "resta" no puede definirse con toda "comodidad" para los números naturales.

Dados [texx]a, b\in {N}[/texx], podemos plantear la ecuación:

[texx]a+x=b[/texx]

Cuando [texx]a < b[/texx], dicha ecuación tiene solución, y es única.
O sea hay un y sólo un valor de [texx]x\in {N}[/texx] que hace cierta la igualdad.
Se define la resta de [texx]b[/texx] y [texx]a[/texx] como ese único valor posible [texx]x[/texx].
Se denota:

[texx]x= b-a[/texx]

Cuando no es cierto que [texx]a < b[/texx], la ecuación no tiene soluciones en [texx]{N}[/texx], y por lo tanto la "resta" queda indefinida en ese caso.
Surge entonces la idea de completar el campo numérico para que la resta siempre sea posible.
Además, se exigirá que las propiedades usuales de la suma y el producto sigan valiendo, y que el sistema de los naturales sea un subsistema de este nuevo campo.

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« Respuesta #1 : 21/07/2010, 01:21:09 am »

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Subsección 2.2. Más comentarios preliminares sobre los números enteros.

El primer gran descubrimiento o invento sería el número [texx]0[/texx], cuyo significado es la resta de dos cantidades iguales.
A partir del [texx]0[/texx], se puede pensar en un sistema de números negativos, que serían la contraparte refleja de los naturales.
Serían una copia de los naturales en todo sentido, salvo que al multiplicar dos de ellos se obtiene además un cambio de signo.

Esos elementos agregados se llaman "negativos", y forman una lista infinita, claramente coordinable con [texx]{N}[/texx]: [texx]-1,-2,-3,-4,...[/texx]
La idea básica es que, cuando [texx]b < a[/texx], la resta [texx]b - a[/texx] se definirá igual al "negativo" de [texx]a-b[/texx].
Por ejemplo, [texx]3 - 8[/texx] se define como el negativo de [texx]8 - 3 = 5[/texx], o sea, [texx]3 - 8 = -5[/texx].

Una interpretación intuitiva de los números negativos es que denotan la "cantidad que falta para llegar a [texx]0[/texx]".
Por ejemplo, si la temperatura en un día helado es de [texx]-3[/texx] grados, quiere decir que la temperatura debe subir [texx]3[/texx] grados aún para llegar a [texx]0[/texx] grados, el punto de descongelación del hielo.
También pensamos en el [texx]0[/texx] como "ausencia de cantidad".

Pero bueno. La verdad es que todas esas introducciones intuitivas de los números enteros no me entusiasman.
Me interesa la matemática sólida del asunto, y eso es lo que vamos a llevar a cabo a continuación.

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« Respuesta #2 : 21/07/2010, 01:23:17 am »

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Primero vamos a enumerar las propiedades que los números enteros deben tener, indicándolas a través de un sistema de Axiomas.
Luego vamos a demostrar que efectivamente existe un sistema que cumple los Axiomas de los Números enteros.
O sea, llevaremos a cabo una "construcción" de los números enteros.



Subsección 2.3. Axiomas de los Números Enteros.


Los entes primitivos del Sistema Axiomático de los números enteros serán [texx]Z, +,\cdot, 0, 1,  \leq[/texx].
Los Axiomas de los números enteros son los siguientes:

  • Axioma 1. El quinteto [texx](Z,+,\cdot,0,1)[/texx] es un anillo conmutativo con identidad 1.
    Los detalles de lo que esto significa se listan a continuación:

    Spoiler: Detalles del Axioma 1 (click para mostrar u ocultar)

  • Axioma 2. [texx] \leq[/texx] es una relación de orden total en [texx]Z[/texx].

    Spoiler: Detalles del Axioma 2 (click para mostrar u ocultar)

    Se dice que un elemento [texx]m\in Z [/texx] es positivo si [texx]m > 0[/texx], y se dice negativo si [texx]m < 0[/texx].
    Se dice que un elemento [texx]m\in Z[/texx] es no negativo si [texx]m \geq0[/texx], y se dice no positivo si [texx]m  \leq 0[/texx].

  • Axioma 3. Si [texx]A[/texx] es un subconjunto no vacío de [texx]Z[/texx], acotado inferiormente, entonces [texx](A, \leq)[/texx] es un sistema bien ordenado, o sea,  [texx]\leq[/texx] es un buen orden en [texx]A[/texx]. Esto significa lo siguiente:

    Spoiler: Detalles del Axioma 3 (click para mostrar u ocultar)

  • Axioma 4. La suma y el producto son monótonas respecto el orden [texx]\leq[/texx]
    Esto quiere decir que, para cualesquiera [texx]a, b, c\in Z[/texx]:
    • Si [texx]a < b[/texx] entonces [texx]a+c<b+c[/texx].
    • Si [texx]a < b[/texx] y [texx]c>0[/texx], entonces [texx]a\cdot c<b\cdot c[/texx].

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« Respuesta #3 : 21/07/2010, 01:25:51 am »

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A partir de los Axiomas vamos a demostrar que el sistema de números enteros se comporta como esperamos, vale decir, que los números enteros positivos se comportan como los números naturales, que los números negativos son un "reflejo" de los números positivos, y que [texx]Z[/texx] no contiene más elementos que los positivos, negativos y [texx]0[/texx].

Para ello definimos [texx]Z^+[/texx] como el conjunto de números enteros positivos y [texx]Z^-[/texx] como el conjunto de números enteros negativos.

En primer lugar, probemos algunas propiedades elementales.

Subsección 2.4. Propiedades Elementales de los Números Enteros.

Definición. Dados [texx]a,b\in Z[/texx], se define la resta de [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx] como [texx]a - b=a+(-b)[/texx].

Lema 1. El producto de cualquier número entero por [texx]0[/texx] es igual a [texx]0[/texx].
Spoiler: Demostración (abrir desplegable) (click para mostrar u ocultar)

Lema 2. Para todo número entero [texx]a[/texx], su inverso aditivo satisface: [texx]-a=(-1)\cdot a[/texx].
Spoiler: Demostración (abrir desplegable) (click para mostrar u ocultar)

Lema 3. 1 > 0.
Spoiler: Demostración (abrir desplegable) (click para mostrar u ocultar)

Lema 4. Un número entero [texx]a[/texx] es positivo si, y sólo si, [texx]-a[/texx] es negativo.
Spoiler: Demostración (abrir desplegable) (click para mostrar u ocultar)

Lema 5. Sea [texx]a\in Z[/texx]. Si [texx]a > 0 [/texx] entonces [texx]a \geq1[/texx].
Spoiler: Demostración (abrir desplegable) (click para mostrar u ocultar)

Lema 6. Si [texx]a,b\in Z[/texx] son tales que [texx]a \leq b[/texx], entonces [texx]-b \leq -a[/texx].
Spoiler: Demostración (abrir desplegable) (click para mostrar u ocultar)

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« Respuesta #4 : 21/07/2010, 01:27:59 am »

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Subsección 2.5. Existencia de un subsistema de Números Naturales inmersos en los Números Enteros.

Teorema 1. Si se define en [texx]Z[/texx] la función [texx]S:Z\to Z[/texx] mediante [texx]S(n)=n+1[/texx], la terna [texx](Z^+,1,S)[/texx] es un sistema que satisface los Axiomas de Peano de los números naturales.


Ahora bien.
Dado un elemento [texx]n\in Z^+[/texx], sabemos que [texx]n>0[/texx] por definición, y que [texx]-n < 0[/texx] por Lema 4.
A su vez, si [texx]m<0[/texx], entonces [texx]-m > 0[/texx].
O sea, los únicos números enteros negativos son los opuestos aditivos de los números enteros positivos, y viceversa.
Denotamos, pues [texx]Z^-[/texx] al conjunto de enteros negativos.
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« Respuesta #5 : 21/07/2010, 01:28:57 am »

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Subsección 2.6. Subconjuntos de Números Enteros acotados superiormente.

Por lo dicho, podemos definir una función biyectiva [texx]\nu:Z\to Z[/texx] mediante [texx]\nu(n)=-n[/texx].
Consideremos el sistema [texx](Z,+, \odot,0,-1, \geq)[/texx], donde [texx] \odot[/texx] es una multiplicación "negativa", definida mediante [texx]a \odot b = -a\cdot b[/texx].
Se puede demostrar que:

Teorema 2. La función [texx]\nu[/texx] antes definida es un isomorfismo de [texx](Z,+, .,0,1, \leq)[/texx] en [texx](Z,+, \odot,0,-1, \geq)[/texx].

Spoiler: Demostración (abrir desplegable) (click para mostrar u ocultar)

En particular, tenemos ahora que [texx](Z^-,+, \odot,-1, \geq)[/texx] satisface los Axiomas de los números naturales.
En este sentido es que decimos que [texx]Z^-[/texx] es un "reflejo" de [texx]Z^+[/texx].
Si no ha resultado bastante obvio ya, llamamos la atención sobre el hecho de que la relación [texx] \geq[/texx] en [texx]Z[/texx] ahora satisface la siguiente propiedad:

  • Si [texx]A[/texx] es un subconjunto no vacío de [texx]Z[/texx], acotado superiormente, entonces [texx]Z[/texx] tiene un elemento máximo.

Es claro, porque ser [texx]A[/texx] acotado superiormente quiere decir que existe un [texx]s\in Z [/texx] tal que [texx]s \geq a[/texx] para todo [texx]a\in A[/texx].
Observando que [texx](Z, \geq)[/texx] se comporta en forma "refleja" (isomorfa) a [texx](Z, \leq)[/texx], se obtiene que existe un elemento [texx]b\in A[/texx] tal que [texx]b \geq a[/texx], todo [texx]a\in A[/texx], a quien llamamos el máximo de [texx]A[/texx].

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« Respuesta #6 : 21/07/2010, 01:36:28 am »

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Subsección 2.7. Unicidad algebraica del Sistema de Números Enteros.

Otra propiedad interesante de los sistemas de números enteros, es que todos son esencialmente "el mismo".
Vale decir, dados dos sistemas que satisfacen los Axiomas de los números enteros, resultan isomorfos entre sí, tanto en sentido algebraico como ordinal. Lo enunciamos así:

Teorema 3. Sean [texx](Z,+,.,0,1, \leq)[/texx] y [texx](\tilde Z,\oplus, \odot,\tilde 0,\tilde 1,  \preccurlyeq)[/texx] dos sistemas que satisfacen los axiomas de los números enteros.
Entonces ambos sistemas son isomorfos entre sí.

Spoiler: Demostración (abrir desplegable) (click para mostrar u ocultar)

En particular, si dos sistemas [texx](Z,+,\cdot,0,1, \leq)[/texx] y [texx](\tilde Z,\oplus, \odot,\tilde 0,\tilde 1,  \preccurlyeq)[/texx] satisfacen los Axiomas de los números enteros, entonces los conjuntos [texx]Z[/texx] y [texx]\tilde Z[/texx] tienen el mismo cardinal, pues el isomorfismo es una biyección entre ambos conjuntos [texx]Z[/texx] y [texx]\tilde Z[/texx].


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« Respuesta #7 : 21/07/2010, 01:37:58 am »

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Subsección 2.8. Sobre la cardinalidad de un Sistema de Números Enteros.

En cuanto a la cardinalidad de los números enteros podemos ser más precisos:

Teorema 4. Si [texx](Z,+,.,0,1, \leq)[/texx] es un sistema de números enteros, entonces [texx]Z[/texx] es un conjunto biyectivo con [texx]Z^+[/texx].

Demostración: La biyección [texx]\beta: Z\to Z^+[/texx] que definimos es muy sencilla, y es la siguiente:
[texx]\beta(a)=f(x)=\begin{Bmatrix}{ 2a+1}&\mbox{ si }& a>0\\-2a+2 & \mbox{si}& a \leq 0\end{matrix}[/texx].
Dejamos al lector la verificación exhaustiva de que, en efecto, dicha función es una biyección.
Obsérvese que se transforma a todos los números positivos en impares,
y a todos los no positivos en pares.

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« Respuesta #8 : 21/07/2010, 01:39:21 am »

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Subsección 2.9. Solución del problema de la resta en el Sistema de Números Enteros.

Recordemos que los números enteros se inventaron para poder restar.
¿Resuelven realmente los enteros el problema de la resta?

Veamos los detalles en el siguiente desplegable:

Spoiler: Restando naturales y enteros (click para mostrar u ocultar)

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« Respuesta #9 : 21/07/2010, 01:41:03 am »

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Subsección 2.10. Construcción (estándar) de un Sistema de Números Enteros. Preliminares.

Por último mostremos cómo puede construirse un sistema que satisfaga los Axiomas de los números enteros.
El método estándar consiste definir una relación de equivalencia de pares ordenados de números naturales, y definir el conjunto de enteros como las clases de equivalencia pertinentes.
Veamos los detalles.

Sea [texx](N,1,S)[/texx] un sistema de números naturales, con operaciones de suma y producto [texx]+,\cdot[/texx], y relación de orden  [texx]\leq[/texx].
Denotemos [texx]N^2[/texx] al conjunto de todos los pares ordenados [texx](m,n)[/texx] de elementos de [texx]N[/texx], o sea [texx]N^2=N\times N[/texx].

Ahora vamos a definir una relación [texx]\sim{}[/texx] entre elementos de [texx]N^2[/texx].
Decimos que [texx](m,n)\sim (m',n')[/texx] si [texx]m+n'=m'+n[/texx].

Teorema 5. La relación [texx]\sim[/texx] es de equivalencia.

Spoiler: Demostración (abrir desplegable) (click para mostrar u ocultar)

Definimos en [texx]N^2[/texx] ciertas operaciones de suma y producto, diciendo que, para cualesquiera [texx]m,n,m',n'\in N[/texx]:

[texx](m,n)\oplus (m',n')=(m+n,m'+n')[/texx]
[texx](m,n)\otimes (m',n')=(m\cdot m'+ n\cdot n', m\cdot n'+ n\cdot m')[/texx]

Dejamos como ejercicio comprobar que estas operaciones cumplen las propiedades asociativa, conmutativa, y que además el producto distribuye a la suma.
Este producto no tiene elemento neutro, lo cual resulta curioso, pero a no temer, que estamos apenas en una fase intermedia de construcción.

Ahora necesitamos hacer una comprobación muy importante: las operaciones aritméticas son compatibles con la relación de equivalencia.
Esto lo desarrollamos en el siguiente:

Teorema 6. Si [texx](m,n)\sim(\mu,\nu)[/texx], y si [texx](a,b)\sim(\alpha,\beta)[/texx], entonces [texx](m,n)\oplus(a,b)\sim(\mu,\nu)\oplus(\alpha.\beta)[/texx] y [texx](m,n)\otimes(a,b)\sim(\mu,\nu)\otimes(\alpha.\beta)[/texx].

Spoiler: Demostración (abrir desplegable) (click para mostrar u ocultar)

Dado un par [texx](m,n)\in  {N}^2[/texx], definimos su clase de [texx]\sim[/texx]-equivalencia como el conjunto:
[texx][m,n]=\{(\mu,\nu)\in {N}^2:(\mu,\nu)\sim (m,n)\}.[/texx]

Podemos hacer algunas observaciones, las cuales colocamos en el siguiente desplegable:


El conjunto de todos los pares [texx](m,n)\in  {N}^2[/texx] queda particionado en la unión de las clases de equivalencia [texx][m,n][/texx], que son todas disjuntas.

Debido al Teorema 6, vemos que si [texx](\mu,\nu)[/texx] es un elemento de la clase [texx][m,n][/texx], y si [texx](\alpha,\beta)[/texx] es un elemento de la clase [texx][a,b][/texx], entonces [texx](\mu,\nu)\oplus(\alpha,\beta)[/texx] es un elemento de la clase de equivalencia determinada por [texx](m,n)\oplus(a,b)[/texx], y del mismo modo, [texx](\mu,\nu)\otimes(\alpha,\beta)[/texx] es un elemento de la clase de equivalencia determinada por [texx](m,n)\otimes(a,b)[/texx].

De esta manera, podemos definir la suma y el producto de clases de equivalencia, como la clase dada por la suma o producto de cualquiera de sus elementos.
Al hacerlo de este modo, no hay ambigüedad en la definición, pues hemos visto que hay una y sólo una clase posible como resultado.

Así, establecemos las siguientes definiciones:

[texx][m,n]+[a,b]=[(m,n)\oplus(a,b)][/texx]
[texx][m,n]\cdot[a,b]=[(m,n)\otimes(a,b)][/texx]

En el siguiente spoiler damos cuenta de cuáles son todas las clases de equivalencia que pueden obtenerse.


¿Existen otras clases de equivalencia posibles? La respuesta es negativa, y se puede ver por qué abriendo el desplegable siguiente.

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« Respuesta #10 : 21/07/2010, 01:45:59 am »

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Subsección 2.11. Construcción (estándar) de un Sistema de Números Enteros. Conclusión.

Prosigamos con la notación y construcciones que vienen del post anterior.

Llamamos [texx]Z[/texx] al conjunto de todas las clases de equivalencia.
En cuyo caso,
[texx]Z = \{\bar n:n\in {N}\}\cup\{-\bar n:n\in {N}\}\cup\{\bar 0\}.[/texx]

Tenemos también en [texx]Z[/texx] definidas unas operaciones de suma y producto.

Finalmente definimos una relación de orden en [texx]Z[/texx], aunque lo haremos usando previamente una noción de elemento positivo.
Se dice que una clase [texx][m,n][/texx] de [texx]Z[/texx] es positiva si existe [texx]x\in{N}[/texx] tal que [texx]\bar x=[m,b][/texx].
Se dice que una clase [texx][m,n][/texx] de [texx]Z[/texx] es negativa si existe [texx]x\in{N}[/texx] tal que [texx]-\bar x=[m,b][/texx].
Se dice que una clase [texx][m,n][/texx] de [texx]Z[/texx] es nula si [texx]m=n[/texx].

Es fácil comprobar que una clase [texx][m,n][/texx] sólo puede ser positiva, negativa o nula, y por lo antes dicho, siempre es de alguno de esos tres tipos.

Definimos ahora que [texx][m,n]<[a,b][/texx] si existe una clase positiva [texx][p,q][/texx] tal que [texx][m,n]+[p,q]=[a,b][/texx].
Además, como de costumbre, se define [texx][m,n] \leq[a,b][/texx] si [texx][m,n]<[a,b][/texx] o [texx][m,n]=[a,b][/texx].


Sea el subconjunto [texx]\bar{{N}}=\{\bar n:n\in {N}\}[/texx]. Es decir, se trata del conjunto de clases positivas.
Definamos la función sucesor [texx]\bar s[/texx], mediante [texx]\bar s(\bar n)=\overline{s(n)}[/texx].
Dejamos como ejercicio para el lector comprobar que el sistema [texx](\bar{{N}},\bar 1,\bar s,+,\cdot,<)[/texx] satisface todos los Axiomas y propiedades de Peano de los números Naturales.
Para ello compruebe que la función [texx]\phi(n)=\bar n[/texx] es un isomorfismo algebraico y ordinal de [texx]{N}[/texx] en [texx]\bar{{N}}[/texx].

Finalmente, el lector debiera comprobar exhaustivamente todos los detalles del siguiente:

Teorema 7. El sistema [texx](Z,+,\cdot,<,\bar 0,\bar 1)[/texx] satisface todos los axiomas de los números enteros.

Para este teorema, los axiomas de números enteros deben comprobarse uno por uno.
No está permitido usar algún "isomorfismo" con el conjunto de enteros definido de forma axiomática, porque no sabemos aún si existe un sistema que cumpla esos axiomas.
Justamente, toda esta tarea en base a las relaciones de equivalencia es lo que se encarga de demostrar que efectivamente hay un conjunto con unas operaciones dadas que cumplen los axiomas de sistema de enteros.


Esto culmina nuestra construcción de un ejemplo concreto de sistema de números enteros a partir del sistema de los números naturales.
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