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Autor Tema: C. Sists. Numéricos. --- Sección 0: Introducción  (Leído 3254 veces)
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« : 20/07/2010, 11:47:46 pm »

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Nota: Este thread forma parte del tema





Construcción de los Sistemas Numéricos.

Sección 0. Introducción.




  • Subsección 0.1.
    Algunos comentarios sobre el material que será expuesto
    y la bibliografía externa a usar... si la hay.

  • Bibliografía externa: No se incluye nada. Estos temas son tan corrientes que ya no tiene sentido tener en cuenta derechos de autor.

  • Requisitos previos: En principio no hay requisitos para el lector que desee acceder a este material.
    Se recomienda una cierta experiencia previa con Teoría de Conjuntos y con demostraciones de algunos Teoremas matemáticos.
    Ocurre que los temas que vamos a desarrollar tienen interés teórico,
    y no podemos perder demasiado tiempo en cuestiones "pedagógicas".

    Pero aún así todo detalle oscuro se puede preguntar a fin de aclarar la exposición.

  • Teoría incluida: Se exhibe el material mínimo necesario para poder abordar el tema de la construcción de los sistemas numéricos,
    acorde a los objetivos que se detallan en el siguiente post.

    Por lo tanto, hay muchos Teoremas y propiedades aritméticas que se excluyen.

    Las demostraciones procurarán usar sólo las definiciones y resulados desarrollados
    a lo largo de este tema, y nada más. Esto puede dar demostraciones más largas de lo corriente.
    A lo sumo, se acudirá a la buena voluntad del lector para completar detalles.

  • Notación: En vez de usar los símbolos típicos [texx]\mathbb{N,Z,Q,R,C}[/texx],
    utilizaremos letras latinas corrientes: [texx]N,Z,Q,R,C[/texx].
    Esto se debe a que no hay un solo "conjunto" que identifique a cada sistema numérico.
    Hablaremos, pues, de "un" [texx]N[/texx], "un" [texx]Z[/texx], etc., y de "el" [texx]\mathbb{N,Z,}[/texx] etc.


Disgresiones sobre estos puntos, en los spoilers que siguen.


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« Respuesta #1 : 20/07/2010, 11:50:05 pm »

Principal * N Z Q R C +


En este post doy un largo y tedioso discurso que justifica
por qué voy a escribir ciertas cosas, y no otras,
y también el punto de vista y lugar que asigno a cada elemento de la teoría:
axiomas, construcciones, teoremas de unicidad, y teoremas de inmersión.




  • Subsección 0.2.
    Enfoque general de la teoría de sistemas numéricos.



Los sistemas numéricos estándar son los archiconocidos [texx]N, Z, Q, R, C[/texx],
o sea, naturales, enteros, racionales, reales, y complejos, respectivamente.

Hay muchas maneras de "construir" los sistemas numéricos.
Los textos que he visto por ahí toman diversos caminos,
no avisan bien por qué lo hacen,
y avanzan alegremente por la vida creyendo entender de lo que están hablando.

Algunos introducen a los sistemas numéricos mediante una lista de axiomas.

Otros lo hacen "construyendo" objetos matemáticos que cumplen todas las propiedades usuales de cada sistema.


Lo que opino es que ambas maneras de hacer las cosas están equivocadas,
porque abordan el tema de un modo superficial.


La disgresión previa nos lleva a afirmar lo siguiente:

Una lista de axiomas
no es algo que permita "construir" de la nada
un objeto matemático.

Una lista de axiomas es sólo una lista de propiedades,
y para tener consistencia
necesitan que haya algún modelo, o ejemplo,
en el cual esas propiedades se cumplan
.


Spoiler: (Comentario íntimo) (click para mostrar u ocultar)



Hasta que no se exhiba tal ejemplo,
el sistema axiomático podría referirse a una teoría vacía,
una lista de propiedades que quizá ningún objeto matemático cumple.




Luego considero que
  • es necesario establecer un sistema axiomático
    que defina con precisión y sin ambigüedad
    cuáles son todas las propiedades que ha de cumplir
    tal o cual sistema numérico.


  • Pero también considero que eso
    no es suficiente,
    y por lo tanto es necesario exhibir un ejemplo
    que cumpla todas las propiedades dadas en los axiomas.




Y es ahí donde aprovechamos las "construcciones"
que los varios autores han hecho de cada sistema numérico.

Así, el modo correcto de presentar
la teoría de los sistemas numéricos requiere que se exhiban ambas cosas:

* el sistema axiomático de cada sistema numérico,
* y una versión "constructiva" de dicho sistema.

Ambas deben venir juntas en un solo paquete,
ya que por separado no están completas.

Pero aún partiendo de un sistema axiomático concreto podría producirse ambigûedad,
esta vez de índole puramente matemática.
En concreto: podría haber un par de modelos distintos del sistema,
que no tengan relación "armoniosa" entre sí.





Esa invarianza se puede demostrar, y lo haremos, o sea, viene en forma de Teorema.

El significado de esta invarianza es que,
desde un punto de vista matemático hay, esencialmente,
un solo sistema numérico de cada tipo, [texx]N, Z, Q, R, C[/texx],
o que cada sistema numérico es esencialmente único, salvo isomorfismos.

Por último hay que recordar el folklore de las inmersiones de unos sistemas en otros.

En forma escueta podríamos anotar algo como esto:

[texx]{\color{blue}N\subset Z\subset Q\subset R\subset C}[/texx]

Pero como se trata de "sistemas" y no de "conjuntos",
esas inclusiones así escritas no me gustan,
no son del todo correctas sin las aclaraciones adecuadas.

Lo que sí puede decirse es que:

  • dentro de un sistema de números complejos [texx]C[/texx] se tiene un subsistema canónico de números reales [texx]R[/texx],
  • dentro de un sistema de números reales [texx]R[/texx] se tiene un subsistema canónico de números racionales [texx]Q[/texx],
  • dentro de un sistema de números racionales [texx]Q[/texx] se tiene un subsistema canónico de números enteros [texx]Z[/texx],
  • dentro de un sistema de números enteros [texx]Z[/texx] se tiene un subsistema canónico de números naturales [texx]N[/texx],



Sintetizando, el enfoque que voy a tomar en los desarrollos ulteriores
contendrá como mínimo estos cuatro ingredientes:


  • Dar la lista de axiomas de cada sistema numérico.
  • Dar al menos un modelo que satisfaga la lista de axiomas de cada sistema numérico.
  • Demostrar un Teorema que diga que todos los modelos posibles de un sistema numérico dado son isomorfos. Cada sistema es esencialmente único.
  • Demostrar un Teorema que especifique cómo cada sistema numérico se sumerge en el que le sigue.

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« Respuesta #2 : 20/07/2010, 11:53:05 pm »

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Subsección 0.3.
Distinguir conjuntos de sistemas.


Una aclaración: ¿por qué digo todo el tiempo "sistemas de números" y no "conjuntos de números"?
Respuesta:

Porque un conjunto no tiene estructura asociada.
Por ejemplo, el conjunto [texx]A = \{\textsf{manzana}, \textsf{pera}, \textsf{piedra}\}[/texx], es un conjunto sin estructura algebraica ni orden.
Pero si defino la operación [texx]*[/texx] mediante:

[texx]
\begin{align*}
\textsf{manzana} * x &= \textsf{manzana}, \qquad\textsf{todo x en A},\\
x * \textsf{manzana} &= \textsf{manzana}, \qquad\textsf{todo x en A},\\
\textsf{pera} * \textsf{pera} &= \textsf{pera},\\
\textsf{pera} * \textsf{piedra} &= \textsf{pera},\\
\textsf{piedra} * \textsf{pera} &= \textsf{pera}.\\
\textsf{piedra} * \textsf{piedra} &= \textsf{piedra}\\
\end{align*}
[/texx]

Eso me define una operación [texx]*[/texx] en el conjunto [texx]A[/texx], que es conmutativa y asociativa (comprobarlo!!).

Ahora tengo un par [texx](A, *)[/texx], donde [texx]*[/texx] es una operación en [texx]A[/texx], conmutativa y asociativa.

Me pregunto si el conjunto [texx]A[/texx] está ordenado.
La verdad es que no sé cómo ordenar una manzana, una pera y una piedra. ¿Con qué criterio?
El conjunto [texx]A[/texx], como conjunto, no está ordenado. Porque un conjunto es una colección "desordenada" de elementos.

No puedo presuponer un orden en el conjunto [texx]A[/texx].

Tengo que definirlo.

Por ejemplo, podría aprovecharme de la operación [texx]*[/texx] y decir que [texx]a < b[/texx] si [texx]a * b = b[/texx].
en ese caso, tendría que [texx]\textsf{piedra} < \textsf{pera}[/texx] y [texx]\textsf{pera} < \textsf{manzana}[/texx].
Más aún, el orden [texx]<[/texx] en [texx]A[/texx] resulta ser total (todo par de elementos es comparable).

¿Puedo hablar tranquilamente de "el orden" del conjunto [texx]A[/texx]?

¿Qué pasa si ordeno los elementos de [texx]A[/texx] por orden alfabético?
Ese es otro orden posible, donde [texx]\textsf{manzana < pera < piedra}[/texx].

Si alguien me dice "tomo dos elementos de [texx]A[/texx] y los pongo en forma ordenada en una lista", se está expresando mal, porque no me está diciendo el orden que está usando.

Una vez que el orden se ha "elegido" y explicitado claramente, tenemos un sistema ordenado [texx](A, <)[/texx].

Si juntamos todo, operaciones y orden en [texx]A[/texx], tenemos un sistema algebraico y ordenado [texx](A,*,<)[/texx].
Todo debe estar explicitado, porque dar por sentado que conocemos cosas sobre [texx]A[/texx] resulta ambiguo.

Por ejemplo, parece que no hay ambigüedad en hablar de la [texx]\textsf{manzana}[/texx] que está en [texx]A[/texx].
Pero ¿qué pasa si hablo de "el minimo elemento del conjunto [texx]A[/texx]"?
Eso es ambiguo, porque la noción de "mínimo" depende de la noción de orden en [texx]A[/texx], y hay muchos órdenes posibles en [texx]A[/texx].
Hay que elegir un orden antes de hablar de mínimo.
Por eso se habla del sistema [texx](A,*,<)[/texx], en donde el orden < está indicado, porque si no, no tiene sentido decir ciertas cosas.

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