Método de Factorización

[gc]

En la búsqueda de algún método de factorización nuevo y mas rápido encontré una forma que creo seria posible si me dan una mano.
La forma es la siguiente (tratare de explicarlo lo mejor posible):

Cuando una división da resto se expresa y siempre
Si ese resto es nulo simplemente se expresa

Partiendo de esa base, aquellos números que no posean la parte entera de su raiz cuadrada como factor, tendrán resto.

   y siempre

Donde:
actúa como divisor
El cociente
Y el resto

Siguiendo con el procedimiento de división ,,, hasta llegar a tendríamos el factor mas alto, pero menor a la raíz de .
El tema es que note que el resto va incrementándose con cada división, dependiendo el número, de dos formas diferentes:

Caso A:
r₁=r₀+1, r₂=r₁+3, r₃=r₂+5, r_n=r_n-1+2n+1

Caso B:
r₁=r₀+2, r₂=r₁+4, r₃=r₂+6, r_n=r_n-1+2n

Donde r₀ corresponde al primer resto.

Cuando r_nr_n=r_n-

Y solo en estos puntos es donde el resto podría ser 0.

Ahora bien, tratando de llegar a esos puntos, con los cuales no haría falta calcular el resultado de cada división por debajo de la raíz cuadrada, utilice las siguientes formulas que a mi parecer son las que mejor ajustan los resultados y por la cuales se llega al factor mas alto por debajo de la raíz cuadrada aplicándolas de forma recursiva.

Caso A:
El punto es donde se halla mediante

Caso B:
EL punto es donde se halla mediante

¿Es posible ajustar el calculo de forma exacta a estos puntos con la formula utilizada o bien por medio de otra? En el caso de que no me haya explicado correctamente o tenga errores me dicen y trato de poner un ejemplo o explicarlo mejor.

[el_manco]

Hola

 ¿Se trata de descomponer un número en factores primos? ¿De hallar todos su divisores? ¿Exactamente qué problema estás "atacando"?.

 Por otra parte antes de entrar en fórmulas, ¿por qué no pones un ejemplo de tu método con un número concreto?.

Saludos.

[gc]

Perdón por la tardanza pero andaba con mucho trabajo.

Gracias por responder a mi consulta. La idea es hallar el factor más alto por debajo de su raíz.

Tomemos el número 159753, cuya raíz es 399,6911307.

Trabajamos con la parte entera de la raíz.

Código:

159753 Raíz: 399,6911307

Orden Entero División Resto Diferencia Diferencia
X R D M M'-M R-M
0 399 400,3834586 153 246
1 398 401,3894472 155 2 243
2 397 402,4005038 159 4 238
3 396 403,4166667 165 6 231
4 395 404,4379747 173 8 222
5 394 405,464467 183 10 211
6 393 406,4961832 195 12 198
7 392 407,5331633 209 14 183
8 391 408,5754476 225 16 166
9 390 409,6230769 243 18 147
10 389 410,6760925 263 20 126
11 388 411,7345361 285 22 103
12 387 412,7984496 309 24 78
13 386 413,8678756 335 26 51
14 385 414,9428571 363 28 22
15 384 416,0234375 9 -354 375
16 383 417,1096606 42 33 341
17 382 418,2015707 77 35 305
18 381 419,2992126 114 37 267
19 380 420,4026316 153 39 227
20 379 421,5118734 194 41 185
21 378 422,6269841 237 43 141
22 377 423,7480106 282 45 95
23 376 424,875 329 47 47
24 375 426,008 3 -326 372

Los puntos donde la diferencia entre los restos es negativa, son los lugares a los que quiero llegar mediante un solo paso, o sea mediante la formula, ya que esos puntos son los posibles lugares donde podría estar el factor buscado.

En este caso como el incremento de dicha diferencia es par, ocuparía la siguiente formula:



Reemplazando:



Resolviendo:





Como tomamos la parte entera positiva el resultado seria , exactamente donde esta el primer punto que buscamos.