Sean a,b,c enteros de la forma a^2+b^2=c^2 probar que 3|a o 3|b

[juanmaflyer]

Hola como andan. Tengo una duda con la resolución del siguiente ejercicio:

. Probar que:

i.   
ii. 
iii. 

El i. lo hice de la siguiente manera:

Para probar un ó (disyunción) tomo que no vale alguna de las proposiciones, entonces pruebo que la otra debe valer. En este caso tome que no vale a:

Si

Si
         
         

Ahora me fijo las posibles congruencias de c módulo 3:







Ahora me fijo las posibles congruencias de b módulo 3:







Y ahora las posibles congruencias de (Y ES ACÁ DONDE SURGE MI DUDA)

Si
Si

Como no hay ninguna congruencia

Lo que no estoy seguro es que valga la última implicación que escribí... Solo estoy diciendo que 3 debe dividir a b para que se cumplan las congruencias pero no estoy muy seguro que valga...

Se les ocurre alguna otra manera de resolverlo??

[el_manco]

Hola

 Es correcto lo que has hecho. Pero en realidad lo puedes resumir mucho más. Primero comprueba que trabajando módulo tres, cualquier cuadrado cumple:

  ó

 Entonces si ni ni son múltiplos de , tendríamos que sus cuadrados no lo son y entonces:

 

 ¡Absurdo!.

Saludos.

[juanmaflyer]

Muchas gracias por tu respuesta! Cierto, de tu manera se puede simplificar mucho mas... Ahora estoy trabado un poco con el punto iii.

4|a o 4|b

Seguí el mismo procedimiento que antes pero tengo varias posibilidades en las ecuaciones de congruencias y no se como demostar lo que me piden.

Siguiendo tu manera (intentando llegar a un absurdo) tampco lo pude resolver. Tengo lo siguiente:

Trabajando módulo 4, cualquier cuadrado cumple:



Pero tengo varias maneras de lograr esta congruencia sumando los 2 cuadrados...

[topo23]

Si tomas resto modulo 8, entonces los restos posibles son , ahora no es dificil ver que es suficiente probar cuando a y b tienen diferente paridad.

En ese caso, si ninguno es multiplo de cuatro y tienen diferente paridad la suma del lado izquierdo solo pueden ser , absurdo.