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Illuminatus
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« : 25/02/2010, 01:54:06 pm » |
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Demuestre que en la secuencia 11; 111; 1111; 11111...; no existe ningún
cuadrado perfecto.
¿Ideas? ¿Me lo podrían explicar con pelos y señas?
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robinharra
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« Respuesta #1 : 25/02/2010, 05:08:58 pm » |
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Hola, Pregunta cual es la secuencia  o  , pues esta sí es verdad, la otra nó, ya que puedes verificar que  y  son primos, esto lo puedes hacer en http://www.wolframalpha.com/input/?i=factor+1111111111111111111 utilizando la función factor. Te ayudo con la que digo que es cierta 11 es fácilmente primo pues  , luego no puede existir un número natural tal que  111 algo análogo, pues  1111 como  , claramente 101 es primo. |
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Colombia, capital mundial del re-busque.
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el_manco
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« Respuesta #2 : 25/02/2010, 05:32:09 pm » |
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Hola Robinharra: no entiendo lo que dices. Parece que has confundido (o mezclas las dos cosas) primo con cuadrado perfecto. O quizá simplente no te comprendo bien. Un cuadrado que acabe en uno, es cuadrado de un número que acaba en uno o en nueve, es decir, es de la forma:  De ahí deducimos que su cifra de las decenas siempre es par. Saludos. |
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robinharra
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« Respuesta #3 : 25/02/2010, 07:30:04 pm » |
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Hola Robinharra: no entiendo lo que dices. Parece que has confundido (o mezclas las dos cosas) primo con cuadrado perfecto. O quizá simplente no te comprendo bien. Un cuadrado que acabe en uno, es cuadrado de un número que acaba en uno o en nueve, es decir, es de la forma: De ahí deducimos que su cifra de las decenas siempre es par. Saludos. Rayos el_manco, tienes toda la razón, lo curioso es que por un lado escribo que puede ser primo y por el otro pretendo demostrar que no es cuadrado. Disculpas a ambos. |
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Colombia, capital mundial del re-busque.
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Illuminatus
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« Respuesta #4 : 27/02/2010, 11:52:23 am » |
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... Editado.
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bepro
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« Respuesta #5 : 27/02/2010, 04:10:52 pm » |
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El número  =  .Entonces k es necesariamente primo. En efecto si no fuera primo, k=ab con  en cuyo caso  , el producto de dos enteros >1, que nos lleva a una contradicción. Por otra parte demostrar que  no puede ser cuadrado perfecto es fácil, sea  el cuadrado perfecto, entonces tenemos que  . Luego tomando logaritmos en base 10 tenemos que, k=  pero se puede demostrar que k=2jk+1, para un cierto número positivo j, luego obtenemos una contradicción. Saludos |
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Illuminatus
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« Respuesta #6 : 27/02/2010, 05:53:59 pm » |
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A vale, ahora sí, la verdad es que llegué al logaritmo, pero no sabia como interpretarlo. ¿Otra pregunta, a que te refieres con  ? Perdón de nuevo por mi ignorancia haha, pero es que soy muy curioso: ¿Porqué tiene que ser  un número primo? |
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bepro
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« Respuesta #7 : 27/02/2010, 06:15:36 pm » |
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porque k, como demostramos, no es un número compuesto.
j es cualquier número positivo.
Saludos
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Illuminatus
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« Respuesta #8 : 27/02/2010, 06:16:43 pm » |
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Muchisimas gracias!
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topo23
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« Respuesta #9 : 27/02/2010, 07:02:43 pm » |
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En efecto si no fuera primo, k=ab con en cuyo caso , el producto de dos enteros >1, que nos lleva a una contradicción. En el enunciado se habla de cuadrados perfectos no de primos, así que no hay contradicción. Por otra parte demostrar que no puede ser cuadrado perfecto es fácil, sea el cuadrado perfecto, entonces tenemos que . Luego tomando logaritmos en base 10 tenemos que, k= pero se puede demostrar que k=2jk+1, para un cierto número positivo j, luego obtenemos una contradicción. Solo con lo que escribiste no alcanza para contradecir el enunciado, deberías probar que con la formula obtenida nunca puede resultar un k entero. |
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el_manco
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« Respuesta #10 : 27/02/2010, 07:06:54 pm » |
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Hola
Sólo por curisosidad illuminatus: ¿has entendido mi demostración del resultado? Si es correcta y no me equivocadao lo que se prueba es cualquier cuadrado perfecto acabado en uno tiene la cifra de las decenas par (o si prefieres es un múltiplo de veinte más uno); por tanto en tu secuencia no hay ningún cuadrado perfecto.
Saludos.
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Illuminatus
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« Respuesta #11 : 27/02/2010, 07:09:48 pm » |
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Si, pero ahora me habeis provocado confusión haha xd.
A ver:
Lo que dices es que para que sea un cuadrado perfecto, necesita la cifra de decenas par, por lo que en mi secuencia 1, 11, 111.. no hay. Por eso no lo son.
¿Eso no?
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Illuminatus
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« Respuesta #12 : 27/02/2010, 07:11:16 pm » |
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Una pequeña pregunta. ¿Por qué tiene que ser par las decenas?
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el_manco
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« Respuesta #13 : 27/02/2010, 07:21:45 pm » |
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Hola Una pequeña pregunta. ¿Por qué tiene que ser par las decenas? Lo justifiqué en mi primera intervención en este hilo. Hola Un cuadrado que acabe en uno, es cuadrado de un número que acaba en uno o en nueve, es decir, es de la forma: Fíajte que  es uno más un múltiplo de  , luego su cifra de las decenas siempre es par. Saludos. |
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Teón
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« Respuesta #14 : 28/02/2010, 09:27:29 am » |
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Hola. Una pequeña pregunta. ¿Por qué tiene que ser par las decenas?
Es claro que termina en 1, si queremos examinar la cifra de las decenas, debemos restar 1 , dividir por 10 y ver que residuo deja módulo 10. Por ejemplo si se tiene 2781  pero 278 deja residuo 8 si lo dividimos por 10, es decir su cifra de las decenas. Hagamos lo mismo con la expresión del Manco  Pero  Por otro lado, en el sistema de residuos módulo 10  * Por lo tanto  Es decir, en este segundo conjunto, se debe hallar la cifra de las decenas. *  es el reciduo de k módulo 10.Saludos. |
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Non credo quia absurdum est.
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Illuminatus
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« Respuesta #15 : 28/02/2010, 04:38:43 pm » |
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Hola Teón: Podrías aclararme a que te refieres con Muchas gracias. Edit: Ya lo entendí  |
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