6.- ECUACIONES IMPLÍCITAS
Entran en este apartado todas aquellas ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO's) de primer orden que adoptan la forma general:
y los métoos de resolución conducen a dos posibles estrategias. Las ecuaciones que se expresan con alguna de las tres variables despejada ó que puede despejarse, que son las ecuaciones solubles, y las que se forman con funciones compuestas más sencillas. Veremos ahora los casos más habituales de cada una.
6.1 Ecuaciones solubles: hace referencia este apartado a aquellas ecuaciones que pueden ser expresadas con una de las tres variables,
despejada. Obedecen a los tres tipos:
en las que el primer tipo es una ecuación algebraica de grado
en
para las que las
son funciones de las variables
e
, y para las dos restantes puede habilitarse una solución en forma paramétrica. Los métodos convierten el problema implícito en un problema explícito que a menudo puede ser más fácil de resolver.
1º.- Ecuaciones algebraicas en . Una cuación algebraica de n-simo grado en
, si puede factorizarse en la forma descrita más arriba, nos conduce a n ecuaciones diferenciales de forma explícita que una vez resueltas nos darán la solución general.
2º.- Ecuaciones solubles en . Son de la forma:
que es posible resolver en forma paraétrica usando como parámetro
Basta derivar la ecuación respecto de
en la forma:
ecuación en forma explícita que si puede integrarse, su solución
=0 junto con la
nos da la solución de la ecuación original en forma paramétrica.
3º.- Ecuaciones solubles en . Son de la forma:
que es posible resolver en forma paramétrica usando como parámetro
Basta derivar la ecuación respecto de
en la forma:
ecuación en forma explícita que si puede integrarse, su solución
=0 junto con la
nos da la solución de la ecuación original en forma paramétrica.
6.2 Ecuaciones compuestas: Hace referencia este apartado a aquellas ecuaciones que pueden expresarse como implícitas de una compuesta conocida
y de la variable
, son por lo tanto de la forma:
Dependiendo de los tipos para
podremos obtener una solución general en forma paramétrica. Cuando es posible encontrar parametrizaciones de la forma:
entonces podemos escribir:
que puede ser integrable.
1º.- Ecuaciones en las que falta . Son de la forma
y su solución paramétrica es de la forma:
2º.- Ecuaciones en las que falta . Son de la forma
y su solución paramétrica es de la forma:
3º. Ecuaciones compuestas con 
Son de la forma
y su solución paramétrica es de la forma:
4º.- Ecuaciones homogéneas implícitas. Son de la forma
y su solución paramétrica es de la forma:
Cuando existe
que satisface
entonces además la ecuación diferencial admite la solución
6.3 Ecuaciones notables: 1ª.- Ecuación de Lagrange. Es de la forma:
que debe ser tratada como soluble en
. Su solución paramétrica viene dada por:
2ª.- Ecuación de Clairaut. Es una caso particular de la anterior:
Al ser tratada como soluble en
se llega a la ecuación:
que admite dos soluciones:
siendo la segunda solución la forma paramétrica de la envolvente del haz de rectas dado por la primera solución, cuando exista.
3ª.- Otros casos notables. Otros tipos similares a los anteriores son:
que se resuelven en forma análoga.
Saludos, Jabato.
