Tensor métrico de Riemann

[ignorante basico]

Saludos a la gente del foro,
mi nombre es Andrés, soy un estudiante de medicina de 5to año por lo que mis conocimientos matemáticos a esta altura son nulos o gravemente oxidados. Sin embargo, por cuestiones de interés personal me encuentro en este momento leyendo "Hiperespacio" de Michio Kaku que intenta explicar entre otras cosas la dinámica de universos multidimensionales y que nombra y explica brevemente el sistema de tensores métricos de Riemann.

no llego a comprender este postulado si es que así debe denominarse ni tampoco el por qué, Michio Kaku, en el libro, sostiene:

http://www.emiliosilveravazquez.com/blog/wp-content/uploads/2008/09/matriz.gif

"El tensor métrico de Riemann contiene toda la información necesaria para describir matemáticamente un espacio curvo en N dimensiones. Se necesitan dieciséis números para describir el tensor métrico en cada punto en un espacio tetradimensional. Estos números pueden disponerse en una matriz cuadrada (seis de dichos números son realmente redundantes; de modo que el tensor métrico tiene 10 números independientes)."

Si alguien fuera tan amable de explicar de una forma que un no iniciado matemático pueda comprender el tensor métrico y por que a pesar de contar con una matriz de 16 casilleros solo 10 son importantes lo agradecería muchísimo.

[el_manco]

Hola

 Si no sabes NADA de matemáticas es complicado explicarlo de manera de que lo entiendas.

 Algunas ideas.

 - Un punto en el espacio está dado por tres coordenadas

 - Para medir la distancia entre dos puntos medimos el vector que los une. Las coordenadas de éste son la diferencia entre las coordenadas de los dos puntos.

 - La longitud de un vector viene dado por:



(esencialmente esto es el teorema de pitágoras).

 - Esta fórmula puede escribirse así:



 - Esta es esencialmente la fórmula para medir. Pues bien puede generalizarse susituyendo la matriz identidad que aparece ahí por cualquier matriz simétrica definida positiva. Eso da lugar a métricas diferentes de la usual. A "distintas" formas de medir.

 - Una matriz simétrica es de la forma:



 De momento me paro aquí: piensa en lo mismo pero para cuatro dimensiones y al menos entenderás porque sólo son necesarios coeficientes.

Saludos.

[ignorante basico]

querido manco,

entiendo por tu explicación que en una matriz simétrica 3x3 en vez de ser 9 los números sólo serían 6 ya que a = a ; b = b  y e = e

sin embargo en la matriz 4x4 del tensor métrico de Riemann
http://www.emiliosilveravazquez.com/blog/wp-content/uploads/2008/09/matriz.gif

para eliminar los 6 números redundantes exige eliminar teniendo en cuenta que g12=g21 ; g13=g31 ; g14=g41 ; g23=g32
 ; g24=g42 y g34=g43

esto debe ser en realidad muy simple pero yo no logro comprender x que 12 = 21 o el superíndice que sigue a "g" simplemente indica fila y columna en la que se encuentra un valor?

segundo,
la matriz en el tensor métrico de Riemann es de 4 x 4 porque toma en cuenta 4 dimensiones? por que no 5 o 10 como se sugiere sería el máximo posible de dimensiones (lo sugiere el libro en el primer capítulo todavía no he llegado a una explicación del por qué)?

sepan disculpar mi ignorancia en el foro
muchas gracias por la colaboración y rápida respuesta

[el_manco]

Hola

 Si, el tensor métrico de Riemann es porque representa un modelo de cuatro dimensiones. ¿Que podría haber otros modelos de más dimensiones? Podría. Pero ese es uno y es de cuatro dimensiones.

 Por otro lado la simetría de la matriz asociada a una métrica se exige para que la medida de ángulos y distancias cumplan las propiedades a las que estamos acostumbrados; por ejemplo si la matriz no fuese simétrica el ángulo entre dos vectores dependería del sentido en que lo medimos.

 De todas formas insisto en que analizar los detalles matemáticos sin conocimientos previos de matemáticas es harto complicado.

Saludos.