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Autor Tema: Cuerpos y Polítopos Regulares. Fórmula de Euler para figuras, poliedros, etc.  (Leído 15312 veces)
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« : 09/10/2009, 01:59:46 am »

Para todos nosotros es conocida la Fórmula de Euler que relaciona el número de caras, aristas y vértices de un poliedro tridimensional:

[texx]V-A+C=2[/texx]

O sea, para todo poliedro tridimensional, el número de vértices V menos el número de aristas A más el número de caras C es siempre igual a 2.

Antes de empezar a discutir este tema voy a poner un artículo excelente que encontré en internet, y del que seguramente tomaré prestadas muchas cosas. Incluye 18 demostraciones de la fórmula de Euler:

La fórmula de euler y la topología (Juan Napoles Valdes)

En caso de que el enlace anterior caiga, voy a dejar disponible una copia del archivo en el presente post.



De todas las pruebas que se ofrecen en el artículo de Valdes, la que me parece más clara a la intuición geométrica es la que da como el caso número 5.
Aún así no me termina de convencer, y voy a buscar alguna prueba que me parezca más clara o satisfactoria.



Mi interés en la Fórmula de Euler proviene de su aplicación a la demostración de que sólo hay 5 poliedros regulares tridimensionales, los famosos 5 sólidos platónicos.
Me interesa también entender los polítopos regulares en dimensiones superiores, y seguramente Euler tiene algo que decir al respecto.



Teorema 1 (en el plano). Consideremos el plano euclidiano. Todo polígono convexo cerrado plano [texx]P[/texx] tiene el mismo número de vértices que de lados. O sea, si [texx]V[/texx] representa el número de vértices de [texx]P[/texx], y si [texx]A[/texx] represente el número de lados de [texx]P[/texx], entonces se cumple que:
[texx]V-A=0.[/texx]

La demostración no la voy a hacer, aunque debiera hacerla alguna vez.
Supongo que es un hecho bastante obvio.
Imaginemos un polígono convexo cerrado con V vértices. ¿Cuántos son los lados de ese polígono? Es intuitivamente claro que [texx]A = V[/texx].
Al revés, un polígono convexto cerrado con A lados, claramente tiene también [texx]V = A[/texx] vértices.



Acá hay otro buen artículo sobre este tema:

Poliedros y polítopos, Francisco Santos Leal



Teorema de Euler. Consideremos el espacio euclidiano tridimensional. Sea P un poliedro cerrado convexo. Sean V el número de vértices de P, A el número de aristas de P, y C el número de caras de P. Entonces:
[texx]V-A+C=2[/texx]

Demostración:

(Investigando...)

Una demostración que me parece muy clara es la que aparece en las páginas 18, 19 y 20 del siguiente artículo:

Poliedros Regulares, Geometría Descriptiva, Univ. Alicante

* Formula-Euler-Toplogia-Juan-Valdes.pdf (471.39 KB - descargado 615 veces.)
* Poliedros-Regulares-Alicante.pdf (124.2 KB - descargado 689 veces.)
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« Respuesta #1 : 09/10/2009, 03:13:42 am »

He aquí un capítulo de un trabajo, que me ha parecido muy bueno.
Está en formato "moderno" sobre teoría de conjuntos convexos polidimensionales.
Estudia los polítopos convexo desde el punto de vista de la convexidad, y muestra la generalización de la fórmula de Euler a varias dimensiones:

Geometría Convexa y Discreta, cap. 2, María Hernández Cifre, Univ. Murcia

Teorema de Euler-Poincarè. Sea P un polítopo m-dimensional en un espacio euclidiano multidimensional. Sean [texx]f_r(P)[/texx] el número de caras [texx]r[/texx]-dimensionales de [texx]P[/texx] (caras 0-dimensionales son los vértices, las 1-dimensionales las aristas, etc.). Entonces:
[texx]\sum_{j=0}^{m-1}f_j(P)=1-(-1)^m[/texx]

 :guiño:


* Cifre-cap2.pdf (581.03 KB - descargado 1567 veces.)
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« Respuesta #2 : 09/10/2009, 02:26:31 pm »

Tal vez puedas escribir un articulo relacionado con este tema y subirlo a pagina principal del Rincon http://rinconmatematico.com/, aqui es muy facil que se pierda en medio de tantos mensajes en foro, en la pagina principal tendria un lugar mas permanente, ademas de un enlace mas facil de hallar.

Tambien se podria agregar una seccion de reviews y mover ahi las review de los libros una vez que este completa, y dejar en el foro solo la discucion de los temas.

Otro articulo interesante es escribir una "conclusion" sobre el hilo de Goedel y subirlo a la pagina principal y desde ahi senialar el hilo del foro.
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« Respuesta #3 : 09/10/2009, 03:07:07 pm »

Gracias por las sugerencias.
Todo tiene arreglo.
Ya veremos.
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« Respuesta #4 : 07/11/2009, 08:52:25 pm »

Acá voy a poner una demostración que considero más clara a la intuición geométrica del Teorema de Euler.

Además, voy a hacer una larga lista de preliminares con los resultados geométricos básicos que se necesitan.

La idea es llegar al objetivo definiendo bien todos los conceptos geométricos necesarios, pero al mismo tiempo lograrlo por el camino más corto posible.

La geometría euclidiana tiene un sinfín de postulados y teoremas que muchas veces se consideran "dados" o "sabidos", o sea que estamos siempre en bambalinas en cuanto a las propiedades que podemos usar y las que no.

Así que me sirvo un poco del espacio vectorial [texx]\mathbb{R}^3[/texx], aunque sólo lo mínimo para hablar de rectas, planos, semiespacios y cosas por el estilo, bien básico.

Y con ese lenguaje construyo los conceptos de polígono regular, poliedro regular, y demuestro el Teorema de Euler.
Las ideas del Teorema creo que serán bastante claras, aunque puede haber dudas en cuanto a los detalles de las demostraciones, las cuales sería bueno discutir hasta que no queden más dudas.

El uso del  Teorema de Euler para probar que los únicos poliedros regulares son los de 4, 6, 8, 12 y 20 caras... eso vendrá después, ¿aunque es fácil, no?

Así que ahí va, en un par de posts, el Teorema de Euler.
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« Respuesta #5 : 07/11/2009, 09:04:33 pm »


Teoremas básicos de Geometría espacial tridimensional.

Primero, unas preliminares:


Geometría tridimensional básica. Poliedros convexos.

Consideremos el espacio euclidiano tridimensional.
Serán de fundamental importancia las propiedades de incidencia.
Para facilitar algunos detalles, vamos a utilizar el modelo típico de geometría tridimensional dada por el espacio vectorial [texx]\displaystyle \mathbb R^3[/texx], cuyos puntos se pueden caracterizar por coordenadas en relación a una terna de vectores linealmente independientes, y algún punto base tomado como origen de coordenadas.


Propiedad de la intersección de dos rectas: Si dos rectas no paralelas se intersectan, lo hacen en un solo punto.

Spoiler: Demostración (abrir desplegable) (click para mostrar u ocultar)


Diremos que un conjunto [texx]\displaystyle \mathcal C[/texx] en el espacio es convexo si para cualquier par de puntos [texx]\displaystyle P,Q \in \mathcal C[/texx], el segmento [texx]\displaystyle PQ[/texx] también está contenido en [texx]\displaystyle \mathcal C[/texx].

Teorema 1. La intersección de una familia arbitraria de conjuntos convexos, es también un conjunto convexo.

Este hecho elemental de la geometría tiene una sencilla demostración, y la omitimos.

Spoiler: Noción de semiplano (click para mostrar u ocultar)

Teorema 2. Sea [texx]\displaystyle Q[/texx] un punto de  [texx]\displaystyle \textsf{semiplano}(\ell,P)[/texx], que no es un punto de la recta limitante [texx]\displaystyle \ell[/texx]. Entonces
[texx]\textsf{semiplano}(\ell,Q)=\textsf{semiplano}(\ell,P).[/texx]

Spoiler: Demostración (abrir desplegable) (click para mostrar u ocultar)

O sea, da igual qué punto tomemos como referencia para definir el semiplano.

Corolario. El [texx]\displaystyle \textsf{semiplano}(\ell,P)[/texx] es convexo.

Spoiler: Demostración (abrir desplegable) (click para mostrar u ocultar)

Teorema 3. Sean [texx]\displaystyle O,E[/texx] un par de puntos en la recta [texx]\displaystyle \ell[/texx]. El semiplano [texx]\displaystyle \textsf{semiplano}(\ell,P)[/texx] puede describirse como el conjunto de puntos [texx]\displaystyle Q[/texx] que satisfacen

[texx]Q=O+s(E-O)+t(P-O),\qquad t\geq 0.[/texx]

Spoiler: Demostración (abrir desplegable) (click para mostrar u ocultar)

Corolario. La recta [texx]\displaystyle \ell[/texx] es frontera de sólo dos semiplanos distintos en el plano [texx]\displaystyle \pi[/texx].

Spoiler: Demostración (abrir desplegable) (click para mostrar u ocultar)

Ahora definimos ángulos y polígonos convexos en el plano.


Considérese una lista ordenada de puntos distintos [texx]\displaystyle P_1,...,P_n[/texx] en el plano [texx]\displaystyle \pi[/texx], con [texx]\displaystyle n\geq 3[/texx].
Se dice que esos puntos forman un polígono convexo en el plano [texx]\displaystyle \pi[/texx] si ninguna terna de ellos es colineal, y además cada recta determinada por pares de puntos consecutivos [texx]\displaystyle \overline{P_iP_{i+1}}[/texx] deja a los restantes puntos de la lista a un solo lado de ella, o sea, en un mismo semiplano con [texx]\displaystyle \overline{P_iP_{i+1}}[/texx] como recta limitante.
Se considera que [texx]\displaystyle P_1[/texx] es punto consecutivo de [texx]\displaystyle P_n[/texx] en la lista anterior.

Bajo estas condiciones, se llama polígono de [texx]\displaystyle n[/texx] vértices [texx]\displaystyle P_1,...,P_n[/texx], y se denota [texx]\displaystyle P_1...P_n[/texx], a la intersección de los [texx]\displaystyle n[/texx] semiplanos con rectas limitantes [texx]\displaystyle \overline{P_iP_{i+1}}[/texx] que contiene al punto [texx]\displaystyle P_{i+2}[/texx]. Se entiende que [texx]\displaystyle P_{n+1}[/texx] es el punto [texx]\displaystyle P_1[/texx], y que [texx]\displaystyle P_{n+2}[/texx] es el punto [texx]\displaystyle P_2[/texx]. En símbolos:

[texx]P_1...P_n=\bigcap_{i=1}^n \textsf{semiplano}(\overline{P_iP_{i+1}},P_{i+2}).[/texx]

Está claro que en vez de [texx]\displaystyle P_{i+2}[/texx] se podría haber puesto cualquier otro punto.

Se llaman aristas (o lados) del polígono [texx]\displaystyle P_1,...,P_n[/texx] a los segmentos formados por vértices consecutivos: [texx]\displaystyle P_iP_{i+1}[/texx].

Se puede demostrar que las semirrectas opuestas a [texx]\displaystyle \overrightarrow{P_iP_{i+1}}[/texx] tienen todos sus puntos fuera del polígono.

Además, si [texx]\displaystyle P,Q[/texx] son vértices cualesquiera del polígono, entonces se puede probar que [texx]\displaystyle PQ[/texx] es una arista si, y sólo si la recta [texx]\displaystyle \overline{PQ}[/texx] deja al resto de los vértices de un solo lado de ella (en uno solo de los semiplanos determinados por ella).

Sin embargo, usando nuestra definición de polígono convexo, no necesitamos profundizar en mayores detalles.

Tenemos el siguiente resultado.

Teorema 4. Si [texx]\displaystyle P_1...P_n[/texx] es un polígono convexo de [texx]\displaystyle n[/texx] vértices, entonces tiene [texx]\displaystyle n[/texx] aristas.

La demostración es trivial en virtud de la definición de arista de un polígono convexo.

Podemos reescribir este Teorema de un modo más parecido al espíritu de la Fórmula de Euler. Sea [texx]\displaystyle \mathcal P[/texx] un polígono convexo, en un plano cualquiera, y sean [texx]\displaystyle V[/texx] su número de vértices y [texx]\displaystyle A[/texx] su número de aristas. Se tiene la igualdad:

[texx]V-A=0.[/texx]

Ahora continuamos con la noción de semiespacio y sus consecuencias.

Spoiler: Noción de semiespacio (click para mostrar u ocultar)

Propiedad de la intersección de dos planos:
La intersección de dos planos no paralelos es una línea recta.

Spoiler: Demostración (abrir desplegable) (click para mostrar u ocultar)


Teorema 8. Sea [texx]\displaystyle Q[/texx] un punto de  [texx]\displaystyle \textsf{semiespacio}(\pi,P)[/texx], que no es un punto del plano limitante [texx]\displaystyle \pi[/texx].
Entonces al escribir [texx]\displaystyle Q[/texx] en forma coordenada como:

[texx]Q=O+s_Q(E-O)+t_Q(F-O)+u_Q(P-O),[/texx]

necesariamente ocurre que [texx]\displaystyle u_Q>0[/texx].
Recíprocamente, si [texx]\displaystyle u_Q>0[/texx], entonces [texx]\displaystyle Q[/texx] está en el [texx]\displaystyle \textsf{semiespacio}(\pi,P)[/texx].

Spoiler: Demostración (abrir desplegable) (click para mostrar u ocultar)

Teorema 9. Sea [texx]\displaystyle Q[/texx] un punto de  [texx]\displaystyle \textsf{semiespacio}(\pi,P)[/texx], que no es un punto del plano limitante [texx]\displaystyle \pi[/texx].
Entonces
[texx]\textsf{semiespacio}(\pi,Q)=\textsf{semiespacio}(\pi,P).[/texx]

Spoiler: Demostración (abrir desplegable) (click para mostrar u ocultar)


Los Teoremas previos permiten afirmar ahora que un plano [texx]\displaystyle \pi[/texx] determina exactamente dos semiespacios distintos. Los detalles se dejan al lector.

Más aún, tenemos el siguiente importante resultado:

Corolario. Todo semiespacio es un conjunto convexo.





Sea [texx]\displaystyle \mathcal P_1,...,\mathcal P_n[/texx] una lista de [texx]\displaystyle n[/texx] polígonos convexos, donde [texx]\displaystyle n[/texx] es igual a 4 o más, tal que ningún par de ellos es coplanar. Cada uno de esos polígonos determina un plano único que lo contiene. Denotemos con [texx]\displaystyle \pi_i[/texx] al plano determinado por [texx]\displaystyle \mathcal P_i[/texx].
Además, cada uno de esos polígonos [texx]\displaystyle \mathcal P_i[/texx] tiene asociada una lista de vértices [texx]\displaystyle P_{i1},...,P_{i,k_i}[/texx], y una lista de aristas [texx]\displaystyle a_{i1},...,a_{i,j_i}[/texx], digamos.

Se dice que los polígonos [texx]\displaystyle \mathcal P_1,...,\mathcal P_n[/texx] forman un poliedro convexo si:
  • Cada uno de los planos [texx]\displaystyle \pi_i[/texx] deja a todos los polígonos de un solo lado de [texx]\displaystyle \pi_i[/texx], vale decir, en uno solo de los semiespacios determinados por [texx]\displaystyle \pi_i[/texx];
  • cualquier otro plano determinado por algunos de los puntos [texx]\displaystyle P_{i,j}[/texx] deja al menos un par de vértices separados en semiespacios distintos; y
  • toda arista [texx]\displaystyle a_{i,j}[/texx] pertenece simultáneamente a dos (y sólo dos) polígonos distintos de la lista dada.

La primera condición asegura convexidad,
la segunda procura que el poliedro sea acotado...

Bajo las condiciones anteriores se define el poliedro con [texx]\displaystyle n[/texx] caras [texx]\displaystyle \mathcal P_1,...,\mathcal P_n[/texx], y se denota [texx]\displaystyle \mathcal P_1...\mathcal P_n[/texx], a la intersección de los conjuntos [texx]\displaystyle \textsf{semiespacio}(\pi,P_{i+1,r_i})[/texx], donde [texx]\displaystyle P_{i,r_i}[/texx] es algún vértice del polígono [texx]\displaystyle \mathcal P_{i+1}[/texx] que no pertenece a [texx]\displaystyle \pi[/texx] (se puede probar fácilmente que existe, usando que los polígonos son convexos y no coplanarios dos a dos).
En símbolos:

[texx]\mathcal P_1...\mathcal P_n=\bigcap_{i=1}^n \textsf{semiespacio}(\pi_i,P_{i+1,r_i}).[/texx]

Usando la condición de que cada arista toca exactamente 2 caras del poliedro, se puede demostrar que los puntos del plano [texx]\displaystyle \pi_i[/texx] que pertenecen al poliedro son exactamente (ni más ni menos) los puntos del polígono [texx]\displaystyle \mathcal P_i[/texx].

Esto ocurre porque una arista dada determina dos semiplanos en el plano [texx]\displaystyle \pi_i[/texx]. Uno de esos dos semiplanos pertenece al semiespacio determinado por la otra cara que toca a la arista, y que contiene al poliedro.
Luego, el semiplano elegido dentro de [texx]\displaystyle \pi[/texx] contiene al polígono [texx]\displaystyle \mathcal P_i[/texx]. Lo mismo pasa con las demás aristas del polígono, y así, la intersección de todos esos semiplanos es, claro está, el polígono [texx]\displaystyle \mathcal P_i[/texx].

Se deja al lector detallar exhaustivamente estos argumentos.



Teorema 10. Sea [texx]\displaystyle \mathcal Q[/texx] un poliedro convexo. Supongamos que una de sus caras es un polígono [texx]\displaystyle \mathcal P_0[/texx] de [texx]\displaystyle n[/texx] lados ([texx]\displaystyle n\geq 3[/texx]). Entonces el poliedro [texx]\displaystyle \mathcal Q[/texx] ha de tener al menos [texx]\displaystyle n+1[/texx] caras.

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Corolario. Dado un poliedro convexo de sólo 4 caras, resulta que todas sus caras son polígonos de 3 vértices (o sea, triángulos).

Esto se deduce inmediatamente del Teorema anterior, porque si uno de las caras no fuese un triángulo, entonces sería un polígono con una cantidad de aristas [texx]\displaystyle n>3[/texx], y así el poliedro tendría como mínimo [texx]\displaystyle n+1>4[/texx] caras, contradicción.

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« Respuesta #6 : 07/11/2009, 09:18:52 pm »

Demostración del Teorema de Euler, mediante descomposición en Prismoides.

Ahora voy a introducir un tipo de cuerpo geométrico que muy probablemente sea mero invento mío. Me refiero a que no he visto en la literatura consideraciones especiales sobre el tipo de cuerpos geométricos que voy a considerar a continuación. Se trata de unos objetos a los que he de llamar prismoides.
La idea de un prismoide es que se trata de algo así como un prisma de varias caras, que a su vez pueden estar inclinadas de diverso modo.
Lo único que conservan de la intuición de prisma es que cada cara lateral es a lo sumo un cuadrilátero, y que tiene un par de caras paralelas que hacen las veces de tapas.


He aquí un ejemplo gráfico de prismoide. Las tapas serían las caras [texx]ABCDE[/texx] y [texx]FGHI[/texx], ambas paralelas entre sí. Las caras laterales serían [texx]BFG, BCF, CDHF, DIH, DEI, AEIG, ABG[/texx].



Teorema 11. Todo prismoide satisface la Fórmula de Euler, o sea, [texx]\displaystyle V-A+C=2[/texx].

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Teorema 12. Consideremos un número finito de prismoides [texx]\displaystyle \mathcal Z_1,...,\mathcal Z_h[/texx] tales que dos consecutivos de ellos comparten siempre una de sus bases, y además cada una de estas bases comparte un sólo un par de prismoides.
Supongamos además que las bases o tapas así compartidas son todas polígonos de 3 lados o más.
Si la unión de estos prismoides es un poliedro convexo, entonces satisface la Fórmula de Euler [texx]\displaystyle V-A+C=2[/texx].

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Ahora deseamos demostrar el Teorema de Euler para un poliedro convexo cualquiera.
La idea es descomponer el poliedro en una unión adecuada de prismoides.
Para ello, la intuición que pretendo desarrollar es como sigue:
Me posiciono en una de las caras del poliedro,
y paralelamente a esa cara voy generando gradualmente planos paralelos que van formando cortes transversales del poliedro, como se muestra en la figura (la cara "inicial" es la que está a la izquierda):



En el dibujo, se inicia en la cara de más a la izquierda, dibujando en celeste el plano que soporta dicha cara.
Luego se traslada ese plano paralelamente hacia la derecha, hasta haber recorrido el poliedro "completo".


Sin embargo, para poder aplicar el Teorema 12, será necesario no tomar planos de corte cualesquiera, como en el dibujo, sino quedarnos sólo con aquellos planos que contienen vértices del poliedro.
Confío en que eso me dará la división exacta en los prismoides adecuados de un poliedro genérico.


Teorema 13. Todo poliedro convexo puede expresarse como una unión finita de prismoides que consecutivamente comparten una de sus bases, y de tal modo que toda base compartida es un polígono de 3 lados o más.

En el siguiente desplegable adjunto una prueba, pero considero que debe perfeccionarse más.
Se aceptan sugerencias.
Al menos la dejo asentada para que así se pueda "poner a rodar la bola", y la discusión del Teorema de Euler quede abierta.


Spoiler: Demostración (abrir desplegable) (click para mostrar u ocultar)



Teorema de Euler. Todo poliedro convexo satisface la igualdad [texx]\displaystyle V-A+C=2[/texx].

Spoiler: Demostración (abrir desplegable) (click para mostrar u ocultar)

Obsérvese cómo es que hemos descompuesto un poliedro convexo en bloques manejables, llamados prismoides.
Hemos visto además que, localmente toda cara de un poliedro tiene a lo sumo 4 aristas... lo cual es muy intrigante, aunque no sé lo que eso signifique.


* poliedro-cortado-con-planos.png (46.93 KB - descargado 65710 veces.)
* prismoide.png (28.38 KB - descargado 3098 veces.)
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« Respuesta #7 : 08/11/2009, 01:12:11 am »

Lo que noto de este famoso Teorema de Euler... es que no es algo trivial, como creí en un principio.
Cuesta trabajo demostrar un Teorema tan elemental.

Y estoy seguro que mis pruebas contienen varios errores.
Pero ya era tiempo de soltar estos "sentimientos" al público.

 :cara_de_queso:

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« Respuesta #8 : 08/11/2009, 12:46:20 pm »

Determinación de cuáles son todos los posibles poliedros regulares.

Un poliedro convexo se dirá regular si: todas las caras son iguales, cada cara es un polígono regular, y en cada vértice concurre el mismo número de caras.

Sean [texx]V, A, C[/texx] el número de vértices, aristas y caras de un poliedro regular.
Cada cara es un polígono convexo que tiene un número [texx]L[/texx] de lados.
Este número L es el mismo para todas las caras.
Además, el número de vértices de cada cara es también igual a [texx]L[/texx], porque en un polígono convexo el número de lados y el de vértices siempre coincide.

Cada arista del poliedro comparte o es la intersección de 2 caras.
Los lados de las caras son aristas del poliedro.
Si contamos los lados de cada cara, y sumamos a través de todas las caras, el resultado obtenido será el doble de la cantidad total de aristas del poliedro, porque seguramente las habremos contado 2 veces en la suma de lados.
De aquí obtenemos:
[texx]2\cdot A=C\cdot L [/texx]

En cada vértice del poliedro concurre un número de caras [texx]N[/texx] del poliedro.
Este número [texx]N[/texx] es el mismo para todos los vértices.
Cada cara que concurre en un vértice dado tiene [texx]L[/texx] vértices del polígono correspondiente a la cara.
Si sumamos estos [texx]L[/texx] vértices en todas las caras, habremos contado [texx]N[/texx] veces cada vértice del poliedro, y por lo tanto:

[texx]N\cdot V=L\cdot C[/texx]

Ahora aplicamos la Fórmula de Euler a esta situación, y obtenemos:

[texx]2=V-A+C=\dfrac{LC}N-\dfrac{LC}2+C[/texx]

O bien:
[texx]4N=2LC-LCN+2CN[/texx]

De aquí se infiere que:
[texx](4+LC-2C)N=2LC[/texx]
[texx](2N+2L-NL)C=4N[/texx]
[texx](N-2)CL=2N(C-2)[/texx]

Recordemos que los números [texx]L,C,N[/texx], han de ser todos enteros positivos.
Más aún, por ser [texx]L[/texx] el número de lados de un polígono regular, debe ser [texx]L \geq3[/texx].

¿Puede ser [texx]N=1[/texx]? Esto significará que [texx]-CL = 2(C-2)[/texx]. Como el lado izquierdo es negativo, tendríamos [texx]C = 1[/texx] como única posibilidad, pero no hay poliedros de [texx]C=1[/texx] caras.
¿Puede ser [texx]N=2[/texx]? De la tercer ecuación, si [texx]N = 2[/texx], querría decir que [texx]C=2[/texx], pero un poliedro no tiene [texx]C=2[/texx] caras.

Así que [texx]N \geq3[/texx].

Notemos que [texx]0 <4N=(2N+2L-NL)C=((2-L)N+2L)C[/texx].
Luego [texx]0<(2-L)N+2L[/texx], de donde: [texx](L-2)N<2L[/texx], o bien:
[texx]LN<2(L+N)[/texx].

Se puede probar por inducción que para [texx]N \geq 6,L \geq3[/texx], o bien [texx]N \geq 3,L \geq6[/texx], vale que: [texx]2(L+N)  \leq LN[/texx].

Eso implicaría que [texx]LN<2(L+N) \leq LN[/texx], absurdo.

Por lo tanto, debemos tener que [texx]N<6[/texx] y [texx]L<6[/texx].
Hemos logrado reducir los valores de [texx]N[/texx] y [texx]L[/texx] a una lista finita de posibilidades: [texx]N = 3, 4, 5, L=3, 4, 5.[/texx]

Usando por ejemplo la igualdad [texx](N-2)CL=2N(C-2)[/texx], tenemos que:
  • [texx]N=3,L=3\Rightarrow{3C=6(C-2)}\Rightarrow{C=4}[/texx]
  • [texx]N=3,L=4\Rightarrow{4C=6(C-2)}\Rightarrow{C=6}[/texx]
  • [texx]N=3,L=5\Rightarrow{5C=6(C-2)}\Rightarrow{C=12}[/texx]
  • [texx]N=4,L=3\Rightarrow{6C=8(C-2)}\Rightarrow{C=8}[/texx]
  • [texx]N=4,L=4\Rightarrow{8C=8(C-2)}\Rightarrow{0=16}[/texx], absurdo
  • [texx]N=4,L=5\Rightarrow{10C=8(C-2)}\Rightarrow{C=-8<0}[/texx], absurdo
  • [texx]N=5,L=3\Rightarrow{9C=10(C-2)}\Rightarrow{C=20}[/texx]
  • [texx]N=5,L=4\Rightarrow{12C=10(C-2)}\Rightarrow{C=-10}[/texx], absurdo
  • [texx]N=5,L=5\Rightarrow{15C=10(C-2)}\Rightarrow{C=-4}[/texx], absurdo

Así que las únicas posibilidades son las siguientes para poliedros regulares son las siguientes:

  • Poliedro de [texx]C= 4[/texx] caras: cada cara tiene [texx]L=3[/texx] lados, y cada vértice es un ángulo triedro ([texx]N=3[/texx]), o sea, confluyen [texx]N=3[/texx] caras en cada vértice.
  • Poliedro de [texx]C= 6[/texx] caras: cada cara tiene [texx]L=4[/texx] lados, y cada vértice es un ángulo triedro ([texx]N=3[/texx]), o sea, confluyen [texx]N=3[/texx] caras en cada vértice.
  • Poliedro de [texx]C= 8[/texx] caras: cada cara tiene [texx]L=3[/texx] lados, y cada vértice es un ángulo tetraedro ([texx]N=4[/texx]), o sea, confluyen [texx]N=4[/texx] caras en cada vértice.
  • Poliedro de [texx]C= 12[/texx] caras: cada cara tiene [texx]L=5[/texx] lados, y cada vértice es un ángulo triedro ([texx]N=3[/texx]), o sea, confluyen [texx]N=3[/texx] caras en cada vértice.
  • Poliedro de [texx]C= 20[/texx] caras: cada cara tiene [texx]L=3[/texx] lados, y cada vértice es un ángulo pentaedro ([texx]N=5[/texx]), o sea, confluyen [texx]N=5[/texx] caras en cada vértice.


A pesar de lo divertido que ha sido esto... quedan objeciones, como ya veremos.
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« Respuesta #9 : 08/11/2009, 02:59:27 pm »

Objeción:

Supongamos que tenemos un conjunto de planetas.
Unos astrónomos han llegado a la conclusión de que para que un planeta tenga agua líquida en su superficie, tiene que ser pequeño y estar a poca distancia de su estrella.
Esto nos dice que todos aquellos planetas que no cumplen esas dos condiciones, no tendrán agua líquida.

Los astrónomos han detectado planetas que cumplen esas dos condiciones: son pequeños y rotan cerca de su estrella.
¿Significa que tienen agua en su superficie?
La respuesta es que: no se sabe.
La única manera de comprobar que tienen agua en su superficie es hacer una comprobación directa.

Así que, el criterio usado por los astrónomos no es tanto para "detectar" planetas con agua, sino para "descartar" planetas que no tienen agua.



Con los poliedros regulares ocurre exactamente lo mismo.
Lo que hemos hecho es sólo DESCARTAR aquellos poliedros que no pueden ser regulares.

Por ejemplo, sabemos que no pueden existir poliedros regulares de 23 caras.
Tampoco puede haber poliedros regulares de 6 caras con ángulos pentaedros.
Y un largo etcétera.

Pero supongamos que tenemos uno de los 5 casos a los que arribamos en el post anterior.
Si [texx]C=4, N= 3, L=3[/texx], vemos que estamos en uno de los 5 casos de la lista.
¿Significa esto que efectivamente existe un poliedro con 4 caras, 3 lados por cara, y ángulos triédricos?
Respuesta: NO

Los resultados obtenidos por la Fórmula de Euler no nos aseguran la EXISTENCIA de tales poliedros regulares,
tan sólo nos dicen que, a lo sumo, esas son las 5 posiblidades de poliedros regulares admisibles en la geometría euclidiana tridimensional.


Así que ahora tenemos que demostrar que, en cada caso, existe realmente un poliedro regular con las especificaciones:

[texx](C,L,N)=(4,3,3),(6,4,3),(8,3,4),(12,3,5),(20,5,3)[/texx]

Esto quiere decir que tenemos que construir un poliedro regular con las especificaciones indicadas, uno por cada caso.

Mi plan es hacer esto en lo sucesivo.
Los casos de pocas caras se vislumbran más o menos fáciles.
Ya veremos qué pasa.



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« Respuesta #10 : 09/11/2009, 01:33:40 pm »

 :llorando:

Acá pongo una foto de Britney Spears, a ver si logro un poco más de audiencia


* Britney-Spears-101.JPG (24.53 KB - descargado 2466 veces.)
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« Respuesta #11 : 09/11/2009, 07:43:05 pm »

Ni Britney  :llorando: me ayuda  :llorando: a atraer  :llorando: interés sobre "poliedros" y demás "divertimentos".

 :llorando:  :llorando:
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« Respuesta #12 : 24/05/2012, 01:33:10 am »

Pedazo de topic, realmente interesante  Aplauso

Pronto, cuando termine la ronda de pruebas en la U, me vendré a dar unas vueltas. Genial!
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FunGeometry Canal de youtube sobre Geometría :sonrisa:
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« Respuesta #13 : 24/05/2012, 07:08:28 am »

No conocía este hilo. Es algo antiguo, pero si aún estás interesado, yo estoy ahora mirando cosas de poliedros en los (escasos) ratos libres que tengo. Podemos comentar cosas.
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« Respuesta #14 : 24/05/2012, 02:20:19 pm »

Sí, claro.

Lo que me interesa concretamente es saber cuáles son los polítopos regulares de dimensión n, y cuáles son las técnicas posibles para realizar la demostración.

Una cosa que me parece importante en este tema, es que a veces pareciera que hay gente que olvida que la fórmula de Euler no demuestra nada.

A veces da la sensación que la gente se queda contenta con decir: "la fórmula de Euler es lo que nos da los 5 polítopos regulares".

Y en realidad, como en toda problema matemático, hay que demostrar 2 cosas: existencia y unicidad.

La fórmula de Euler sólo nos resuelve la parte de la unicidad: en caso de haber poliedros regulares de 3 dimensiones, las únicas posibilidades son poliedros de 4, 6, 8, 12 y 20 caras.
Pero nunca nos asegura ese teorema que tales poliedros realmente existen.
Así que hay que proceder a realizar una construcción geométrica.

Sin embargo, contradiciéndome a mí mismo, en este topic me interesa solamente poder determinar cuáles son todas las posibilidades que nos permite una fórmula de Euler n-dimensional, y por supuesto, estudiar la demostración de tal fórmula en ese contexto.

En cuanto a la existencia de los posibles polítopos regulares en dimensión [texx]n[/texx] también es interesante, pero quizás sea más difícil, y me parece también que iría en un topic aparte de éste.

Saludos
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« Respuesta #15 : 24/05/2012, 02:27:03 pm »

Pedazo de topic, realmente interesante  Aplauso

Pronto, cuando termine la ronda de pruebas en la U, me vendré a dar unas vueltas. Genial!

Ok.

Aprovechando esta inesperada muestra de interés aprovecho para recordar que
existen muchas demostraciones de la fórmula de Euler para poliedros en 3 dimensiones.
Pero todas las pruebas que he visto requieren de algún supuesto que a veces es intuitivamente cierto, pero que no es directo cuando uno lo quiere formalizar.

La construcción que llevé a cabo intenta mantener un compromismo entre las dos cosas: que la demostración sea intuitiva, y que no haya huecos en la demostración, y más aún, que los resultados intermedios o previos sean todos simples, surgidos de hechos geométricos elementales.

No me acuerdo mucho de mis propias cuentas, pero creo que intenté usar geometría euclidiana pura, y el hecho de que es posible obtener sistemas de coordenadas y rectas o planos parametrizados, del mismo modo en que uno trabajaría en [texx]R^3[/texx].

Sospecho que lo que escribí se puede hacer más claro y simple aún, y sin perder formalismo.
Por ejemplo, diciendo que el espacio es simplemente [texx]R^3[/texx].
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« Respuesta #16 : 24/05/2012, 08:22:14 pm »

Lo que me interesa concretamente es saber cuáles son los polítopos regulares de dimensión n, y cuáles son las técnicas posibles para realizar la demostración.

Supongo que sabes cuántos hay. Por si no fuera así, aquí lo dice:

http://en.wikipedia.org/wiki/Regular_polytope

De momento no me he metido con polítopos de más de tres dimensiones, pero tenía pensado hacerlo más adelante.

Una cosa que me parece importante en este tema, es que a veces pareciera que hay gente que olvida que la fórmula de Euler no demuestra nada.

Hombre, nada, nada, no.

A veces da la sensación que la gente se queda contenta con decir: "la fórmula de Euler es lo que nos da los 5 polítopos regulares".

Y en realidad, como en toda problema matemático, hay que demostrar 2 cosas: existencia y unicidad.

Cierto.

La fórmula de Euler sólo nos resuelve la parte de la unicidad: en caso de haber poliedros regulares de 3 dimensiones, las únicas posibilidades son poliedros de 4, 6, 8, 12 y 20 caras.
Pero nunca nos asegura ese teorema que tales poliedros realmente existen.
Así que hay que proceder a realizar una construcción geométrica.

Cierto, pero si a eso lo llamas "nada", en realidad debo decirte que es "menos que nada", porque estás dando por obvio algo que no lo es: Admitamos que sólo puede haber poliedros regulares de 4, 6, 8, 12 y 20 caras. Admitamos que has construido geométricamente un ejemplo de cada uno. ¿Cómo sabes que no hay más? ¿Cómo sabes, por ejemplo, que con 20 caras triangulares iguales sólo puedes formar un poliedro regular? No es difícil probarlo, pero se puede probar algo más fino y menos obvio: sólo hay un poliedro convexo (salvo homotecia) formado por 20 triángulos equiláteros.

Más aún: sólo hay un poliedro convexo (salvo homotecia) formado por 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 o 20 triángulos equiláteros, y ningún otro número de caras es posible. ¿A que es curioso?

Sin embargo, contradiciéndome a mí mismo, en este topic me interesa solamente poder determinar cuáles son todas las posibilidades que nos permite una fórmula de Euler n-dimensional, y por supuesto, estudiar la demostración de tal fórmula en ese contexto.

No sé si conoces la fórmula general: el número de vértices menos el de aristas, más el de caras, menos el de "caras de dimensión 3" más el de "caras de dimensión 4" etc es igual a 2 en [texx]\mathbb R^n[/texx] con [texx]n[/texx] impar e igual a 0 si n es par.

En cuanto a la existencia de los posibles polítopos regulares en dimensión [texx]n[/texx] también es interesante, pero quizás sea más difícil, y me parece también que iría en un topic aparte de éste.

Como digo, no me he metido en eso de momento y no sé nada sobre el aspecto de la prueba.

Aprovechando esta inesperada muestra de interés aprovecho para recordar que
existen muchas demostraciones de la fórmula de Euler para poliedros en 3 dimensiones.
Pero todas las pruebas que he visto requieren de algún supuesto que a veces es intuitivamente cierto, pero que no es directo cuando uno lo quiere formalizar.

La construcción que llevé a cabo intenta mantener un compromismo entre las dos cosas: que la demostración sea intuitiva, y que no haya huecos en la demostración, y más aún, que los resultados intermedios o previos sean todos simples, surgidos de hechos geométricos elementales.

La he mirado por encima, lo suficiente como para hacerme una idea de la estrategia. He visto varias pruebas del teorema (la que presentas no la conocía). Por una parte están las que usan topología algebraica, que son conceptualmente simples, pero se puede filosofar mucho sobre si en realidad muestran "la explicación última" de por qué es cierta la fórmula de Euler o si, por el contrario, ocultan las ideas bajo un mero aparato matemático abstracto.

Por otro lado, a las pruebas como la que propones se les podría objetar que muestran unas cuentas que demuestran el teorema, pero no explican por qué esas cuentas funcionan y terminan cuadrando. Si me permites una comparación, es como la prueba de Euler del caso 3 del teorema de Fermat (pasando por alto su laguna corregible) su prueba son unas cuentas que funcionan, pero sólo se entiende por qué funcionan cuando uno entiende que el anillo [texx]\mathbb Z[\frac{1+\sqrt 3}2][/texx] tiene factorización única.

La cuestión es si las técnicas de topología algebraica para la fórmula de Euler son como las técnicas algebraicas sobre [texx]\mathbb Z[\frac{1+\sqrt 3}2][/texx] para el caso 3 del teorema de Fermat (que permiten entender por qué unos cálculos tediosos terminan cuadrando) o si, por el contrario, distorsionan la idea llevando la prueba a un contexto innecesariamente abstracto.

Mi opinión, sin pronunciarme sobre lo anterior, es que, tanto si la topología algebraica oscurece la demostración o proporciona su comprensión más profunda, hay demostraciones que son especialmente destacables por estar en el término medio: no dependen de ideas abstractas y muestran un argumento sencillo, intuitivo y fácil de recordar. Eso sí, dependen de un resultado intuitivo y nada fácil de probar: el teorema de la curva de Jordan. Mi opinión es que cualquier intento de evitar el uso del teorema de Jordan, o bien supone ir hacia la topología algebraica (y entonces es cuestionable si llegamos a algo más o menos ilustrativo) o bien supone "dar un rodeo" y sustituir una idea clara y natural por un montón de cuentas, tal vez elementales, pero que ocultan lo que realmente está pasando.

Por lo pronto, la primera idea que se oculta al tratar de evitar el teorema de Jordan es que lo importante para la fórmula de Euler no es que el poliedro sea convexo, sino que sea homeomorfo a una esfera. Lo esencial es que si formas un camino cerrado de aristas, con ello divides necesariamente las caras en dos partes disconexas, de modo que no puedes pasar de una cara de una parte a una cara de la otra parte sin cruzar el camino cerrado de aristas. Esa idea intuitiva es la base del teorema de Euler. No es fácil de demostrar con rigor, pero evitar ese hecho es evitar la idea central que, a mi juicio, explica por qué se cumple la fórmula de Euler en tres dimensiones.
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« Respuesta #17 : 24/05/2012, 10:25:39 pm »

Cita
Hombre, nada, nada, no.

Es cierto, fui muy exagerado.
Sólo quería resaltar el aspecto de "existencia".

La fórmula de Euler "acota" enormemente el problema.

________________

Cita
Cita
Lo que me interesa concretamente es saber cuáles son los polítopos regulares de dimensión n, y cuáles son las técnicas posibles para realizar la demostración.

Supongo que sabes cuántos hay. Por si no fuera así, aquí lo dice:

http://en.wikipedia.org/wiki/Regular_polytope

De momento no me he metido con polítopos de más de tres dimensiones, pero tenía pensado hacerlo más adelante.

En realidad no lo sabía, no sé si por distraído o qué.
Creía que sólo se conocía la existencia de polítopos del tipo tetra-, hexa-,octa-, para n = 5 en adelante.
Pero ahí dice que esos son los únicos casos posibles.
___________

En cuanto a las pruebas del Teorema de Euler, he visto de varios tipos: usando grafos, simetrías, áreas o volúmenes, entre otras técnicas.

Yo quería en realidad una prueba que me convenciera a mí, usando los elementos más simples y corrientes de la geometría 3-dimensional: planos, semiplanos, rectas, semirrectas, segmentos, un poco de independencia lineal de vectores, convexidad, polígonos... y nasa más.

No quiero menospreciar el aspecto de topología algebraica de la característica de Euler, que es un hecho notable e importante.
Pero también me da la sensación (digo "sensación" porque no hice ninguna cuenta), que la fórmula de Euley  tiene que ser cierta asumiendo relaciones geométricas mínimas: ciertos supuestos de ordenación e incidencia de aristas y vértices.

O sea, la teoría de grafos debiera bastar.

______

Cita
Por lo pronto, la primera idea que se oculta al tratar de evitar el teorema de Jordan es que lo importante para la fórmula de Euler no es que el poliedro sea convexo, sino que sea homeomorfo a una esfera. Lo esencial es que si formas un camino cerrado de aristas, con ello divides necesariamente las caras en dos partes disconexas, de modo que no puedes pasar de una cara de una parte a una cara de la otra parte sin cruzar el camino cerrado de aristas. Esa idea intuitiva es la base del teorema de Euler. No es fácil de demostrar con rigor, pero evitar ese hecho es evitar la idea central que, a mi juicio, explica por qué se cumple la fórmula de Euler en tres dimensiones.

Todas estas cuestiones son muy interesantes.

La prueba que hice yo satisface mis propios deseos de una formulación desde los elementos más básicos y elementales de la geometría euclidiana.

Pero entonces, si me decís que parece fundamental la cuestión de la curva de Jordan, entonces eso me hace dudar de si mi prueba está correcta.

¿Y qué pasa con las pruebas que sólo usan teoría de grafos?
La he estado buscando por internet, pero ahora no la encuentro.

De todas maneras esta discusión me está haciendo interesar en la topología algebraica, que es un área que ignoro casi por completo.

Saludos

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« Respuesta #18 : 25/05/2012, 01:17:58 am »

¿Y qué pasa con las pruebas que sólo usan teoría de grafos?
La he estado buscando por internet, pero ahora no la encuentro.

Por si te sirve el dato, la puedes encontrar en Grimaldi 3a. edición, pág. 564.
En línea

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Carlos Ivorra
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« Respuesta #19 : 25/05/2012, 05:56:52 am »

¿Y qué pasa con las pruebas que sólo usan teoría de grafos?

Las pruebas que "sólo" usan teoría de grafos usan el teorema de Jordan, diciéndolo o colándolo, pero lo usan. Imagina un poliedro con forma de toro. Con sus vértices y aristas también puedes formar un grafo que cumple las mismas propiedades locales de incidencia que el grafo de un poliedro convexo (porque mirando sólo un trozo de poliedro, no puedes saber si el poliedro total será homeomorfo a una esfera o a un toro) y, sin embargo, no cumple la fórmula de Euler, sino que ahí V - A + C = 0. Por lo tanto, sólo estudiando el grafo de vértices aristas y caras no es posible llegar a nada.

Bueno, pensándolo bien, igual dije algo demasiado general. Yo conozco una prueba basada en comparar dos grafos sobre una esfera en la que, al relacionar ambos, se usa el teorema de Jordan. Sin embargo, una variante de esa prueba (que es esencialmente de Cauchy), lo que se usa es que un grafo sobre una esfera se puede proyectar (esteroegráficamente) a un grafo sobre el plano (sin intersecciones de aristas) perdiendo únicamente una cara (cosa que es falsa para un grafo sobre un toro). Recuerdo que cuando comparé la prueba con la otra que digo, preferí la prueba sobre la esfera, y creo recordar que fue porque al final, si nos poníamos a detallar suficientemente, acabábamos usando igualmente el teorema de Jordan sobre el plano, y que para eso era más práctico quedarse en la esfera y ahorrarse los detalles de describir la proyección. Pero tal vez la existencia de la proyección estereográfica (que distingue a la esfera de otras superficies como el toro) pueda usarse como un ingrediente alternativo al teorema de Jordan. No estoy seguro.

Pero entonces, si me decís que parece fundamental la cuestión de la curva de Jordan, entonces eso me hace dudar de si mi prueba está correcta.

No tiene por qué ser así. El teorema de Jordan interviene a la hora de razonar en general sobre cualquier posible grafo de aristas de un poliedro homeomorfo a una esfera, pero tu prueba consiste en reducir un poliedro general a poliedros de una forma especialmente simple donde el cumplimiento de la fórmula de Euler se puede constatar "contando". En el fondo estos poliedros cumplen la fórmula porque también son homeomorfos a esferas, pero tú lo constatas contando y ya está, por lo que no necesitas ningún principio general sobre esferas, sea el teorema de Jordan, o la existencia de proyecciones estereográficas, etc.

De todas maneras esta discusión me está haciendo interesar en la topología algebraica, que es un área que ignoro casi por completo.

Tiene su encanto.

La prueba a la que hago referencia está en el pdf que puse aquí:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,55986.0.html

El pdf es muy chapucero. Lo ideal es bajarse el documento mathematica, pero justo para esa prueba no importa la diferencia más que por razones estéticas.
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