Construcción de los sistemas numéricos

[argentinator]

No siempre es fácil encontrar libros o textos en internet que sean completos y claros acerca de la construcción de los sistemas numéricos.
Hay retazos de esa teoría desperdigados por ahí, y a veces con un enfoque que no me parece acertado.

Por esa razón se me ocurrió que sería bueno dejar "a mano" en los foros del rincón matemático este thread, en el que se van a desarrollar todos los detalles necesarios para entender cómo se obtienen los sistemas numéricos.
Así quedarán disponibles estas propiedades y construcciones a la vista y alcance de todo el mundo, una referencia de la que todos podamos servirnos.

La introducción continúa en un hilo aparte, para mejor manejo del contenido y mejor carga de la página. El enlace es el siguiente:

C. Sist. Numéricos. Sección 0: Introducción

Nota:Este post es posterior a lo que había escrito en un principio, y posterior a algunas contestaciones y conversaciones que hubo en el thread. He hecho algunos arreglos y aclaraciones ayudándome de los comentarios recibidos, que me sirvieron para darme cuenta de qué cosas convenía agregar o modificar.
También hubo algunos cambios y agregados en la teoría de números naturales.

Como esto es un thread dentro de un foro, está abierto a comentarios y discusiones de todos los usuarios.
Espero que la gente no sea tímida y se anime a opinar o preguntar, y así me ayudan a dejar todo mucho más claro y exacto.
Deseo dejar una versión definitiva y sin cambios, pero por ahora, año 2010, estoy abierto a hacer modificaciones.


Detalles que podrían faltar o no: Hay muchas demostraciones que las he expuesta al máximo detalles, y en cambio hay algunas otras que las he pasado por alto, dejando al lector que complete los detalles. Esto es tramposo, porque sabemos que muy raramente el lector efectivamente completa los detalles. Los pasos que he omitido son, básicamente, aburridos, pero que cualquiera podría llevar a cabo si lo intenta.
Si alguien tiene interés en que se agregue o complete alguna prueba o paso faltante, puede solicitarlo posteando en este mismo thread, y vemos cómo se soluciona.


Índice.

Números Naturales
Números Enteros
Números Racionales
Números Reales (1ra parte: propiedades generales)
Números Reales (2da parte: construcción de modelos) (aún está en edición...)
Números Complejos (aún no hay nada, pronto habrá noticias...)
Temas Adicionales (aún no hay nada, pronto habrá noticias...)

[argentinator]

Índice N Z Q R⁽¹⁾ R⁽²⁾ C +


Sección 1. Números Naturales.

El sistema axiomático de los números naturales que suele darse es el de G. Peano.
Por eso, comenzaremos listando esos axiomas.

El sistema Axiomático de Peano considera tres objetos primitivos sujetos a los siguientes axiomas:

• es un conjunto no vacío.
• 1 es un elemento de .
• es una función con dominio , e imagen
• La función es inyectiva:
• Si es un subconjunto no vacío de , definido de tal forma que , y tal que para todo vale la implicación , entonces

La última propiedad es el famoso Principio de Inducción.

Ante todo, este principio está asociado directamente a la posibilidad de definir funciones a través de relaciones por recurrencia. Hay dos maneras de definir funciones de recurrencia, que si bien son similares, necesitan herramientas algo diferentes. A partir de los meros Axiomas de Peano, sólo podemos dar el enunciado de la primera de ellas.

Para ver detalles de esto, y demás información, pasar al sub-thread dedicado exclusivamente a los Números Naturales, en el siguiente enlace:

C. Sists. Numéricos. --- Sección 1: Números Naturales

Deseo agregar algunos modelos más, y también otras listas de postulados que conducen a teorías equivalentes de los números naturales. Sin embargo creo que será conveniente cerrar este post aquí, y estas inquietudes las he de desarrollar en el post de "Temas Adicionales".


Hasta la próxima 

[argentinator]

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Sección 2. Números Enteros

Para mejor carga de los contenidos de la página, y tener algo más de orden, se ha pasado el contenido de este post a un sub-thread aparte.

Para ver detalles de esto, y demás información, pasar al sub-thread dedicado exclusivamente a los Números Enteros, en el siguiente enlace:

C. Sists. Numéricos. --- Sección 2: Números Enteros

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Sección 3. Números Racionales

Para mejor carga de los contenidos de la página, y tener algo más de orden, se ha pasado el contenido de este post a un sub-thread aparte.

Para ver detalles de esto, y demás información, pasar al sub-thread dedicado exclusivamente a los Números Racionales, en el siguiente enlace:

C. Sists. Numéricos. --- Sección 3: Números Racionales

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Sección 4. Números Reales

La estrella principal de toda esta saga de sistemas numéricos es, sin duda, el de los números reales.
Constituyen ellos el lenguaje fundamental de la matemática moderna, sobretodo si pensamos en la matemática como herramienta aplicada a otras ciencias.

A lo largo de todo el post se dan definiciones, axiomas, teoremas y demostraciones, cuyos detalles se colocan la mayoría de las veces dentro de los "spoilers" (o desplegables).
Esto permite navegar a través del esqueleto general de la teoría, dejando los detalles intrincados para cuando a uno se le dé la gana mirarlos.

Aún así, sugiero a los lectores que vayan abriendo los desplegables, al menos para curiosear en los varios dibujillos que tanto trabajo  me ha costado confeccionar  , con la esperanza de que ciertas ideas "entren"  mejor en las distintas cabezas. 
Recomendación: Abrir sólo unos pocos spoilers a la vez. Si se abren muchos o todos, no se podrá visualizar el post en forma completa  debido a que es muy extenso.    

En los dos desplegables que siguen haremos divagaciones introductorias acerca de la necesidad de construir el sistema de los números reales, y daremos una idea de más o menos "hacia dónde" se apuntan los dardos, primero desde un punto de vista geométrico, y luego desde un punto de vista algebraico.

Para mejor carga de los contenidos de la página, y tener algo más de orden, se ha pasado el contenido de este post a un sub-thread aparte.

Para ver detalles de esto, y demás información, pasar al sub-thread dedicado exclusivamente a los Números Reales, en el siguiente enlace:

C. Sists. Numéricos. --- Sección 4: Números Reales

[argentinator]

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Números Reales (continuación)

Hasta ahora hemos desarrollado la Teoría Axiomática de los números reales.
Como siempre, hacemos la pregunta de si existe algún objeto matemático que satisfaga esos axiomas.
La respuesta es afirmativa, mas para ello es menester construir un modelo.

No contentos con eso, vamos a estudiar varios modelos distintos.
La mayoría de ellos se apoya en un sistema de números racionales a partir del cual se lleva a cabo una construcción de algún tipo.
Esto es viable, porque ya sabemos que existen sistemas que verifican los axiomas de los números racionales.
O sea que la construcción tiene sentido.

También tenemos el método de definir operaciones directamente sobre un alfabeto de dígitos.
En este caso no es necesario apoyarse en los números racionales, pero sí que será necesario utilizar la maquinaria de los números naturales, por cuanto se trabajará indefectiblemente con sucesiones.

Finalmente se puede demostrar la existencia de un sistema de números reales invocando al continuo de la línea recta euclidiana.
Vale decir, a partir de los axiomas geométricos es posible obtener un sistema de números reales.
Aquí puede suscitarse alguna discusión, ya que uno podría poner primero los axiomas de los números reales y sobre ellos construir la geometría euclidiana...
Así lo hacía Hilbert, debido a que era su manera de reducir el problema de la consistencia de los axiomas de la geometría al de probar la consistencia de los axiomas de los números reales.
Aún así, vale la pena establecer paralelos entre ambos tipos de conceptos, después de todo la idea de "continuo" tiene que ver directamente con la representación de los números en la línea recta euclidiana.

En cada desplegable llevamos a cabo una construcción de un modelo diferente de sistema números reales, y basta hacer clic para ver los detalles.

En todo lo que sigue, supondremos que tenemos disponible un sistema de números racionales , y denotaremos con y a sus correspondientes subsistemas de numeros naturales y números enteros.

Spoiler: Método de los intervalos encajados de números racionales (click para mostrar u ocultar)

Según el Teorema 3, parte (d), el axioma de la cota superior mínima de los números reales es equivalente a la propiedad de que al intersectar una sucesión decreciente de intervalos cerrados se obtiene un conjunto no vacío que es también un intervalo cerrado, o bien un solo punto.
Si tomáramos a los extremos de dichos intervalos de manera que su "distancia" tienda a 0, entonces el resultado sería necesariamente un solo punto.
Si los extremos de los intervalos fueran números racionales, se obtendría ahora como intersección un elemento de asociado a la sucesión de intervalos.

¿Qué pasa ahora si nos olvidamos por un momento del sistema de números reales, y nos quedamos sólo con los números racionales? Las sucesiones decrecientes de intervalos con extremos racionales no tendrán siempre algún punto en su intersección. Un ejemplo sería dada por , donde a_n es la aproximación con dígitos decimales del número (o de cualquier otro número que sepamos que es irracional, como o ).
Se tiene que para todo .
Además, como estamos pensando en aproximaciones con dígitos, tenemos que , y esto prueba que
Esto muestra que la sucesión es decreciente: , todo .
Al tomar la intersección, nos dará vacía, porque estamos trabajando sólo con números racionales.
En donde debiera haber un número raal hay ahora un "hueco".
Como no tenemos punto alguno en la intersección, ¿cómo sabremos cuál es el número real correspondiente, si es que hay alguno?.
Bueno, el truco consiste simplemente en decir que "la sucesión misma define un número real".
En efecto, lo único concreto que tenemos es la sucesión de intervalos decrecientes, y procuraremos que ella se identifique con ese "hueco" que necesitamos "llenar" con un número real.

Claro que, para estar seguros de todo esto, debiéramos haber explicado antes la representación por dígitos de los números reales.
Esto lo haremos más adelante, y nos conformamos aquí con estos pocos comentarios más o menos intuitivos, basados en una presunta experiencia del lector.

Vayamos pues a la construcción formal.


Definición. Sea una sucesión decreciente de intervalos cerrados , donde . Por ser "encajados" tenemos que , todo .Supongamos además que . Bajo estas condiciones decimos que es una sucesión encajada de intervalos racionales.

Observación: En la operación de límite de la definición anterior se debe tener en cuenta el sistema en el que se está trabajando, concretamente, el de números racionales. Recordemos que el límite de una sucesión debe satisfacer que para todo en el cuerpo considerado, debe cumplirse que existe tal que implica .
Tanto los elementos de la sucesión como los valores de considerados, han de ser todos elementos de , o sea, números racionales.
La sutileza en esto es que, cuando uno considera distintos cuerpos, quizá sumergidos unos en otros, si uno da una definición de límite con valores de restringidos a cuerpos más chicos, puede que se obtengan sucesiones convergentes, mientras ya dejarían de converger si se hace variar en un cuerpo más grande.

Como estamos pensando en identificar números reales con sucesiones encajadas, podríamos quizá parar acá y definir como el conjunto de todas esas sucesiones.
Pero esto sería un error. Veamos por qué. Supongamos que ya hemos construido el sistema de números reales.
Consideremos dos sucesiones encajadas distintas de intervalos de extremos racionales. ¿Pueden ellas "converger" al mismo punto? La respuesta es afirmativa, y esto muestra que, en realidad, la clase de las sucesiones encajadas es demasiado numerosa.

Para lograr trabajar con "menos" objetos, vamos a introducir una relación de equivalencia, de modo que si dos sucesiones encajadas "convergen" al mismo punto geométrico en la recta de números reales, entonces ambas se consideran equivalentes.
¿Pero cómo vamos a saber si convergen al mismo número real, si el sistema de números reales aún no lo hemos construido, sino que estamos tratando de construirlo justamente con estos extraños objetos?

La clave está en pedirle a las sucesiones encajadas de intervalos una propiedad adecuada, que haga el trabajo que esperamos que haga.
La idea es que si dos sucesiones encajadas permanecen siempre "entrelazadas", entonces "convergen" al mismo "hueco", y por lo tanto definirán, algún día, el mismo número real.

Decimos que dos sucesiones encajadas de intervalos con extremos racionales son equivalentes, y lo denotamos si se cumple la siguiente condición:

Para todo , existe tal que y además

(Texto en revisión...)

Spoiler: Método de los sucesiones crecientes acotadas de números racionales (click para mostrar u ocultar)

Spoiler: Método de los cortaduras de Dedekind (click para mostrar u ocultar)

Spoiler: Método de la completación métrica en el sentido de Cauchy (click para mostrar u ocultar)

Spoiler: Método de sucesiones formadas con un alfabeto finito de dígitos (click para mostrar u ocultar)

Spoiler: Método de coordenadas en la línea recta euclidiana (click para mostrar u ocultar)

[argentinator]

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Números Complejos

(Pronto...)

[argentinator]

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(...)

[Jabato]

Has elegído el método axiomático para definir los sistemas numéricos, y yo personalemente prefiero otro método.

Por ejemplo definir número natural como la clase de todos los conjuntos finitos biyectivos, aparte de ser mucho más simple es mas intuitivo.

Definir los números enteros como clases de pares ordenados de númeo naturales es básico, con la archiconocida relación de equivalencia:

Y definir los racionales como clases de ternas ordenadas de naturales raya casi lo elemental, con la relación de equivalencia:

Definiéndose las operaciones suma y producto de naturales por el método clasico de iterar la operación siguiente para la suma e iterar la operación suma para el producto (e incluso definir la operación potencia como la iteración del producto) y la operaciones suma y producto de enteros y racionales en base a la suma y producto de naturales.

Todas sus propiedades, incluido el orden que presentan, se deducen facilmente de estas definiciones y a lo sumo de los axiomas de la T.C., ¿no sería mejor utilizar este enfoque en lugar de un conjunto de axiomas independientes para cada tipo de número?

Mi opinión es que una teoría matemática es tanto más deseable cuanto menor sea el número de axiomas que contiene.

Saludos, Jabato.

[argentinator]

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No se trata de que "elegí" ese método, sino que opino que es el método correcto.

Fiajte que dos personas distintas podrían "construir" los números enteros, por ejemplo, con dos métodos diferentes.
Ambas personas podrían argüir que "su" método define el concepto de número entero.
¿A quién le doy la razón?
Una cosa que habría que comprobar, por ejemplo, es que los métodos de estas dos personas conducen a estructuras que tienen las mismas propiedades, o sea, hay un "isomorfismo".
Pero entonces, lo que estamos haciendo es reconocer que en el fondo hay una estructura común, un concepto de número entero que toda "construcción" debe cumplir.

Porque si no, ¿cuáles son las propiedades específicas de los números enteros?
Si tomo como "definición" de entero a las clases de equivalencia de pares ordenados de naturales, un número entero es una clase de equivalencia, y por tanto, un número entero sería un conjunto con ciertos elementos.
Las propiedades de ese número entero incluirían ciertas propiedades de la teoría de conjuntos, como por ejemplo, que algunos elementos sean a su vez conjuntos, y entonces uno podría demostrar relaciones extrañas entre los "números enteros", hablando de pertenencias, inclusiones, uniones.... cosas que nada tienen que ver con la noción que uno tiene de número entero.

Un número entero es algo que "tiene que funcionar de cierto modo".
Esa manera de funcionar ha de ser independiente de la manera en que se los construya.

La construcción conocida de las "clases de equivalencia de pares de naturales", resulta que sólo es "una de tantas" maneras de construir un sistema de números enteros.

También podría usar esta construcción: .
Los pares ordenados serían los enteros negativos, y los pares serían los enteros positivos.
Luego bastaría definir adecuadamente la suma, el producto, y el orden en Z, y tengo un sistema de enteros.
¿O acaso no puedo?
¿Y por qué no sería preferible este método al de las clases de equivalencia de pares de N?

También puedo definir los enteros a través de la geometría de la línea recta: tomo una línea recta en el espacio geométrico euclidiano, tomo un segmento fijo OU, y lo traslado a izquierda y derecha, infinitas veces.
Ese conjunto de puntos, con el orden que tiene la línea recta, tiene una estructura análoga a la de los números enteros, y pueden definirse sin problemas las operaciones de suma y producto ahí, etc.

Y te doy un ejemplo aún más corriente, y que aparece indefectiblemente al trabajar con números.
Supongamos que has construido los racionales con el método que más te guste.
Ese sistema tiene un subconjunto que satisface las propiedades de los números enteros.
Pero ese sistema "es totalmente diferente" de "las clases de equivalencia de pares de naturales".
O sea, ambos conjuntos tienen elementos que son cosas muy distintas...
¿Con qué derecho digo entonces que hay en Q un subconjunto de "enteros"?
¿Qué propiedades tiene ese subconjunto de Q que lo hacen un sistema de enteros?
¿Es isomorfo a quién?
Y si es isomorfo... debo decir qué tipo de isomorfismo se trata, o sea, ¿qué propiedades espero que el isomorfismo conserve? Porque los isomorfismos no son algo libre, sino que hay qué decir de qué tipo es: isomorfismo de anillos, de cuerpos, de sistemas ordenados, topológicos... de lo que sea... (en este caso, las propiedades de un sistema de entero, que al parecer se trata de anillos ordenados con cierta propiedad de buena ordenación)

En algún momento tengo que reconocer que necesito una lista de propiedades comunes a todos los sistemas de enteros, y es ahí donde las pongo en un sistema axiomático.


Además, es necesario probar que todos los sistemas de enteros que yo vaya a obtener, son "en esencia el mismo", o sea, no puede ser que haya ambigüedad en el significado de sistema de números enteros.
Para eso debo ponerme de acuerdo en qué propiedades comunes a esos sistemas considero que definen la estructura de número entero.
Y hay por ahí un Teorema en el que he demostrado que todos los sistemas que satisfacen los axiomas 1, 2, 3 y 4 que he dado para los enteros, son isomorfos entre sí en el sentido de conservar esos axiomas. No hay lugar a ambigüedad.

Si no te convencen los enteros, entonces podemos ir a los números reales, que todavía los debo...
Puedo construir los números reales a partir de 5 métodos diferentes o más.
¿Por qué esos sistemas puedo considerarlos "equivalentes"?
La única manera de decir que todos ellos conducen al mismo concepto es mediante un sistema axiomático.


Pero ahora hay otra cuestión importante.
El "método axiomático" es parte necesaria de la teoría, pero no es suficiente.

Una lista de axiomas no alcanza para "definir" el concepto de, por ejemplo, números enteros.
¿Por qué?
Porque podría pasar que no haya sistema matemático alguno que cumpla con una cierta lista de Axiomas.
Tengo que demostrar que existe algún sistema que sí la cumpla.

Y entonces es ahí donde viene esa construcción que te cae tan simpática de los pares ordenados de naturales...

Esa construcción es necesaria, porque constituye al menos un ejemplo, o sea, un modelo que verifica los axiomas.
Podrían haber muchos modelos más, pero exhibir al menos un modelo es necesario para que una teoría no sea inconsistente.


Así que, resumiendo, tanto el sistema axiomático como las construcciones "a mano" de los distintos sistemas de números, son necesarias para que la teoría de cada sistema de números esté completa, correcta, y que no tenga huecos o ambigüedades matemáticamente hablando.

Es por eso que doy las dos cosas.

Además, si te fijás, en el post de números enteros, en la mitad inferior está esa construcción de los pares de naturales.


En cuanto a la definición de racionales que das con ternas ordenadas de naturales... no es la estándar.
La que se suele dar es otra.
¿Y entonces por qué estás seguro de que tu construcción conduce a "un sistema correcto de racionales"?
¿Basado en qué criterio?
¿Qué es un "sistema de racionales", de tal forma que tu construcción o cualquier otra se pueda considerar válida?
¿Qué propiedades han de cumplir...? Respuesta: Los Axiomas 1, 2, 3 y 4 del post de los racionales.


Editado: Lo que sigue podría obviarse, ya que he modificado el post de números naturales agregando los detalles que faltaban.

En cuanto a los números naturales, es cierto que me contradigo conmigo mismo, porque sólo he puesto los Axiomas.
He demostrado que todos los sistemas de naturales posibles son equivalentes.
Pero no he dado ningún modelo de sistema de números naturales.

A lo mejor agregue un comentario sobre ello, pero no voy a ponerme en detalles, porque eso es algo que tiene más bien que ver con la teoría de conjuntos. Creo que me alejaría demasiado del tema.
Por lo general se suele partir del sistema de los números naturales, sin mucho protocolo, y a partir de ahí se construyen o edifican los demás sistemas de números.

O sea, si uno puede aceptar que tiene en alguna parte a los números naturales, lo demás puede construirse.
Pero hay en torno a los números naturales muchas cuestiones filosóficas y teóricas intrincadas de diverso tipo que no quiero mezclar en todo esto.
Y por eso lo voy a dejar un poco "playo".

De todas maneras, hay muchas maneras de construir "números naturales".
Basta con saber que hay alguna forma.

El método que te gusta, de las clases de todos los finitos biyectivos... tiene el problema de que el conjunto de los naturales tendría como elementos a "clases que no son conjuntos".
Eso provoca que uno tenga que ser excesivamente cuidadoso con el tratamiento que les da a esos objetos.

Por eso puede ser más preferible usar la lista de conjuntos típica siguiente:

, etc.,.

Cada elemento es un "conjunto" y no una clase propia, y eso nos deja en terreno más "seguro" cuando se hacen demostraciones.
Para que esa lista de elementos sea un "conjunto" hay que exigirlo mediante uno de los "axiomas" de la teoría de conjuntos,
Así que un modelo o ejemplo de sistema de naturales existe por "decreto", es un Axioma matemático.

Si no se acepta eso... es porque uno es un intuicionista, y todo lo demás se va al diablo.

[argentinator]

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Lo que quiero decir, en definitiva, es que en algún texto los autores hablan del "método axiomático" como si fuera un "método" más entre aquellos tantos posibles "métodos de construcción de sistemas de números".

Yo opino que eso es didácticamente incorrecto, y también matemáticamente flojo.
La relación entre el sistema de axiomas de un tipo de números y los diferentes "métodos de construcción" es que esos "métodos" conducen a meros ejemplos o casos particulares del sistema axiomático.

A su vez, el sistema axiomático por sí mismo no construye nada.
Es un error pensar, decir o enseñar que es un "método de construcción".
Se requiere que haya un modelo (un ejemplo "construido") para dicho sistema de axiomas, porque si no, se trata de Axiomas de una teoría vacía.

[Jabato]

Bueno, la verdad es que tus argumentos resultan bastante abrumadores, aunque no estoy de acuerdo con algunas de tus apreciaciones:

1ª.- Los números naturales serían clases de equivalencia, los enteros también y los racionales también, y no es dificil demostrar que hay isomorfismo entre los naturales y un subconjunto de los racionales, ó entre los enteros y un subconjunto de los racionales, etc.

2º Entiendo que de todas las propiedades que satisfarían estas clases de equivalencia debe decidirse cuales son las que carácterizan a los sistemas numéricos, y en ese caso si quizás fueran necesarios los axiomas, ahora bién te acepto el argumento si me sabes poner al menos un ejemplo de una propiedad que satisfagan estas clases de equivalencia y que no satisfagan los números correspondientes, lo que demostraría que efectivamente es necesario el filtro de los axiomas.

Saludos, Jabato.

[argentinator]

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A ver...

Un número entero positivo está formado por la clase , cuando viene por la parte de "la construcción".

Cuanto se habla del racional entero positivo , se trata de la clase .

Ahora considero la suma de pares ordenados .

Tengo que , lo cual es un elemento de la clase que define el entero "por construcción" .

Por otro lado, tengo que , lo cual es un elemento de la clase que define el entero "via racionales" .

En ambos casos, la operación está bien definida entre clases de equivalencia, porque el resultado que me da pertenece a una clase de equivalencia determinada, y así puede redefinirla como una operación entre esas clases.
En un caso, obtuve ,
y en el otro caso obtuve .

Son dos resultados diferentes para una misma operación entre las clases, vistas como conjuntos.


Pero más allá de ese ejemplo (que a mí tampoco me convence demasiado...  ),
el hecho de que las clases que definen el entero positivo sean simplemente diferentes en ambas situaciones: y ,
ya alcanza para notar que se trata de objetos matemáticos diferentes, y que para identificarlos no hay más remedio que poner una lista de propiedades comunes que deben cumplir.

Si no, ¿cómo sé yo que ambos sistemas definen correctamente al entero , aún siendo tan diferentes?
¿Qué criterio uso?     

no es dificil demostrar que hay isomorfismo entre los naturales y un subconjunto de los racionales, ó entre los enteros y un subconjunto de los racionales, etc.

Ahora soy yo el que se pone exigente, y te aceptaría esto si me dijeras qué tipo de isomorfismo estás poniendo entre, por ejemplo, un subconjunto de los racionales y los enteros.
¿A qué le llamás isomorfismo?

Hay muchos isomorfismos: de grupo, de anillo, de espacio vectorial, de relaciones de orden, de espacios topológicos.

¿De qué tipo ha de ser el isomorfismo en el caso de, por ejemplo, un subconjunto de enteros de Q y los enteros Z "construidos"?
¿En qué momento puedo decir: "he probado todas las propiedades que me dicen que efectivamente tengo un isomorfismo"?

Y si tengo un anillo ordenado tal que todos sus subconjuntos acotados inferiormente están bien ordenados.
¿Puedo tratarlos como números enteros? ¿Hay isomorfismo con los enteros? ¿No es eso un sistema de números enteros?
¿Adónde empieza el ovillo?

(Lo que está en azul es la versión resumida del sistema de axiomas 1, 2, 3 y 4,  ).

[Jabato]

La operación de suma via racionales no es correcta, ya te he comentado que los racionales son clases de equivalencia de , así que tu operación no es correcta. Si quieres luego la analizamos más despacio pero creo que el concepto de racional has usado no coincide con el mío.

Por otro lado bastaría considerar la biyección entre los enteros y los racionales para tener el isomorfismo creado, ¿ó no?

La operación suma vía racionales sería así:

Saludos, Jabato.

[argentinator]

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Las ternas ordenadas son algo que nunca he visto.
La construcción que yo uso, que está en "mi" post de números racionales, es la forma estándar, o sea, la que aparece en todos los textos. Por eso la uso.

Es cierto que se pueden usar otras construcciones, pero entonces, ¿por qué preferir la tuya que usa ternas en N? ¿Por qué tus clases de ternas "son" los números racionales?

[Jabato]

Yo no descarto en absoluto tu forma de hacerlo, es tan válida como la mía supongo (ó incluso según tu opinión la tuya es la correcta, bien), y hay más formas de hacerlo imagino. Ahora bien ya te indiqué que planteando el asunto en la forma que yo lo hago no hacen falta axiómas ya que todas las propiedades se deducen de una simple definición y esa para mi es la única ventaja que presenta mi método. No existen verdades indiscutibles ya que eso es al fin y al cabo lo que es un axioma, sino que todo se realiza a traves de una simple definición y unas propiedades que son consecuencia de ella. Esa es la razón de que yo prefiera esa forma, y si acaso el hecho de la homogeneidad de poder definir los enteros como pares y los racionales como ternas de números naturales.

¿Porque debemos hacerlo en esa forma? Pues no es obligatorio claro está, pero reducir el número de axiomas necesarios siempre deberíamos considerarlo como una mejora de la teoría, ¿no te parece? De ahí mi propuesta.

Saludos, Jabato.

[argentinator]

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Yo no descarto en absoluto tu forma de hacerlo, es tan válida como la mía supongo (ó incluso según tu opinión la tuya es la correcta, bien),

Yo no dije que mi forma es la correcta...
Las construcciones de racionales no son ningunas mejores que otras, ya sea con pares o con ternas, o con puntos en una recta euclidiana...

Esa es la cuestión, no hay una manera más correcta que otra de "construir" los racionales.

Además, ¿por qué tu forma de ternas "son" números racionales? ¿Por qué mi forma de pares ordenados "son" también números racionales?
¿Por qué todas las formas posibles "son" números racionales?

¿Por qué estás tan seguro de que unas formas u otras "son" números racionales si nunca has definido el concepto de lo que significa "ser un número racional"?

La gente suele usar el formato de pares ordenados para introducir los racionales, porque es el más natural, viendo a un racional como un cociente de enteros, y no como una cierta "terna".
La forma de pares es "más estándar", y no lo digo para defenderme a mí, que no soy "hincha" de los pares ordenados, ni de ninguna otra construcción, sino que si te vas a salir de lo "estándar" entonces tendrás que convencer a todo un mundo de por qué es mejor tu "definición" de números racionales.

Lo que digo es que ninguna construcción particular de números racionales puede tomarse como "definición" del concepto de número racional.

Porque así como todo el mundo define alegremente esos pares ordenados, y vos has definido otra cosa distinta, en base a ternas, todo el mundo puede dar su versión.

La versión de pares ordenados tiene la misma virtud que tus ternas: "en principio no agregan nuevos axiomas que parecen accesorios".
Y luego funcionan igual que cualquier sistema de racionales. ¿Cuál de los dos tengo que elegir yo? ¿Cuáles son las propiedades de los racionales con las que puedo trabajar aritméticamente? ¿Qué es la aritmética de racionales? ¿En qué momento deja de ser aritmética las operaciones que yo esté haciendo con esos objetos, clases o lo que sea?

Ninguna construcción, ni la de pares ordenados, ni la de ternas, tiene una "intuición" de número racional adecuada.
Todas son inventos extraños.
No veo motivo para preferir alguna.

Sin la lista de propiedades, no veo que haya una forma "uniforme" de establecer qué es un sistema de números racionales, por ejemplo.

Y además, como ya dije, aún si definimos el concepto por axiomas, eso no sirve tampoco, porque puede ser un concepto vacío, así que hay que agregar una construcción, para demostrar existencia.

Los Axiomas no son un "agregado innecesario". Las propiedades que se listan en los axiomas las cumplen todos los ejemplos "constuidos" de racionales. Por lo tanto, son en realidad las "propiedades mínimas" que todos esos sistemas cumplen.

En todo caso, los "agregados innecesarios" son las características peculiares de cada "construcción particular".


En cuanto al isomorfismo, lo honesto matemáticamente es preguntar ¿isomorfismo de qué?
La aplicación es una función biyectiva... ¿pero por qué es un isomorfismo? ¿Lo es? ¿Qué es lo que lo convierte en un isomorfismo?

Es un isomorfismo entre "anillos ordenados con buena ordenación de conjuntos inferiormente acotados".
Pero ser un "anillos ordenados con buena ordenación de conjuntos inferiormente acotados" es lo mismo que satisfacer los Axiomas 1, 2, 3 y 4 (anillo: axioma 1, ordenado: axiomas 2 y 4, buena ordenación: axioma 3).

Los axiomas están, aunque no queramos, porque "se cumplen".

Creo que la confusión viene porque todavía estás pensando que estoy "construyendo" los racionales a través de axiomas.
Y eso no es así.
Estoy definiendo el concepto de racionales por axiomas, pero lo que se dice "construir" es con mis pares o tus ternas, o lo que sea.


Los Axiomas no son "innecesarios". Son lo que define el concepto de número entero, racional, real, el que fuere.

[argentinator]

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No existen verdades indiscutibles ya que eso es al fin y al cabo lo que es un axioma

Bueno, pero los Axiomas matemáticos no se deben tomar así, con esa carga emocional o filosófica.

Una lista de axiomas es lo mismo que una lista de propiedades, o de teoremas... Se cumplen o no.
Hay que tomarlos como los Axiomas de Grupo o de Anillo, o de Espacio Vectorial.
Solamente es una lista de propiedades generales de una estructura común a varios casos específicos.
Los sistemas de Axiomas son ahora una herramienta que permite demostrar hechos de índole general, evitando tener que repetir los mismos argumentos cada vez que se repite la misma estructura.

No es ya algo "fatalista" del tipo "verdad indiscutible".

¿O acaso los axiomas de grupo te parecen una "verdad decretada" a la que hay que inclinarse sin discusión?
No es esa la función de la teoría de grupos, sino aislar las propiedades comunes a varios sistemas.

Lo mismo pasa con los axiomas de "sistema de números enteros", por poner un ejemplo. Es una estructura de anillo, aunque con más propiedades que un anillo: tiene además un orden y satisface una propiedad adicional de "buena ordenación".

La diferencia entre los axiomas de grupo, y los de "sistema de enteros", es que dos grupos cualesquiera no son isomorfos (en el sentido de isomorfismo de grupos), salvo por mera casualidad. No importa que satisfagan los mismos axiomas de grupo, no hay isomorfismo (en general).

En cambio, dos sistemas que cumplan las propiedades de los enteros, siempre son isomorfos (en el sentido de "isomorfismo de sistemas de enteros").
Eso es lo que hace a los números una herramienta tan útil (sospecho).


Los Axiomas del tipo "verdad indiscutible" podrían ser los del tipo "fundacional" de la matemática, o sea, los axiomas de la lógica y la teoría de conjuntos.
Pero resulta que... en el fondo uno podría discutir estos axiomas y tratarlos como a cualquier sistema matemático.
Pero "tocar" esas reglas es más difícil, porque la gente no se anima...

[argentinator]

Índice N Z Q R⁽¹⁾ R⁽²⁾ C +

las propiedades se deducen de una simple definición y esa para mi es la única ventaja que presenta mi método

Como siempre, debo preguntar, ¿a cuáles propiedades te estás refiriendo? ¿No serán esas que puse en los axiomas, mmm,  ?

Como sea, hasta hace poco (días) tenía una visión de los números similar a la tuya, digamos, constructivista, y no me simpatizaban los axiomas.
Pero cuando me puse a escribir todo esto acerca de los sistemas de números me di cuenta de que estaba haciendo agua en alguna parte. No era sólido lo que estaba escribiendo, matemáticamente hablando.
Así que terminé cambiando mi postura a la que defiendo actualmente, y que se refleja en la manera que he trabajado en los posts anteriores:

• Definir un concepto básico a través de propiedades comunes: los axiomas.
• Demostrar existencia: a través de alguna de las construcciones típicas.
• Demostrar unicidad: a través de un teorema que afirma que todos los sistemas con tales y tales axiomas, son "el mismo".

Creo que este "enfoque" es matemáticamente consistente, porque determina el concepto de número sin ambigüedades, ni omisiones.

Dejar sólo una "construcción" no me define bien el concepto de número entero o racional o real.
Dejar sólo "axiomas" no me demuestra que tiene sentido aquello de lo que estoy hablando.
Si uso los dos, necesito saber que puedo usar los números en forma consistente en todo contexto, sin importar cómo los represente: esa es la unicidad.

Esos tres ingredientes son los que, a mi juicio, deben estar en toda teoría que pretenda desarrollar en forma matemáticamente válida el concepto de número, que es una herramienta básica y general. No puede ser algo anecdótico (una construcción), ni un supuesto indefinido que no se sabe si es inconsistente (axiomas), ni posiblemente ambiguo (unicidad).

Además, el cuarto ingrediente presente en los desarrollos es, naturalmente la propiedad de que cada nuevo sistema de números contiene a los anteriores como un "subsistema", al menos vía isomorfismo.

Para la teoría de números reales, que aún no he terminado, hay mucho que decir, porque la "continuidad" que les caracteriza se puede definir de varias maneras diferentes. Es una propiedad que se explica desde muchos puntos de vista distintos, y en análisis avanzado todas esas formas son útiles y necesarias.
Así que me tomé un trabajo adicional para estudiar a fondo dicha propiedad.

Faltan los complejos, que tienen también sus "cosillas" intrincadas. (cerradura algebraica  )

[Jabato]

Ya entiendo tu postura, creo. Lo que se está diciendo con los axiomas es que cualquier conjunto que satisfaga esas propiedades (los axiomas) puede ser utilizado como sistema numérico, da igual que los elementos del conjunto sean pares de naturales, pares de enteros, ternas de naturales, polinomios ó matrices. Eso es lo de menos, lo importante es que se satisfagan todas esa propiedades ¿Es eso?

En cualquier caso aún me quedaría una bala en la recámara, y la usaré. Puedo aceptarte que para la definición de los números naturales sea necesario una definición axiomática, por los motivos ya comentados, pero los enteros y los racionales son estructuras numéricas que se construyen a partir de los naturales, y todas sus propiedades se deducen a partir de las de estos últimos y de como se definen dichas estructuras. ¿Son necesarios los axiomas en estos dos casos? Si yo acepto que los enteros son un par de naturales y los racionales una terna de naturales (también es posible representarlos como un par natural, entero), entonces todas sus propiedades son perfectamente deducibles sin acudir a la axiomática. ¿Para qué entonces los axiomas en estos dos casos? Incluso creo que el mismo argumento es extrapolable al caso de los reales y de los complejos.

Saludos, Jabato.