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minette
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« : 17/07/2009, 12:55:23 pm » |
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¿Alguien me puede demostrar que  no puede ser un cuadrado perfecto? t es un entero positivo. Saludos. |
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coquejj
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« Respuesta #1 : 17/07/2009, 01:40:59 pm » |
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Trabajando módulo 4: -1 no es residuo cuadrático módulo 4, por lo que un número de la forma  no puede ser un cuadrado perfecto. |
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Teón
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« Respuesta #2 : 19/07/2009, 05:48:53 pm » |
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Hola Minette Otra forma de verlo, un poco más larga pero bastante básica, es teniendo en cuenta que cualquier  , se lo podrá representar de alguna de las siguientes maneras  además se tiene  Con lo que queda demostrado  Saludos. P.S. Según mi opinión, este tema debió haber sido ubicado en teoría de números. |
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Non credo quia absurdum est.
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minette
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« Respuesta #3 : 20/07/2009, 05:11:05 am » |
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A coquejj y Teón Gracias por vuestras respuestas. He de pediros perdón por dos motivos. En primer lugar deciros mi equivocación; al transcribir al foro la cuestión me olvidé de un 3. Entonces la demostración de no poder ser cuadrado perfecto se refiere a  En segundo lugar, pediros perdón por mi retraso en aclararlo. He estado el fin de semana fuera sin acceso a Internet. Saludos. |
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coquejj
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« Respuesta #4 : 20/07/2009, 09:01:39 am » |
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En ese caso, observa: Si  |
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minette
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« Respuesta #5 : 20/07/2009, 11:29:57 am » |
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A Coquejj
Si t > 1 ¿es posible el cuadrado perfecto?
Saludos.
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minette
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« Respuesta #7 : 21/07/2009, 07:41:07 am » |
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A topo23 Gracias por tu respuesta 6.   = entero positivo  si = par  = no entero Dado que si = par la curva  no tiene soluciones enteras para t, ¿las puede tener si c es impar? ¿podría no tener ninguna? Saludos. |
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el_manco
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« Respuesta #8 : 21/07/2009, 07:58:45 am » |
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Hola A uno le apetece ir a leer sobre la teoría de curvas elípticas para responder a tu pregunta (como sugirió topo23). Con razonamientos simples no se me ocurre una forma de resovler esa ecuación. Hago esta aclaración porque si esto sigue estando relacionado con Fermat de grado  , ir a curvas elípticas es usar artillería pesada, cosa muy respetable y hasta recomnedable, pero creo, lejos de tus objetivos. Saludos. |
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topo23
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« Respuesta #9 : 21/07/2009, 08:02:00 pm » |
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No dices cual es el motivo de tu pregunta, y entonces es difícil tratar de ayudarte adecuadamente. Tratar de resolver la ecuación con curvas elípticas es una forma conocida pero bastante engorrosa, intentar resolverla por medios "mas" simples tampoco parece fácil. Tal vez te interese el método para encontrar soluciones, o solamente saber cuantas soluciones tiene, o encontrar el valor preciso de dichas soluciones.
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minette
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« Respuesta #10 : 22/07/2009, 01:51:14 pm » |
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A topo23 Mi pregunta está relacionada con la desigualdad  . He iniciado este hilo siguiendo las indicaciones de el_manco. El hilo Euler se ha hecho muy largo y farragoso. No tengo ni idea de curvas elípticas y, desde luego, como dice el_mano están lejos de mis objetivos. La respuesta a mi pregunta la tengo muy clara: NO EXISTE ningún valor de t, entero positivo, que satisfaga la igualdad pero, para esta respuesta me baso en Fermat. Por eso trato de encontrar una demostración sin salirme de los enteros positivos. La cual cosa no hizo Gauss en su demostración de . Saludos. |
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minette
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« Respuesta #11 : 24/07/2009, 07:53:15 am » |
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El hecho de no haber recibido ningún contraejemplo de el_manco y su ordenador a mi afirmación contenida en la respuesta 10 anterior es casi una garantía de que es cierta. Pero vayamos por partes. Es elemental ver que en la presunta igualdad  para que sea posible, t no puede ser múltiplo de 3 Mi labor de investigación encontrando los valores de  ; no múltiplo de 3, tales que  sí sea múltiplo de 3 me lleva a esta progresión aritmética de razón 3: 4, 7, 10, 13, 16.... el término  Sustituyendo  en el primer miembro de la presunta igualdad se llega a    El primer miembro ha de ser múltiplo de  . Ahora bien como  y  son dos pares consecutivos, los dos no pueden ser múltiplos de 6; o no lo es ninguno o lo es uno de ellos. Si ninguno es múltiplo de 6 no múltiplo de  Si uno de ellos es múltiplo de 6, el corchete que lo sea será múltiplo de 6 pero no de . Para que esto ocurra n ha de ser múltiplo de 6 pero entonces aumentará el grado de la potencia 6 de  y no se conseguirá nunca la igualdad. Y esto seguirá ocurriendo aunque el corchete sea múltiplo de   Saludos. |
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el_manco
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« Respuesta #12 : 24/07/2009, 08:06:54 am » |
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Hola Esto último es falso: Si uno de ellos es múltiplo de 6, el corchete que lo sea será múltiplo de 6 pero no de . Para que esto ocurra n ha de ser múltiplo de 6 pero entonces aumentará el grado de la potencia 6 de y no se conseguirá nunca la igualdad. Y esto seguirá ocurriendo aunque el corchete sea múltiplo de  puede ser múltiplo de  si necesidad de que  sea mútiplo de  . Para cualquier valor de no múltiplo de seis y cualquier entero  basta tomar:  Saludos. |
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minette
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« Respuesta #13 : 28/07/2009, 08:13:11 am » |
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Si en la presunta igualdad  tomamos  :  ;  ;  ;  no entero Igualando  a  ;  ;  ; y  y dando a  el factor mayor obtenemos la misma conclusión:   no entero    par    no entero    no entero  He hecho esta descomposición para preguntaros: si es primo mayor de 3 ¿está demostrada la desigualdad?. |
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el_manco
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« Respuesta #14 : 28/07/2009, 08:24:44 am » |
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Hola Si está demostrada...¿qué desigualdad?. ¿Demostrada por ti con ese argumento o demostrada por alguien?. Lo que has comprobado es que la ecuación: no tiene soluciones enteras para  . Y de momento no veo que se saque ninguna otra conclusión de lo hecho. Saludos. |
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minette
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« Respuesta #15 : 29/07/2009, 06:30:40 am » |
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Hola (1)   (2)  Supongamos que el corchete (2) es múltiplo de   no es múltiplo de n ni de sus primos. Veamos los posibles múltiplos del corchete (2) y los valores del corchete (1) que hagan posible la presunta igualdad: (2) (1)  1  2  3 Estos valores de (1) son imposibles  4  6 __________________________  9  12  18 36 Tomemos         Sustituyendo estos valores de n, c en (2) se comprueba que (2)  Se llega a la misma conclusión si (1) es 18, 12,9. Únicamente cuando (1) es  ; (2)  Si suponemos ahora que (1) es múltiplo de  no es múltiplo de n ni de sus primos. Siguiendo idéntico razonamiento, no es posible que (1).(2) = . Saludos. |
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el_manco
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« Respuesta #16 : 29/07/2009, 06:41:30 am » |
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Hola ¿Por qué descompones , sólo utilizando la descomposicón de ?. También puedes descomponerse como, por ejemplo:  con  . No estás cubriendoni mucho menos todos los casos. Saludos. |
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minette
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« Respuesta #17 : 29/07/2009, 08:13:59 am » |
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Hola,   si es múltiplo de   no puede serlo. Saludos. |
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el_manco
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« Respuesta #18 : 29/07/2009, 08:28:43 am » |
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Hola Bien pero lo que yo he dicho es poco parecido a eso. Yo he dicho que si  (no  ) entonces puede ocurrir que:  divida a  divida a O si prefieres si  (y ahora si lo escribo como tu) puede ocurrir que: divida a  divida a  si y son coprimos. Saludos. |
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minette
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« Respuesta #19 : 30/07/2009, 06:59:40 am » |
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A el_manco Hola, Vuelvo a tu respuesta 12. En ella dices que  puede ser múltiplo de 36 cuando  . Lo que ocurre entonces es que el primer corchete  es múltiplo de 2 y el producto de ambos corchetes es 72 (para k impar), y aunque n sea par el segundo miembro debe seguir siendo 36  Con respecto a tu respuesta 18, por el momento te digo: - La demostración de mi respuesta 15 es válida si n es primo. - También lo es si a, b no son coprimos - y creo que también lo es si a, b son coprimos pero uno es par el otro impar. Saludos. |
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