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Autor Tema: Axiomas de la Teoría de Conjuntos  (Leído 73586 veces)
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« : 01/05/2009, 08:03:36 pm »

(Actualizado: 14/10/2011)

Este thread intenta dejar una referencia fija en el foro en donde se listen los axiomas de la teoría de conjuntos en sus formulaciones más aceptadas hoy día como "estándar".

Por lo general aparecen discusiones en el foro sobre teoría de conjuntos, que son de todo tenor, matemático y filosófico.
Para evitar discutir en el aire, es bueno tener una referencia común como ésta.



Quiero agradecer sobretodo a las correcciones que hicieron cada cual en su momento LauLuna y Donald (Carlos Ivorra).

Aprovecho, pues, para disculparme por los errores que pueda haber cometido.
Si bien hacer uso de la Teoría de Conjuntos siempre me resultó fácil, el costado constructivo de la teoría me ha costado, y hoy día me sigue resultando algo difícil y se me escapan muchos detalles de todo tipo. Uno tiene que aceptar sus limitaciones. :BangHead:

Así que no tengan vergüenza en indicar errores, si los detectan.



Hasta ahora la única exposición clara y completa que he encontrado en Internet es la de Ivorra:

Logica y Teoría de conjuntos, Ivorra Castillo

De allí he extraído básicamente la lista de axiomas de las tres teorías principales que vamos a desarrollar: ZFC, NBG, MK.



Generalidades

Como todo el mundo sabe, hay varias maneras de presentar la Teoría de Conjuntos, y la preferencia por una u otra puede ser personal.
En todo caso, lo importante es que las matemáticas que hagamos sean consecuentes con todos los sistemas axiomáticos de conjuntos que se aceptan en la actualidad.

Vamos a ver los sistemas más conocidos: el ZF, el ZFC, el NBG y el MK.

Se asume en la teoría axiomática que hay unos símbolos que representan objetos generales de ella, y unos signos que indican sus relaciones mutuas.

Habría que hacer toda la construcción de fórmulas lógicas antes de comenzar (construcción de la lógica de primer orden), pero no lo voy a hacer por ahora, así entramos directo en tema.

Tan sólo asumamos que hay una lista de símbolos que vamos a usar, y sólo ellos:
[texx]( \quad ) \quad \wedge\quad \vee\quad \neg \quad |\quad \forall\quad \exists\quad\Longrightarrow\quad \rightarrow\quad \Longleftrightarrow\quad\in\quad \subset\quad =\quad \cup\quad \cap\quad \{\quad \}\quad \mathcal{P}\quad \setminus[/texx]

También vamos a usar símbolos para las variables: [texx]a, b, c, x, z,[/texx] etc.
Por ahora pensemos que disponemos de tantas variables como queramos.



Índice

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« Respuesta #1 : 02/05/2009, 11:43:19 am »

ZFC MK MK :guiño:  NBG

Teoría de Conjuntos ZFC (Zermelo-Fraenkel + Choice)

El sistema axiomático de Zermelo y Fraenkel, abreviado ZF, supone que los conjuntos son ''cosas que no sabemos en realidad de donde han surgido, pero que se relacionan entre sí a través de ciertos axiomas''.

Para nosotros los conjuntos intuitivamente eran una bolsa que adentro contenía ciertos elementos.
Parecía haber una distinción entre el contenedor, y el contenido.

Pero en teoría de conjuntos no hay distinción real entre lo que puede ser un conjunto y lo que puede ser un elemento de un conjunto. Esto obedece a una necesidad de simplificación en el tratamiento teórico.
A todos los objetos de la teoría los llamamos conjuntos, y unos pueden pertenecer a otros, según ciertas reglas estipuladas en los axiomas.

Así que, entendiendo intuitivamente que ''todo de lo que hablamos'' es un conjunto, incluyendo los elementos, las famillias de partes de conjuntos, familias de familias, funciones, relaciones, productos cartesianos, etc., etc., ya no hay confusión de qué es un conjunto y qué no lo es.

Se asume además que existe una relación de pertenencia [texx]\in[/texx] y una de inclusión [texx]\subset [/texx], que es aplicable entre elementos de la teoría.

Si bien en ZF todo es un conjunto. En otras teorías, se diferencia entre conjuntos y clases.



Veamos los axiomas de ZF.

En primer lugar, digamos que en la teoría ZF puede considerarse que los conjuntos son elementos primitivos,
esto vendría a decir que se habla de ciertos entes [texx]A, B, C, X, w, x, y, z,[/texx] etc., sin explicitar quiénes son, y solamente se dice de ellos qué tipo de relaciones lógicas valen entre ellos, a través de una lista de axiomas.

También hay otra primitiva, que es la relación de pertenencia [texx]\in[/texx].
Se escribe [texx]x \in A[/texx], y se lee x pertenece a A.
Cómo se relacionan los conjuntos a través de esta relación, o sea, la manera en que esa relación funciona,
es algo que también se describe a través de los axiomas.

Sin embargo, ya podemos definir una relación a partir de estas meras primitivas.
Se trata de la relación de inclusión.
Se dice que [texx]A[/texx] está incluido en [texx]B[/texx], y se escribe [texx]A\subset B[/texx], si y sólo si,
para cualquier elemento [texx]x[/texx] que pertenece a [texx]A[/texx], ocurre que también [texx]x[/texx] pertenece a [texx]B[/texx].
Esto se escribe en símbolos así:

[texx]A\subset B \Longleftrightarrow{\forall{x}(x\in A \Rightarrow{x\in B}{})}.[/texx]

Se lee: [texx]A[/texx] está incluido en [texx]B[/texx] si para todos los conjuntos [texx]x[/texx] de la teoría ZF, cada vez que [texx]x[/texx] está [texx]A[/texx], implica que [texx]x[/texx] también está en [texx]B[/texx].

Ahora los axiomas de ZF son estos:

  • Axioma de Extensión. Dos conjuntos son iguales si a ambos pertenecen los mismos elementos.

  • Axoima del Vacío. Existe un conjunto, denotado [texx]\emptyset [/texx], que no contiene elemento alguno.

  • Axioma del Par. Dados dos objetos [texx]x, y[/texx], de la teoría ZF, existe un conjunto [texx]Z = \{x,y\}[/texx] formado sólo por esos dos elementos.

  • Axioma de la Unión. Dado un conjunto de conjuntos C, existe el conjunto [texx]\cup C=\cup _{X\in C} X[/texx].

  • Axioma del Conjunto Potencia. Dado un conjunto [texx]X[/texx], existe el conjunto formado por todos los subconjuntos de X, y se denota [texx]\matchcal{P}(X)[/texx].

  • Axioma de Especificación. Sea dada una propiedad [texx]\phi (x)[/texx] aplicable a objetos [texx]x[/texx] de la teoría ZF. Dado un conjunto X, existe el conjunto A de todos los [texx]x\in X[/texx] tal que [texx]\phi (x)[/texx] es verdadera. Dicho conjunto se denota: [texx]\{x\in X:\phi (x)\}[/texx].

  • Axioma de Reemplazo. Si A es un conjunto, y [texx]\phi (x,y)[/texx] es una propiedad de elementos [texx]x,y[/texx] de la teoría ZF tal que para cada [texx]x\in A[/texx] existe un único objeto [texx]y[/texx] que hace [texx]\phi (x,y)[/texx] cierta, entonces existe un conjunto B que contiene a tales elementos [texx]y[/texx], y en tal caso se puede formar una [texx]función[/texx] f con dominio A y rango B.

  • Axioma de Regularidad. Si X es un conjunto no vacío, entonces existe un elemento [texx]Y \in X[/texx] tal que [texx]X\cap Y=\emptyset [/texx].

  • Axioma de Infinitud. En ZF existe un conjunto X que contiene como elementos a los conjuntos [texx]\emptyset , \{\emptyset \}, \{\emptyset ,\{\emptyset \}\},[/texx] etcétera.
    Formalmente: [texx]\emptyset \in X[/texx], y [texx]n\in X\Longrightarrow{n\cup \{n\}\in X}[/texx].


Abriendo el desplegable siguiente, hallaremos más detalles:




Si a la lista de Axiomas de la teoría ZF le agregamos el Axioma de Elección, queda el sistema axiomático ZFC, o sea, Zermelo-Fraenkel más Choice (elección).
Este axioma dice que, dada una familia de conjuntos no vacíos, puedo definir un nuevo conjunto que contenga al menos un elemento de cada conjunto de la familia.
Eso implica que, dada una familia [texx]\mathcal{F}[/texx] de conjuntos no vacíos, existe una función de elección [texx]c[/texx], con dominio [texx]\mathcal{F}[/texx], y cuya imagen está contenida en la unión [texx]\cup \mathcal{F}[/texx], y de manera que para cada [texx]X \in \mathcal{F}[/texx] se cumple que [texx]f(X)\in X[/texx], o sea, [texx]f(X)[/texx] es un elementito que está dentro del mismo [texx]X[/texx]. MMmmm.
En símbolos lógicos se escribe así:

Axioma de elección. [texx]\forall{\mathcal{F}}(\exists{f}(f:\mathcal{F}\to \cup_{X\in \mathcal{F}} X, \forall{X\in \mathcal{F}}(X\neq\emptyset \Rightarrow{f(X)\in X})))[/texx].

Notemos que no hace falta exigir que los elementos de la familia sean todos no vacíos.
Pero la elección se hace sobre los elementos no vacíos de la familia.

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« Respuesta #2 : 02/05/2009, 11:43:24 am »

ZFC MK MK :guiño:  NBG



Teorema. EN ZFC: el producto cartesiano [texx]A\times B[/texx] de dos conjuntos [texx]A, B[/texx], es un conjunto.


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« Respuesta #3 : 02/05/2009, 11:43:28 am »

ZFC MK MK :guiño:  NBG

Teoría de Conjuntos MK (Morse-Kelley)

A continuación vamos a mostrar la lista de axiomas de la teoría MK de Morse y Kelley.

Para ello me he fijado un poco en un texto de Ivorra que está disponible en esta dirección:
Ivorra-Axiomas-Conjuntos

También se puede mirar la página de Wikipedia:
Wikipedia: Teoría de Morse-Kelley (en inglés)

Antes que explicarlo con mis palabras el enfoque de la teoría MK, creo que es mejor citar a Ivorra:

Si el planteamiento de ZF es "vamos a hablar de unos objetos llamados conjuntos y una relación de pertenencia que no definimos, pero que cumplen los axiomas siguientes", el planteamiento de MK es "vamos a hablar de unos objetos llamados clases y una relación de pertenencia que no definimos, pero que cumplen los axiomas siguientes". En otras palabras, ahora [texx]\forall X[/texx] y [texx]\exists X[/texx] se leen "para toda clase X" y "existe una clase X".

Todo objeto de la teoría MK es una clase. Hay clases que se llaman conjuntos, y otras que no son conjuntos. Éstas últimas se llaman clases propias.
Así que, todo conjunto es una clase. Pero, ¿cómo sabemos cuáles clases son conjuntos?
Es fácil, a partir de la siguiente definición:

Definición. Una clase [texx]X[/texx] es un conjunto si y sólo si existe alguna clase [texx]Y[/texx] tal que [texx]X[/texx] pertenece a [texx]Y[/texx]. En símbolos:
                                 [texx]X\text{\ es un conjunto\ }\equiv{}\exists{Y}(X\in Y)[/texx]

  • Axioma de Extensión. Dos clases son iguales si a ambas pertenecen los mismos elementos.
  • Axioma de Formación de Clases. Sea dada una propiedad [texx]\phi (x)[/texx] aplicable a objetos [texx]x[/texx] de la teoría MK.  Existe la clase Z de todos los [texx]x[/texx] tal que [texx]x[/texx] es un conjunto y [texx]\phi (x)[/texx] es verdadera. Dicha clase se denota: [texx]Z=\{x:\phi (x)\}[/texx].

    En este punto será útil que establezcamos convenciones y abreviaturas.
    Cuando las clases involucradas sean conjuntos, las denotaremos con letras minúsculas, como [texx]x, y, z[/texx], etc.
    Cuando se trate de clases que pueden ser conjuntos o no, se denotarán con mayúsculas, como [texx]X, Y, Z[/texx], etc.
    También se usarán abreviaturas asociadas a los cuantificadores, cuando aparezcan clases que son conjuntos.
    Más precisamente, se definen las abreviaturas siguientes:
    • [texx]\forall{x}\phi(x)[/texx] es una forma abreviada de escribir la fórmula: [texx]\forall{X}(X\text{\ es un conjunto\ }\Rightarrow{} \phi(X))[/texx]
    • [texx]\exists{}{x}\phi(x)[/texx] es una forma abreviada de escribir la fórmula: [texx]\exists{}{X}(X\text{\ es un conjunto\ }\wedge \phi(X))[/texx]
    • [texx]\{x:\phi(x)\}[/texx] es una forma abreviada de escribir que: [texx]Y[/texx] es la clase tal que [texx]\forall{x}(x\in Y \Leftrightarrow{\phi(x)})[/texx]

    Notemos esta sutileza: el segundo axioma nos dice que existe al menos una clase [texx]Y[/texx] formada por todos los elementos [texx]x[/texx] tales que [texx]\phi(x)[/texx] es cierta, pero no nos asegura de si hay muchas de tales [texx]Y[/texx].
    Para asegurarnos de que sólo hay una tal clase [texx]Y[/texx] posible, se aplica el primer axioma.

    A partir de esos dos primeros axiomas, se pueden definir las clases siguientes:
    • [texx]\emptyset=\{x:x\neq x\}[/texx] (clase vacía)
    • [texx]\mathcal{U}=\{x: x=x\}[/texx] (clase universal)
    • [texx]X\cap Y =\{x:x\in X \wedge x\in Y\}[/texx] (intersección de dos clases)
    • [texx]X\cup Y =\{x:x\in X \vee x\in Y\}[/texx] (unión de dos clases)
    • [texx]\bar X=\{x:x\not\in X\}[/texx] (clase complementaria)
    • [texx]X\setminus Y=\{x:x\in X \wedge x\not\in Y\}[/texx] (diferencia de clases)
    • [texx]\mathcal{P}(X) = \{S:S\subset X\}[/texx] (clase de partes o subconjuntos)
    • [texx]\{X_1,...,X_n\}=\{x:x\in X_1 \vee ... \vee x\in X_n\}[/texx]
    • [texx]\bigcup_{X\in \mathcal{C}} X = \{x: \exists{X}(X\in\mathcal{C}\wedge x\in X)\}[/texx] (unión de la familia de conjuntos que pertenecen a una clase [texx]\mathcal{C}[/texx]).
    Si bien todos estos objetos existen como clases, no sabemos aún cuáles o cuándo son conjuntos o no.
    Eso se especifica mediante los siguientes axiomas.
  • Axioma del Par. Para cualesquiera clases [texx]x, y[/texx] que también son conjuntos, existe la clase [texx]P[/texx], tal que [texx]u\in P[/texx] si y sólo si [texx]u=x[/texx] ó [texx]u=y[/texx]. Además [texx]P[/texx] es un conjunto, y se denota [texx]P=\{x,y\}[/texx].
    Cuando [texx]x, y[/texx] son conjuntos, entonces existen las clases [texx]\{x\}, \{x,y\}, \{\{x\},\{x,y\}\}[/texx].
    Se define ahora el par ordenado de [texx]x, y[/texx] como [texx](x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}[/texx].
    En general, si [texx]x, y[/texx] son clases que no son conjuntos, se puede probar que [texx]\{x,y\}=\emptyset[/texx], que es una especie de trivialidad (no tiene sentido trabajar con pares formados por clases).
    Si una de las clases, digamos [texx]x[/texx] es un conjunto y la otra no, entonces [texx]\{x,y\} = \{x\}[/texx].
    Lo importante es que siempre se puede formar la clase que es el par de otras dos clases, y dicha clase es un conjunto.
    Pero, sólo tiene sentido como ''par'' cuando ambas clases [texx]x,y,[/texx] son también conjuntos.
    Ahora es posible definir el producto cartesiano de dos clases [texx]X, Y[/texx] como
    [texx]X\times Y =\{u:\exists{v,w}(v\in X,w\in Y,u=(v,w))\}.[/texx]
  • Axioma del conjunto vacío. Existe una clase tal que para toda clase que también es conjunto, x, ocurre que [texx]x\not\in\emptyset [/texx].
    Luego, la clase vacía [texx]\emptyset[/texx] es un conjunto, el conjunto vacío.
  • Axioma de la Unión. Para toda clase [texx]\mathcal{C}[/texx] que también sea conjunto, existe la clase [texx]\bigcup \mathcal{C}=\bigcup_{X\in \mathcal{C}} X[/texx], formada por todos aquellos elementos [texx]x[/texx] tales que existe un [texx]X\in\mathcal{C}[/texx] tal que [texx]x\in X[/texx]. Además, la clase [texx]\bigcup\mathcal{C}[/texx]es un conjunto.
    Si bien la unión de elementos de una clase dada está definida, para poder asegurar que esta unión es un conjunto, la clase dada debe ser también un conjunto.
  • Axioma del Conjunto Potencia. Dada una clase que es un conjunto, [texx]X[/texx], la clase de sus partes [texx]\mathcal{P}(X)[/texx] es un conjunto.
  • Axioma de Reemplazo. Si una función [texx]F[/texx] tiene como dominio un conjunto [texx]A[/texx], y es suprayectiva, su clase imagen B es un conjunto. En símbolos:
    [texx]\forall{F,X,Y}(F:X\to Y\text{\ suprayectiva\ }\wedge X \text{\ es un conjunto\ }\Longrightarrow{Y\text{\ es un conjunto}}).[/texx]
    De aquí se puede deducir que:
    • Toda subclase de un conjunto es también un conjunto.
    • Para todos los [texx]X,Y[/texx], [texx]X\times  Y[/texx] es un conjunto.
    • Toda clase que es una relación entre un par de conjuntos (subclase del producto cartesiano del par) es también un conjunto.
    • Toda función F es una relación, y toda función cuyo dominio es un conjunto, es tal que su rango es un conjunto. Luego F es también un conjunto.
  • Axioma de Regularidad. Si X es una clase, que es un conjunto no vacío, entonces existe un elemento [texx]Y \in X[/texx] tal que [texx]X\cap Y=\emptyset [/texx].
  • Axioma de Infinitud. En MK existe una clase, que es un conjunto, digamos [texx]X[/texx], que contiene como elementos a los conjuntos [texx]\emptyset , \{\emptyset \}, \{\emptyset ,\{\emptyset \}\},[/texx] etcétera.
    Formalmente: [texx]\emptyset \in X[/texx], y [texx]n\in X\Longrightarrow{n\cup \{n\}\in X}[/texx].
  • Axioma de elección. Sea [texx]\mathcal{F}[/texx] una clase que es un conjunto. Supongamos que además [texx]\mathcal{F}[/texx] es una familia de conjuntos. Entonces existe una función de elección [texx]f[/texx], que a cada elemento [texx]X[/texx] no vacío de la familia [texx]\mathcal F[/texx] le asigna un elemento [texx]x[/texx] de [texx]X[/texx]. En símbolos:
    [texx]\forall{\mathcal{F}\text{\ conjunto\ }}(\exists{f}(f:\mathcal{F}\to \cup_{X\in \mathcal{F}} X, \forall{X\in \mathcal{F}}(X\neq\emptyset \Rightarrow{f(X)\in X})))[/texx].
    En particular, por el axioma de reemplazo, el rango [texx]B[/texx] de [texx]f[/texx] es un conjunto, el cual tiene un elemento [texx]x[/texx] al menos de cada [texx]X[/texx] de [texx]\mathcal F[/texx].

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« Respuesta #4 : 02/05/2009, 11:43:32 am »

ZFC MK MK :guiño:  NBG

Axiomas de MK para el uso cotidiano.

Los axiomas de ZFC evitan que los matemáticos puedan hablar de clases como si fuesen objetos naturales de la teoría.
Se puede considerar en ZFC que una clase vendría a ser una fórmula de algún tipo, o sea, una construcción a base de primitivas lógicas, la cual no sería cuantificable.
En ZFC lo único que admite cuantificadores son unos términos primitivos llamados variables.
Cuando se arma una fórmula, se construye con términos primitivos y conectores, y en tal caso no es una variable. Todo esto está dicho, claro está, grosso modo.
Luego, las fórmulas que quedan dependiendo de ciertas variables, se piensa en ellas como definidoras de propiedades.
Si a través de los axiomas de la teoría ZF esas propiedades definen un objeto de la teoría, se dice que dicho objeto es un conjunto propiamente dicho. Si no define objeto alguno de la teoría, se puede pensar que esa fórmula rebelde es algo así como una clase propia.

Todas estas convenciones son de tipo interpretativo, vale decir, metalógico o metamatemático, como prefieran.
Pero para el trabajo matemático cotidiano, y acostumbrados como estamos todos nosotros al álgebra de clases, este tipo de cosas pueden traernos serias dudas.

A mí y a muchos otros nos gustaría que las clases propias sean objetos de la teoría misma, y que uno pueda decir que, simplemente, sus propiedades no definen conjuntos, y que, por ende, son objetos singulares de la teoría con los que hay que andarse con cuidado.

Las teorías NBG y MK permiten este tipo de tratamiento.
Además, veremos en su momento que ambas teorías son compatibles con la teoría ZFC,
o sea que en la práctica matemática cotidiana puede usarse una teoría u otra indistintamente.

Ahora bien. En textos en los que se desarrollan y explican estas teorías, como es el caso del libro de Ivorra, cuyo enlace puse en el post anterior, se prefiere expresar los axiomas de NBG y MK en un formato similar al que se usa en ZFC.
Estimo que esto se hace así para mostrar más claramente las relaciones entre ambas teorías, y ver que con un mismo lenguaje lógico ambas pueden expresarse de manera análoga.

No obstante, si uno tiene la intención de entender esos axiomas en función de la práctica cotidiana de la matemática, conviene tener una versión alternativa, más sencilla.

Por ejemplo, los axiomas que afirman que las clases vacía, clase de la unión sobre los elementos de un conjunto, clase de partes de un conjunto dado, se enunciarían más fácilmente diciendo que:
  • La clase vacía [texx]\emptyset[/texx] es un conjunto.
  • Si [texx]\mathcal C[/texx] es un conjunto, la clase unión [texx]\bigcup\mathcal C[/texx] es un conjunto.
  • Si X es un conjunto, la clase potencia [texx]\mathcal{P}(X)[/texx] es un conjunto.

Estas clases estaban definidas, al menos como clases, tras haber enunciado el Axioma de Formación de Clases.
En ZF hay que dar toda la descripción de esas clases en los Axiomas para establecer su existencia, lo cual equivale a decir que son conjuntos. Pues en ZF existir y ser conjunto es lo mismo.

Sin embargo, en NBF y MK podemos formar clases en base a ''propiedades'', o sea, en base a fórmulas lógicas con variables libres, y a continuación queda establecida la existencia de clases que cumplen dichas propiedades. El caso es que estas clases no siempre son conjuntos, y hay que decretar que lo son en algún axioma de la teoría, o bien probarlo con un teorema.

Me parece más sencillo de entender esta forma de trabajar, en la cual uno usa el Axioma de formación de clases para definir lo que se le ocurra, y a continuación dice que tal o cual clase así definida es o no un conjunto. Es más fácil de enunciar y de comprender, y si la teoría de conjuntos lo permite, tanto mejor, porque así nos ahorramos el tener que entender esas fórmulas lógicas tan rudas y complicadas, que tienen un estilo notacional poco familiar para la mayoría de nosotros.

Con esto en mente, yo pondría ahora usar el Axioma de Formación de Clases junto con el Axioma de Extensión, para enunciar que dos clases son iguales, escribiendo algo como:
[texx]A=\{a:\phi(a)\},B=\{b:\phi(b)\}\Longrightarrow{A= B}[/texx].

Puedo dejar de lado el expresionismo lógico moderno de ZF, en base a fórmulas que se ven extrañas, para usar la notación más familiar de la teoría clásica de conjuntos, que usa esas famosas llavecitas { ... }.
Y eso es todo el meollo del asunto, quizá: la costumbre, la comodidad, la tradición.

Lo paradójico de todo esto es que, de tanto buscar la manera de entender la relación entre las fórmulas lógicas y la teoría de conjuntos clásica que uno cree manejar, al final uno termina comprendiendo esas intrincadas y poco amigables fórmulas de la lógica. Tanto así que al final uno podrá ''modernizarse'' escribiendo expresiones lógico-matemáticas al estilo de MK, por ejemplo.

Otro tipo de cosas que pueden probarse y usarse en las teorías NBG y MK es que los productos cartesianos de conjuntos también son conjuntos. Para ello en la prueba se necesita el axioma de la unión.
Junto al Axioma de Reemplazo, se puede probar que una función es ella misma un conjunto, si y sólo si, su dominio es un conjunto. En ese caso, una función termina siendo un caso especial de relación, o sea, un subconjunto del producto cartesiano de su dominio y de su rango.

¿Existen funciones que involucren clases propias?
Creo yo que en esto hay una gran cuestión que nos aleja del tratamiento cotidiano de funciones.
Una función se define en teoría axiomática de conjuntos a partir de una cierta fórmula, la cual satisface una propiedad que se denomina unicidad de la imagen, la cual más o menos nos podemos imaginar qué es lo que significa.
Estas funciones tienen un dominio y un rango, cada uno de los cuales es una determinada clase.
En cuanto una función [texx]f[/texx] tiene como dominio un conjunto [texx]D[/texx], su rango también es un conjunto [texx]R[/texx], por el Axioma de Reemplazo, y se puede probar que [texx]f[/texx] coincide (Axioma de Extensión) con una subclase del producto cartesiano [texx]D\times R[/texx], el cual es un conjunto.
Pero entonces [texx]f[/texx] es un conjunto en ese caso, formado por pares ordenados, con primera componente en [texx]D[/texx] y segunda componente en [texx]R[/texx].

Cuando el dominio de la función no es un conjunto, la función tampoco es un conjunto, o sea, ella y su dominio son clases propias. En ese caso, según lo que he interpretado del libro de Ivorra, la función no sería ''necesariamente'' una subclase del producto cartesiano de las clases dominio y rango.
Me refiero a que el producto cartesiano toma una forma más trivial, que no sirve para expresar bien a la función.

En cuanto al Axioma de Regularidad, sólo se encarga de evitar la existencia de conjuntos extraños, como aquellos que se pertenezcan a sí mismos, o situaciones más enredadas.
En la práctica cotidiana de la matemática, este axioma no nos sirve de nada, y no debemos preocuparnos por él.

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« Respuesta #5 : 02/05/2009, 11:53:12 am »

ZFC MK MK :guiño:  NBG

Teoría de Conjuntos NBG (Neumann-Bernays-Gödel)

Para completar la lista de sistemas estándar que establecen la teoría de conjuntos, listamos a continuación los Axiomas del sistema NBG, de von Neumann-Bernays-Gödel.

Al igual que en MK, se definen conjuntos como toda aquella clase que pertenece a alguna otra clase.
Se llaman clases propias a aquellas clases que no son conjuntos.
También se usa la convención de que las letras mayúsculas representan clases cualesquiera, mientras que las letras minúsculas denotan clases que son conjuntos.

Esta es la lista de Axiomas NBG:


  • Axioma de Extensión. Dos clases son iguales si a ambas pertenecen los mismos elementos.
  • Axioma de Intersección. Dadas dos clases cualesquiera, existe la clase de todos los elementos que pertenecen al mismo tiempo a ambas clases, que es su intersección.
    La intersección de las clases [texx]X[/texx] e [texx]Y[/texx] se denota [texx]X\cap Y[/texx].
  • Axioma de Complemento. Dada una clase cualquiera [texx]X[/texx], existe la clase complemento [texx]Y[/texx], formada por todos aquellos conjuntos que no pertenecen a [texx]X[/texx].
    Se denota [texx]Y = X^c[/texx].
  • Axioma del Par. Para cualesquiera clases [texx]x, y[/texx] que también son conjuntos, existe la clase [texx]P[/texx], tal que [texx]u\in P[/texx] si y sólo si [texx]u=x[/texx] ó [texx]u=y[/texx]. Además [texx]P[/texx] es un conjunto, y se denota [texx]P=\{x,y\}[/texx].
    A partir de aquí tiene sentido definir el par ordenado de dos conjuntos [texx]x, y[/texx], de la forma típica:

    [texx](x,y)=\{x,\{x,y\}\}[/texx]

    Esta definición satisface la propiedad de par ordenado: [texx]{(x,y) = (u,v) \Longleftrightarrow{x=y, y= v}}[/texx].
  • Axioma de Pertenencia. Existe la clase [texx]A[/texx] formada por todos los pares ordenados [texx](x,y)[/texx], de conjuntos [texx]x, y[/texx] tales que [texx]x\in y[/texx].
    En símbolos:

    [texx]\exists{A:\big[\forall{x,y:(x,y)\in A \Longleftrightarrow{x\in y}}\big]}[/texx]
  • Axioma del Dominio de una Relación. Dada una clase formada por pares ordenados [texx](x,y)[/texx] de conjuntos [texx]x,y[/texx], se puede formar una clase [texx]B[/texx] que contiene a todas las primeras componentes [texx]x[/texx] de dichos pares ordenados.
    En símbolos, esto se escribe así:
    [texx]\forall{A:[\exists{B:(\forall{x,y}:x\in B\Longleftrightarrow{\exists{y}:(x,y)\in A})}]}[/texx]
    Aquí no se dice de entrada que la clase [texx]A[/texx] está formada sólo por pares ordenados, sino que en realidad se toma una clase arbitraria [texx]A[/texx], y se consideran todos los posibles pares ordenados que son elementos de [texx]A[/texx].
  • Axioma del Producto Cartesiano. Dada una clase [texx]A[/texx], se puede formar la clase [texx]B[/texx] que contiene todos los pares ordenados [texx](x,y)[/texx] de conjuntos [texx]x,y[/texx], donde [texx]x[/texx] es un elemento de [texx]A[/texx], e [texx]y[/texx] es cualquier conjunto. En símbolos, está dicho así:

    [texx]\forall{A:[\exists{B:(\forall{x,y}:(x,y)\in B\Longleftrightarrow{x\in A})}]}[/texx]
    Al parecer, está definiendo una clase [texx]B[/texx] que contiene algo así como el "producto cartesiano" de [texx]A[/texx] por la "clase universal".
    A partir de ahí, por medio de subclases, tendría sentido hablar del "producto cartesiano" de dos clases específicas [texx]C, D[/texx], bastando para ello restringir las segundas componentes de los pares [texx](x,y)[/texx].
    No obstante, aún no hemos probado que existe dichas clase universal o las subclases, etc.
  • Axioma de Relación Inversa. Dada una clase formada por pares ordenados [texx](x,y)[/texx] de conjuntos [texx]x,y[/texx], se puede formar la clase con los pares en orden invertido [texx](y,x)[/texx].
    El enunciado preciso es semejante el Axioma del Dominio, en que no se supone que la clase de partida [texx]A[/texx] esté formada exclusivamente por pares ordenados, sino que se extraen de ella los elementos que son pares ordenados.
  • Axioma de Permutación de Ternas Ordenadas (1ra forma). Dada una clase [texx]A[/texx] formada por ternas ordenadas [texx](y, z,x)[/texx] de conjuntos [texx]x, y, z[/texx], se puede formar la clase de las correspondientes ternas permutadas [texx](x,y,z)[/texx].
    Los detalles y aclaraciones son similares a lo dicho en el Axioma de Relación Inversa.
  • Axioma de Permutación de Ternas Ordenadas (2da forma). Dada una clase [texx]A[/texx] formada por ternas ordenadas [texx](x,z,y)[/texx] de conjuntos [texx]x, y, z[/texx], se puede formar la clase de las correspondientes ternas permutadas [texx](x,y,z)[/texx].
    Los detalles y aclaraciones son similares a lo dicho en el Axioma de Relación Inversa.
  • Axioma del conjunto vacío. Existe una clase tal que para toda clase [texx]x[/texx] que también es conjunto ocurre que [texx]x\not\in\emptyset [/texx].
    Además, la clase vacía [texx]\emptyset[/texx] es un conjunto, el conjunto vacío.
  • Axioma de la Unión. Para toda clase [texx]\mathcal{C}[/texx] que también sea conjunto, existe la clase [texx]\bigcup \mathcal{C}=\bigcup_{X\in \mathcal{C}} X[/texx], formada por todos aquellos elementos [texx]x[/texx] tales que existe un [texx]X\in\mathcal{C}[/texx] tal que [texx]x\in X[/texx]. Además, la clase [texx]\bigcup\mathcal{C}[/texx]es un conjunto.
  • Axioma de Reemplazo. Si [texx]a[/texx] es un conjunto, y [texx]F[/texx] es una clase "funcional", existe un conjunto [texx]b[/texx], tal que [texx]y\in b[/texx] siempre y cuando exista algún [texx]x\in a[/texx] de manera que el par [texx](x,y)\in F[/texx].
    Lo que estamos diciendo es que la clase [texx]F[/texx] está formada por pares ordenados, que a su vez tienen la propiedad de unicidad de la imagen, es decir, si [texx](u,v),(u,w)\in F[/texx] entonces [texx]v=w[/texx].
    Por lo tanto [texx]F[/texx] es una "función". No nos animamos a decirlo directamente, porque aún la teoría está en "formación", y el término "función" debe tener mayores precisiones.
    Finalmente, el Axioma define la "imagen" que se obtiene al aplicar la "función" [texx]F[/texx] al "dominio" [texx]a[/texx].
    Más aún, dicha "imagen" es un conjunto.
  • Axioma del Conjunto Potencia. Dado un conjunto [texx]x[/texx], existe el conjunto formado por todos los subconjuntos de [texx]x[/texx], y se denota [texx]\matchcal{P}(x)[/texx].
  • Axioma de Regularidad. Si [texx]x[/texx] es un conjunto no vacío, entonces existe un elemento [texx]y \in x[/texx] tal que [texx]x\cap y=\emptyset [/texx].
  • Axioma de Infinitud. En NBG existe un conjunto [texx]x[/texx] que contiene como elementos a los conjuntos [texx]\emptyset , \{\emptyset \}, \{\emptyset ,\{\emptyset \}\},[/texx] etcétera.
    Formalmente: [texx]\emptyset \in X[/texx], y [texx]n\in X\Longrightarrow{n\cup \{n\}\in X}[/texx].
    La idea es introducir un conjunto infinito.
    También puede hacerse admitiendo la existencia de una función biyectiva con una parte propia de algún conjunto no vacío.
  • Axioma de elección. Sea [texx]\mathcal{F}[/texx] una clase que es un conjunto. Supongamos que además [texx]\mathcal{F}[/texx] es una familia de conjuntos. Entonces existe una función de elección [texx]f[/texx], que a cada elemento [texx]X[/texx] no vacío de la familia [texx]\mathcal F[/texx] le asigna un elemento [texx]x[/texx] de [texx]X[/texx].

Esta lista tiene una apariencia diferente a ZFC y MK.

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« Respuesta #6 : 02/05/2009, 11:53:17 am »

ZFC MK MK :guiño:  NBG

Es importante destacar las relaciones entre los tres sistemas.

Podemos imaginarnos que ZFC es una "subteoría" de NBG, y asimismo que NBG es una "subteoría" de MK.

¿Qué diferencia hay entre los "objetos" de los que se habla en cada teoría?
Primero voy a dar una respuesta infantil, y después doy la versión más técnica.

Podríamos pensar algo como esto:

  • Todo objeto que está en ZFC es un conjunto.
  • Los conjuntos que "están" en ZFC,NBG y MK son los "mismos".
  • En NBG y MK hay clases propias que, por definición, no son conjuntos.
  • Toda clase propia que "está" en NBG también "está" en MK.
  • Algunas clases propias que "están" en MK no "están" en NBG.

¿Por qué esa respuesta es "infantil?
Bueno, acá habría que entrar en ciertos detalles que me gustaría obviar sobre los Fundamentos de la Matemática, en los que aparecen Modelos asociados a teorías axiomáticas de conjuntos.

Intentaré explicar la situación sin entrar en tecnicismo alguno, mediante una analogía geométrica.
Imaginemos el concepto de "superficie curva bidimensional".
Podemos definir axiomáticamente lo que significa ser una superficie curva bidimensional, y demostrar diversos hechos sobre ella, como por ejemplo: que en cada punto tiene un plano tangente, o dar fórmulas para ciertas áreas o ángulos entre curvas sobre la superficie, etc.
Pero, dado una geodésica sobre la superficie, y un punto externo a ella, no podríamos asegurar si por dicho punto pasa una sola "paralela" a la geodésica dada.

Esto depende de cada superficie curva que tomemos como ejemplo.

Acá, decir "ejemplo" viene a ser sinónimo de "tomar un modelo específico en el que los axiomas de superficie curva se cumplen".
Hay propiedades que son particulares al ejemplo/modelo que se elija, y otras propiedades que son generales, pues valen para cualquier caso (en este caso, para toda superficie).

En la Teoría de Conjuntos pasa lo mismo.
Una lista de axiomas, como la de NBG, es una formulación axiomática abstracta, y luego habría que considerar diversos modelos que satisfacen (o no) esos axiomas.
Por ejemplo, hay modelos en donde vale la Hipótesis Generalizada del Continuo y modelos en los que no.

La cosa se complica si ahora estudiamos varios sistemas axiomáticos distintos al mismo tiempo: ZFC, NBG y MK. Hay "modelos" que servirán de "ejemplos" para unas teorías, y para otras no.

La relación entre las teorías dadas es la siguiente.

  • Dado un modelo que satisface los axiomas de ZFC, es posible ampliarlo agregándole clases propias, resultando un modelo que también satisface los axiomas de NBG.
    Esta ampliación es necesaria porque en ningún modelo de ZFC hay clases propias, mientras que en NBG siempre tenemos al menos una clase propia: la universal.
  • Todo modelo que satisface los axiomas de MK también satisface los axiomas de NBG.
    Sin embargo la recíproca no es cierta en general.
  • Todo teorema que se puede demostrar en ZFC, también se puede demostrar en NBG y en MK.
    Lo recíproco no siempre se cumple.
  • Todo teorema que se puede demosrtar en NBG, también se puede demostrar en MK.
    La recíproca no siempre se cumple.

En MK teníamos el Axioma de Formación de Clases.
En NBG no se tiene ese axioma, pero tenemos el siguiente teorema, que sirve al mismo propósito:

Teorema de Formación de Clases: Sea dada una propiedad [texx]\phi (x)[/texx] aplicable a objetos [texx]x[/texx] de la teoría NBG.  Existe la clase [texx]Z[/texx] de todos los [texx]x[/texx] tal que [texx]x[/texx] es un conjunto y [texx]\phi (x)[/texx] es verdadera. Dicha clase se denota: [texx]Z=\{x:\phi (x)\}[/texx]. (Hay un detalle técnico que aclaramos abajo).

Lo enunciamos porque es un resultado importante.
Omito los detalles de la demostración, pues requieren que uno se inmiscuya en cuestiones más específicas de la teoría de lenguajes de primer orden, que por ahora deseo evitar.

Hay sutilezas técnicas que no se ven a simple vista.
Una de ellas se refiere al tipo de fórmulas del lenguaje de primer orden que pueden utilizarse en el Teorema de Formación de Clases.
En NBG, las variables cuantificadas que aparezcan en la fórmula, tienen que referirse sólo a conjuntos, mientras que en MK no existe dicha restricción.

Si bien esto no agrega ni resta nada a la capacidad de construir o definir conjuntos, tendrá consecuencias en aspectos sutiles de la teoría: aparición de algunas nuevas clases propias en MK, o bien la posibilidad de demostrar teoremas sobre conjuntos en MK que en NBG o en ZFC no es posible demostrar.

Otro aspecto técnico es el siguiente:

Las teorías de conjuntos no pueden demostrar su propia consistencia, debido a que entran dentro del llamado Teorema de Gödel. Por lo tanto, siempre hay que "suponer" que tal o cual teoría es consistente (no contradictoria), y estudiar en todo caso la "consistencia relativa" entre sistemas, o sea: si suponemos que una teoría axiomática T1 es consistente podemos demostrar que otra teoría T2 también lo es.

Se puede decir, en tal sentido, que NBG tiene el mismo "riesgo de inconsistencia" que ZFC, vale decir, ambas teorías son igual de "consistentes", o bien la consistencia de una implica la de la otra.
Esto es llamativo, pues NBG tiene un universo de discurso más amplio que ZFC, ya que agrega clases propias.

Sin embargo, MK tiene un "riesgo de inconsistencia" estrictamente mayor que las otras dos teorías.
Esto echaría por tierra las recomendaciones que hice en el post anterior, en que sugería usar esta teoría para el trabajo cotidiano de la matemática.
El poder demostrativo de MK es mayor.

Es importante no enunciar teorías con demasiado "poder" porque caeríamos en el error de Frege, cuyo resultado fue una teoría profunda y audaz, pero lamentablemente inconsistente.

Tanto en NBG como en MK, el Axioma/Teorema de Formación de Clases es lo que simplifica la teoría, pues a partir de allí puede desarrollarse con gran comodidad el cálculo de clases. Luego, aclarar qué clases son o no conjuntos, es más fácil de indicar o visualizar.

Por ahora no entraré en más detalles sobre todo esto.




Anexo: Comentario hecho por Carlos Ivorra ((Correcciones varias))

Pese a su parecido con MK, la teoría NBG no es equivalente a ella, sino a ZFC y la diferencia en la Propiedad de Formación de Clases es precisamente lo que hay que quitarle a  MK para que resulte equivalente a  ZFC. La equivalencia consiste en que se puede demostrar que toda afirmación que haga referencia únicamente a conjuntos (sin mencionar clases propias) puede demostrarse en  ZFC si y sólo si puede demostrarse en  NBG, mientras que existen afirmaciones sobre conjuntos (sobre números naturales, incluso) que pueden demostrarse en  MK y, por el contrario, no pueden probarse en  NBG (supuesto que sea consistente).
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« Respuesta #7 : 02/05/2009, 12:59:12 pm »

Muy a grandes rasgos, sabemos que un sistema axiomático debe tener, entre otras cosas, los llamados términos indefinidos y relaciones indefinidas.  Por ejemplo, en la geometría neutral, Hilbert mantiene como términos indefinidos a punto, recta y plano, y entre los tres aximas de incidencia, usa como relación indefinida la relación "el punto A incide con la recta L", que intuitivamente entendemos como "el punto A está sobre la recta L", aunque repito, la relación de incidencia, o de orden cuando se dan los axiomas de orden en esa misma geometrìa, son relaciones indefinidas entre los objetos del sistema.

Como MK, lo que sucede es:  Los términos indefinidos serán llamadas clases, mientras que la relación indefinida será la relación de pertenencia denotada por [texx]\in{}[/texx]. Así, el símbolo [texx]a\in{b}[/texx] significa "la clase [texx]a[/texx] pertenece a la clase [texx]b[/texx]"

Diremos que la clase [texx]a[/texx] es un conjunto si y solo si existe una clase [texx]b[/texx] tal que [texx]a\in{b}[/texx].  A la clase que no contiene ninguna otra clase se le llama clase nula, denotada por [texx]O[/texx].

Poco a poco, esta teoría enlista cerca de 11 axiomas que permiten establecer la teoria de conjuntos, y evita así la aparición de paradojas.
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« Respuesta #8 : 02/05/2009, 03:33:04 pm »

ZFC MK MK :guiño:  NBG

Investigando un poco en la axiomática MK, que al parecer es una versión algo simplificada de la NBG, me doy cuenta que el conjunto vacío aparece tanto como una definición como en un axioma.
Si nos fijamos, pareciera que la clase vacía es algo que puede definirse sin más herramienta que el Axioma de Formación de Clases.
Pero después necesitamos establecer que dicha clase vacía es, en verdad, un conjunto.
Para eso se agrega el axioma del vacío.

Sin embargo, en dicho axioma del vacío, se vuelve a definir lo que significa conjunto vacío, y de una manera distinta a la clase vacía.
Ese axioma establece la existencia de una clase que no contiene elementos, y que a su vez, se decreta que es un conjunto.

Da la casualidad que la clase vacía coincide con esta clase sin elementos, debido al Axioma de Extensión.
Y en ese caso, como la clase sin elementos es un conjunto, la clase vacía es también un conjunto.
Y ambas cosas son lo mismo, y todos felices.

Sutilezas como esa aparecen en los axiomas de MK, y hay que andarse con cuidado.

Otro ejemplo es el Axioma de la Unión.
El Axioma sólo permite definir la unión para una familia de conjuntos pertenecientes a un gran conjunto dado.
El resultado es, claro, un conjunto.

Pero ese no es el problema. ¿Qué pasa si pretendo definir la unión de los elementos de una clase?
Si pudiera, muy posiblemente el resultado de la operación no sería un conjunto...
Pero antes de hacer la operación tengo que estar autorizado a hacerla. ¿Puedo?
El Axioma de la Unión no me dice nada acerca del operador de Unión definido sobre clases que no sean conjuntos.
Sin embargo, se puede definir la clase ''unión'' usando el Axioma de Formación de Clases.
Luego, ambos operadores de unión, en principio serían diferentes.
Sin embargo, cuando aplico sendos operadores de unión a conjuntos, la unión definida desde el Axioma de Formación de Clases me da el mismo resultado que la unión de conjuntos aceptada en el Axioma de la Unión.

Estos detalles me parecen algo molestos, y fuente de confusiones.
A lo mejor sean inevitables.
Pero en todo caso es bueno que tengamos en cuenta estas sutilezas que muchas veces no aparecen explicadas.
Porque los lógicos se han acostumbrado tanto a los objetos de su teoría, que se olvidan del resto de los mortales que no estamos habituados a usar ese lenguaje en forma cotidiana.
A la mayoría de nosotros nos cuesta digerir ese lenguaje.

Yo, por ejemplo, por más que leo y releo, no logro acostumbrarme.
Al final, con esfuerzo, y explicaciones, e investigación, uno termina comprendiendo.
Pero de ahí a captar todas las sutilezas del lenguaje de la lógica, hay un salto no menor.

En cuanto pueda he de agregar los Axiomas según NBG. (Ya están agregados)
Son similares en su filosofía al sistema MK, así que no nos estaríamos perdiendo de mucho.

Pero es importante conocerlo, entre otras cosas, por ser Godel uno de sus fundadores.

Saludos
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LauLuna
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« Respuesta #9 : 22/05/2009, 02:32:43 pm »

Argentinator,

te felicito por la idea de exponer los axiomas de las axiomáticas de conjuntos así como por el resultado de la iniciativa; muy buen trabajo.

Permíteme unos comentarios.

En la respuesta 2, al definir la relación de inclusión, dices "necesariamente ocurre" y creo que deberías decir simplemente "ocurre". El "necesariamente" conlleva demasiada filosofía y es inútil para la definición.

Ya lo he corregido. Gracias LauLuna.
Argentinator


En la respuesta 2, al exponer el axioma de elección, hablas de un conjunto que contenga "al menos un elemento" y creo que deberías decir "exactamente un elemento"; creo que en algunos usos del axioma de elección la diferencia puede ser relevante, por ejemplo, al deducir el lema de Zorn a partir del axioma de eleción, PERO NO ESTOY SEGURO AHORA MISMO.

En la respuesta 3 al enunciar el axioma de formación de clases deberías advertir que los objetos a los que se refiere no son clases cualesquiera sino conjuntos. Así la clase universal contiene a todos los conjuntos y sólo a ellos.

Finalmente, en lo referente a la filosofía que hay detrás de ZF frente a NBG/MK, me gustaría señalar el coste que conlleva el aceptar las clases propias (las que no son conjuntos) como objetos individuales: hay que prohibir porque sí la construcción de una clase que contenga alguna de ellas. Esto no es filosóficamente muy coherente: dejamos que el axioma de formación de clases (comprehensión) opere (más o menos) libremente (al contrario que en ZF) para darnos ciertos objetos individuales que luego resultan no ser objetos individuales porque no pueden ser elementos de clases; por ejemplo, no existe una clase unitaria que contenga a la clase universal. Entonces la libertad añadida con respecto a ZF resulta al final ilusoria, porque las paradojas no perdonan.

La idea de ZF me parece más coherente: sabemos por las paradojas que no es el caso que para cada propiedad de conjuntos exista el conjunto de todos los conjuntos que la poseen; restrinjamos entonces el axioma de comprehensión ingenuo y convirtámoslo en un axioma de separación o especificación: dada una propiedad P y un conjunto C, existe el conjunto de todos los elementos de C que poseen P. En realidad, esta idea es una versión de la tesis de teoría de modelos de que siempre que cuantificamos nuestros cuantificadores operan sobre un conjunto, nunca sobre un universo que no pueda ser un conjunto. Avances recientes en lógica sugieren que esa es la idea clave para la comprensión y evitación de las paradojas.

Pero reconozco que es posible que NBG/MK sean mejores para la práctica matemática en algunos aspectos. El axioma de formación de clases de MK es muy práctico pero también muy potente, hace a MK estrictamente más potente que NBG (creo que lo demostró Mostowski) y, por tanto, aumenta el riesgo de inconsistencia. Pero es cierto que uno sigue teniendo la poderosa impresión de que ZF, ZFC, NBG y MK son todas teorías consistentes.

Saludos.
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« Respuesta #10 : 22/05/2009, 07:38:19 pm »

ZFC MK MK :guiño:  NBG

Gracias por los comentarios LauLuna.
En cuanto pueda voy a revisar y corregir los axiomas acorde a tus sugerencias.
Aún me falta enunciar el sistema NBG (ya ha sido agregado a la lista de sistemas axiomáticos), que aunque es muy similar al MK, conviene tenerlo enunciado en forma separada para estudiarlo por sí mismo.

Toda sugerencia en este tema será más que bienvenida, porque no soy experto en los aspectos exactos y profundos de la lógica de estos días, y toda contribución de alguien que sabe de estos temas, como es tu caso, será muy valiosa.

Espero lograr el objetivo de acercar los axiomas lógicos actuales de la teoría de conjuntos a todos los que usan/usamos la matemática sin detenernos demasiado a pensar en estos temas.
Uno muchas veces sabe razonar correctamente, uno entiende que debe diferenciar entre conjuntos y clases, y que ciertas operaciones o construcciones de conjuntos están ''prohibidas'', pero llega un momento que no se puede llegar a comprender más sin meterse en el ''lodo'' y embarrarse de verdad en el asunto.

En cuanto ''sienta'' que esto de los axiomas está más o menos bien discutido y maduro, será momento de hilar más fino y comenzar desde el principio, o sea, los lenguajes de primer orden, la formación de fórmulas, y todo lo necesario para poder ''hablar'' correctamente el lenguaje de la lógica.

Por ahora eso lo he dejado intencionadamente ''en el aire'', asumiendo que uno ''entiende'' que hay reglas para formar proposiciones, que hay que poner cuantificadores de un modo y no de otro, mas me pareció que para que sea útil a todos quienes no tenemos familiaridad con el tema es mejor ir introduciendo estas cuestiones un poco ''anestesiadas'' o ''amortiguadas'', porque si no se pone duro el terreno, y por lo menos a mí me cuesta avanzar.

A veces el problema que he tenido a la hora de elegir el modo de presentar los axiomas es porque en distintas fuentes aparecen enunciados con sutiles diferencias. Principalmente me basé en el texto de Ivorra y en el resumen de Wikipedia. Me sorprendió hallar diferencias que me parecieron grandes.
Creo que es este hilo el adecuado para ir desglosando de a poco el significado de esas diferencias, o sea, discutir los distintos sistemas axiomáticos.

Así que Lau, te agradecería que me recomiendes una fuente de donde extraer y copiar los axiomas de cada uno de los 3 sistemas ZF, MK, NBG, que los lógicos consideren que son ''esos'' como deben presentarse y enseñarse, o sea, algo más o menos estandarizado.

Después de todo, necesitamos cierto consenso para que estos axiomas nos queden disponibles y así poder trabajar con ellos y usarlos en el trabajo matemático.
Después de ese consenso estoy más que dispuesto a discutir las distintas versiones de axiomas y sistemas, incluso esos sistemas algo exóticos que andan por ahí.

Una última observación, respecto a lo que dijiste de que en cierto sentido ZF es ''mejor'' que NBG.
Lo que creo entender de tu exposición es que ''supuestos más débiles'' dan lugar a ''menor riesgo de paradojas'', o sea, si tengo menos axiomas o menos fuerza en cada axioma, el riesgo de que los axiomas se ''peleen'' entre sí es menor.
Eso está muy bien, pero según he visto en Ivorra, por ejemplo, hay muchos puntos de contacto entre ambos sistemas axiomáticos, y según tengo entendido, uno puede ir más o menos libremente de un enfoque al otro.
Parece a simple vista que NBG trabaja con más ''objetos'' (o sea, clases), pero que al restringirse a ''conjuntos'' ambas teorías serían totalmente equivalentes, por un lado, y que en NBG/MK las pruebas son más simples e intuitivas.
Desde este último punto de vista sería ''preferible'' el sistema NBG o el MK, por la manera en que uno puede expresarse y probar cosas, sin necesidad de salirse de lo que uno conoce como teoría clásica de conjuntos y clases.
El sistema ZF me parece más rudo para un matemático (aunque tal vez no lo sea, y quizá sólo me lo parece a mí).

En Ivorra se estudian las relaciones entre ambos sistemas, y por lo poco que alcancé a entender, da la sensación de que son sistemas muy cercanos entre sí, y que todo lo que se prueba en un sistema, para conjuntos, es cierto en el otro sistema, y que esto sigue siendo cierto incluso en el caso de que en NBG/MK se usen ''clases'' en los pasos intermedios de las demostraciones, mientras que en ZF no. ¿Es esto correcto?

Otro texto que tengo a mano, por supuesto, es el famoso libro de Kelley de Topología, en cuyo apéndice están los axiomas MK, según los listara Kelley hace medio siglo atrás.

La lucha por comprender será ardua, pero en ello estamos.
Saludos
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LauLuna
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« Respuesta #11 : 24/05/2009, 04:30:25 pm »

Hola Argentinator,

El artículo de Von Neumann se puede encontrar en Van Heijenoort, como probablemente sabes. Pero también sabrás que la formulación original de Von Neumann cayó pronto en desuso y que solemos usar la de Gödel. Por eso, un "locus classicus" para NBG es el artículo de Gödel de 1940 sobre la consistencia del axioma de elección. Mendelson, en 'Introduction to Mathematical Logic' (ed. 1997, p. 225 y ss.) da una versión que no se aparta mucho de la de Gödel.

La cuestión respecto de NBG es si conservamos la pléyade de axiomas de existencia de clases (siete en la versión de Mendelson, ocho en la de Gödel) o los sustituimos por el esquema axiomático de formación de clases, que simplifica la exposición y, de todas maneras, resulta ser equivalente a un conjunto finito de sus instancias.

Si en el esquema de formación de clases permitimos que que la fórmula utilizada B(x) contenga cuantificadores sobre clases y no sólo conjuntos, tenemos MK (lo que no implica que podamos formar clases de clases sino sólo que podemos formar clases de conjuntos con ayuda de la cuantificación sobre clases). Compruebo en Mendelson que efectivamente Mostowski demostró en 1951 que MK prueba la consistencia de NBG y, por tanto, es más fuerte que éste, si éste es consistente.

ZFC y NBG son equivalentes, como dices, en cierto sentido. NBG es una extensión conservativa de ZFC (es decir, no demuestra nada en el lenguaje de ZFC que ZFC no demuestre) y lo que NBG dice sobre clases propias, podemos apañarnos en ZFC para expresarlo, como también dices.

Ivorra es una buena fuente; la entrada de Wikipedia para NBG me parece también excelente:

http://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann%E2%80%93Bernays%E2%80%93G%C3%B6del_set_theory#Axiomatizating_NBG

Un saludo



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« Respuesta #12 : 24/05/2009, 07:07:41 pm »

ZFC MK MK :guiño:  NBG

En todo caso, no estoy tan interesado sobre la versión original de los axiomas,
sino cómo es que han quedado tras el paso de los años.
Imagino que esos axiomas se han pulido, reformulado y escrito de un modo u otro, acorde a distintos criterios,
ya sea pedagógicos o de razones teóricas,
y que se han ido estabilizando hacia algún tipo de formato ya algo estandarizado.

Así que si me dices que Ivorra y NBG de Wikipedia son fuentes fiables, te tomo la palabra.
Voy a buscar el libro de Mendelson para completar el trabajo.

Muchas gracias Lau por tu ayuda

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« Respuesta #13 : 14/08/2009, 01:43:06 am »

ZFC MK MK :guiño:  NBG

Permíteme unos comentarios.

En la respuesta 2, al definir la relación de inclusión, dices "necesariamente ocurre" y creo que deberías decir simplemente "ocurre". El "necesariamente" conlleva demasiada filosofía y es inútil para la definición.

He hecho la corrección acorde a tu sugerencia.

En la respuesta 2, al exponer el axioma de elección, hablas de un conjunto que contenga "al menos un elemento" y creo que deberías decir "exactamente un elemento"; creo que en algunos usos del axioma de elección la diferencia puede ser relevante, por ejemplo, al deducir el lema de Zorn a partir del axioma de eleción, PERO NO ESTOY SEGURO AHORA MISMO.

Si vos no estás seguro, yo menos aún.

En la respuesta 3 al enunciar el axioma de formación de clases deberías advertir que los objetos a los que se refiere no son clases cualesquiera sino conjuntos. Así la clase universal contiene a todos los conjuntos y sólo a ellos.

He corregido esto acorde a tu sugerencia. La razón de que originalmente lo había puesto mal es que no estaba demasiado seguro de cómo definían esto otros autores, y quizá yo mismo no terminaba de entender bien si se cuantificaba sobre conjuntos o clases. Es la falta de práctica en este campo. Pero me he convencido finalmente de que lo que decías estaba más que bien, y he agregado entonces algunas convenciones y abreviaturas que aparecen en el libro de Ivorra, a fin de que quede todo bien definido.


Finalmente, he notado que Ivorra hace uso de un signo descriptor.
Me gustaría saber si ciertos teoremas o axiomas de las teorías tanto ZFC como MK pueden darse sin recurrir a ese signo descriptor.

Por ejemplo, cuando se dice en el Axioma de formación de clases que hay una única clase Y que satisface bla bla bla, Ivorra escribe algo como [texx]Y|\forall{x}(x\in Y \Leftrightarrow{\phi(x)})[/texx].

¿Hay una forma equivalente de escribir esa fórmula sin el uso de descriptores?

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LauLuna
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« Respuesta #14 : 14/08/2009, 12:59:09 pm »

Dice Argentinator:

Cita
Finalmente, he notado que Ivorra hace uso de un signo descriptor.
Me gustaría saber si ciertos teoremas o axiomas de las teorías tanto ZFC como MK pueden darse sin recurrir a ese signo descriptor.

Por ejemplo, cuando se dice en el Axioma de formación de clases que hay una única clase Y que satisface bla bla bla, Ivorra escribe algo como [texx]Y|\forall{x}(x\in Y \Leftrightarrow{\phi(x)})[/texx].

¿Hay una forma equivalente de escribir esa fórmula sin el uso de descriptores?

Ese descriptor debe ser equivalente al de Russell, que normalmente se simboliza mediante una yota. El descriptor tiene dos funciones:

1. Implica unicidad.
2. Convierte una descripción en un nombre, es decir, permite nombrar a través de una descripción del objeto nombrado.

La unicidad puede expresarse sin el descriptor. Si quiero decir que existe un solo x que es P, digo que existe un x que es P y que todo y que es P, es igual a x.

En cuanto a la función de servir como nombre, entendemos que los lenguajes formales disponen de constantes individuales que pueden introducir cuando haga falta para nombrar un objeto destacado. Un sistema formal podría, naturalmente, incorporar el descriptor para dar nombres a los objetos cuya existencia demuestra pero no creo que sea necesario.

Pensándolo bien, ni siquiera el uso de constantes individuales parece imprescindible. Por ejemplo, para decir:

el único conjunto que es P pertenece al único conjunto que es Q

podríamos decir

existen x e y tales que x es P, y es Q, x pertenece a y, para todo z, si z es P, z=x, para todo w, si w es Q, w=y.

El descriptor es más útil en el metalenguaje o en la metateoría.

Un saludo.
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Jabato
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« Respuesta #15 : 14/08/2009, 05:40:47 pm »

Hay una cuestión que quisiera plantear aquí, no se que os parecerá. En mi opinión parece que desde un punto de vista meramente intuitivo los conjuntos serían una construcción mental del hombre en cuanto que son colecciones de objetos (parece que el término "colección" es altamente subjetivo y por lo tanto es imaginado, es menos natural) y deberían ser posteriores a los elementos y sus propiedades que son conceptos mucho más primitivos (tamaño, forma, color, ubicación, etc). Pienso que sería más lógico considerar a los elementos y sus propiedades como elementos básicos de la teoría de conjuntos y a partir de ellos definir los conceptos de clase y conjunto, lo que a primera vista parece relativamente sencillo. Así podríamos establecer como primer axioma de una nueva teoría de conjuntos la existencia de infinitos elementos, cada uno de ellos con infinitas propiedades y como segundo axioma la exigencia de que dos elementos son iguales si y solo si satisfacen las mismas propiedades. A partir de aquí definir los conceptos de conjunto y de clase parece relativamente sencillo, creo, y mostrar un modelo capaz de aunar las teorías mostradas en el debate parece que sería posible.

¿Porqué mantener dos teorías (ó más) distintas si podemos mantener una sola unificada?

¿Nadie se ha planteado nunca la posibilidad de tal unificación?

Por ejemplo, para la teoría ZFC, bastaría con definir conjunto como la reunión de elementos que satisfacen una (ó varias) determinada propiedad, y a partir de ahí el resto sería similar a lo ya expuesto. Probablemnte habría que salvar algunos escollos, pero a primera vista parece que sea posible realizar la unificación de todas las teorías en una sola.

Saludos, Jabato.
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« Respuesta #16 : 14/08/2009, 10:40:00 pm »

ZFC MK MK :guiño:  NBG

La motivación principal de este thread es que haya en el foro del rinconmatematico una lista con los sistemas axiomáticos estándar de conjuntos, enunciados en forma precisa, usando los signos y convenciones que se usan actualmente en la teoría moderna de lenguajes formales y lógica matemática.
Además se procura dejar una explicación intuitiva de lo que significa cada axioma.


No está demás discutir el porqué de dichas teorías, me parece que está bien hablar un poco de eso acá.
Si el debate se abre demasiado por otras ramas, se puede separar en otro hilo.

Te cuento cuál es mi impresión sobre las teorías de conjuntos tal como están especificadas actualmente.
Me ha quedado un post muy largo, pero no lo puedo reducir.
Me parece que todo lo que te voy a decir forma parte del panorama que explica por qué no hay una teoría unificada.

El creador de la teoría de conjuntos es George Cantor, un poco antes del año 1900.
El señor Cantor consideraba a los conjuntos como "colecciones" de cualquier cosa, en un sentido intuitivo.
Él no había dado una definición concreta de "conjunto" o de "clase", o de "elemento".

Sin embargo, el uso intuitivo y sin restricciones de la idea "intuitiva" de conjunto como una colección, conduce a paradojas inaceptables, como Bertrand Russell mostró con sus clásicos ejemplos.
No puede existir un conjunto que contenga a todos los conjuntos, pues debiera contenerse a sí mismo, y esto conduce a paradojas.
(A lo mejor sería bueno dejar fijo también un hilo donde se enumeren las paradojas clásicas de la lógica y la teoría de conjuntos).

Los matemáticos de los años 1900 reaccionaron de diversas formas ante la teoría de conjuntos.
Russell mostró que había paradojas, Hilbert simpatizaba enormemente con las ideas de Cantor, y sostuvo que valía la pena considerar a los conjuntos como parte fundamental de la matemática, y bastaba para ello andarse con cuidado para evitar paradojas.
Hubo otros matemáticos que se resistieron a Cantor considerando que su teoría era algo descabellado, o que de matemática no tenía nada.

El hecho es que los "conjuntos" sobrevivieron.
Pero para ello es necesario considerar que ciertas "clases" no son "conjuntos".
Es una distinción algo arbitraria, pero es un requisito técnico ineludible, porque la matemática no puede darse el lujo de ser autocontradictoria.

Todo esto muestra que, históricamente, la formalización de la teoría de conjuntos surgió como una necesidad técnica ante todo, y fue posterior a su "implantación" inicial en el mundo matemático. Al principio se usaba sin formalización, o poca formalización, o con formalizaciones incompletas, o erróneas, o autocontradictorias.

Los matemáticos de aquellos tiempos en torno al 1900 y posterior, se preguntaban cuál era el mejor fundamento para la teoría de conjuntos. Eso requiere discutir cuáles son todos los axiomas necesarios para sostener el trabajo de los matemáticos, y a su vez asegurarse de que no haya paradojas.
Cuando los axiomas son demasiado potentes o arriesgados, afirman demasiado, y llega un momento que se obtiene una contradicción, o un disparate.
Si los axiomas dicen demasiado poco, entonces no alcanza para usar a la teoría de conjuntos como lenguaje para toda la matemática existente.

Un equilibrio entre ambos requisitos es un asunto muy delicado.

De esta manera surgen varios enfoques distintos, y teorías alternativas, según el resultado del esfuerzo de cada investigador.

Los sistemas ZFC, NBG y MK son, hasta donde yo sé, los sistemas más estandarizados, y que uno puede usar en el trabajo matemático.

Unificar las teorías es algo deseable... pero también es deseable investigar alternativas.
Así como antes había una sola geometría, la euclidiana, y luego surgieron las variedades,
también con la teoría de conjuntos se pueden estudiar sistemas alternativos.
La diferencia está en que los conjuntos se usan como lenguaje de la matemática.
No son una teoría más. También está en relación estrecha con la lógica misma, y los detalles a veces se mezclan.
Los conjuntos se meten hasta los tuétanos en la matemática, así que hay que ir con cuidado acerca de lo que se permite ser conjunto, y lo que no, etc.

Con respecto a la consistencia de "una teoría de conjuntos dada", está el teorema de Godel para decirnos que jamás podremos probar si una tal teoría es consistente.
Estamos un poco en tinieblas con eso.
Pero eso no nos autoriza a poner cualquier cosa como axioma, porque dentro de nuestro conocimiento, debemos evitar las fuentes de inconsistencia.

Una teoría de conjuntos inconsistente significa dejar toda la matemática inútil.
Es peor que el acelerador de partículas LHC.

Me parece que no hay una teoría completamente unificada porque el campo de los fundamentos de la matemática y la teoría de conjuntos es aún un tema de investigación en desarrollo.

El problema no es unificar y punto, sino que la gente no se pone de acuerdo sobre cuál debiera ser ese sistema único.
Es un gran logro tener tan sólo 3 teorías de conjuntos.
Cada una de esas teorías ha unificado unas cuantas otras variantes que antes han sido propuestas por muchos investigadores.
Quizá algún día haya una sola teoría estándar fijada de una vez por todas, pero parece que no hay mucho apuro por eso.

Como ya se ha discutido unos posts antes, según explica Ivorra, el sistema ZFC se puede considerar como un subsistema de NBG o MK.
Sin embargo, cuando hablamos de conjuntos y no de clases, ambos sistemas prueban los mismos teoremas.
Lo que es cierto en uno, es también cierto en el otro.

Creo que eso te está dando bastante unificación de teorías.
No hay peligro en considerar una u otra, porque en el trabajo matemático cotidiano ambas teorías conducen a los mismos resultados.

La diferencia está en las clases propias.
En la teoría ZFC las clases no existen. Esto es así porque se usan construcciones o enfoques "menos arriesgados" desde el punto de vista lógico.
Si alguna vez se probara que la teoría MK es inconsistente, aún tendríamos a mano la teoría ZFC, que prueba los mismos teoremas, pero que todavía tendría la chance de ser consistente, matemáticamente válida.

Sin embargo la teoría MK sobrevive porque mediante el "truquillo" de usar clases y conjuntos permite a los matemáticos trabajar de una manera más clara para ellos, sin tener que involucrarse en las restricciones expresivas que le impone la teoría ZFC.

Para ser más explícito.
Las propiedades de los elementos x, NO SON ELEMENTOS básicos de la teoría de conjuntos.
No hay propiedades.
En el lenguaje formal que se usa para la teoría de conjuntos, lo que se usa son fórmulas genéricas que actúan sobre variables.
Estas fórmulas se construyen en base a reglas mecánicas bien precisas.

De esta manera, los "conceptos" ya no son parte de la matemática.
Se han sustituido las "propiedades" por fórmulas vacías sin significado.

Ahora bien, ZFC trabaja exclusivamente con fórmulas (lógicas) actuando sobre cierta variable x, y uno las interpreta intuitivamente como "propiedades", pero son sólo signos encadenados sin significado previo.

En la teoría MK dada una fórmula (de la lógica formal) F(x), se introduce el Axioma de que "existe una clase C_F tal que sus elementos son todos aquellos que hacen verdadera la fórmula lógica F(x)".

El Axioma de Formación de clases no es, pues, un solo Axioma, sino una familia de infinitos axiomas, uno por cada fórmula F(x) que uno es capaz de construir.
En este momento, una fórmula dada F(x) se identifica con una clase, y entonces se puede hablar de la propiedad F, porque hay una clase C_F en el sistema que tiene una correspondencia directa con la fórmula F.

Así que en MK sí se puede hablar de propiedades.

Y es por esto que es difícil decidirse por ZFC o MK.
Si nos quedamos con MK, tenemos más riesgos de inconsistencia, pero lo bueno es que podemos hablar de propiedades, incluso cuantificar indirectamente sobre propiedades, pues podemos cuantificar sobre las "clases" que definen esas propiedades.
Con ZFC no podemos cuantificar sobre todas las propiedades (siempre de manera indirecta), sino sólo en aquellas que definen o determinan un conjunto (Axiomas de Especificación y de Reemplazo, no hay Axioma de Formación de "conjuntos").

La teoría ZFC hace "malabarismos" para evitar las clases propias, porque suponen una fuente posible de contradicciones.

Pero es una teoría que hace falta tener en cuenta, porque es menos inconsistente...

A continuación hablaré de tus ideas de elementos y propiedades...
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Jabato
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« Respuesta #17 : 14/08/2009, 10:54:59 pm »

Bueno, no se si me has entenido, mi idea no es usar las teorías ya existentes sino crear una nueva teoría que determine la existencia de los elementos y de sus propiedades de forma axiomática.

1º.- Existen infinitos elementos distintos.

2º.- Cada elemento presenta infinitas propiedades, cualidades ó llámalas como prefieras, rasgos diferenciales que hacen que unos elementos se diferencien de otros.

3º.- Dos elementos son iguales si y solo si tienen las mismas propiedades.

Y a partir de aquí definir clase, conjunto, y los otros axiomas en "versión unificada".

¿Porque no puede hacerse algo así?, dame una razón concreta si la conoces, y si no dime que no la sabes, pero no me cuentes la historia completa de las TC, que ya más ó menos me hago una idea.

Saludos, Jabato.
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« Respuesta #18 : 14/08/2009, 11:01:22 pm »

ZFC MK MK :guiño:  NBG

Pienso que sería más lógico considerar a los elementos y sus propiedades como elementos básicos de la teoría de conjuntos y a partir de ellos definir los conceptos de clase y conjunto, lo que a primera vista parece relativamente sencillo.

¿Más fácil? Depende del punto de vista.
En todo caso, las "propiedades" ¿qué cosa son?
Hay que poner axiomas y reglas sobre ellas.
Si se aceptan elementos y propiedades como objetos de una misma teoría, esto significaría que uno podría ponerle cuantificadores a las propiedades, y además esto mismo es lo que estás sugiriendo al definir un elemento como aquel que satisface una lista de propiedades.

Sería algo así como: x es el elemento tal que [texx]F(x)[/texx] es cierta para toda propiedad F, tal que [texx]F\in L[/texx], donde L es una lista de propiedades.
El escribir eso en formato lógico ya supone complicaciones en el manejo de los signos que se refieren a una cosa y otra.
Habría que separar las aguas entre elementos y propiedades, para que no se confundan.
Entonces, cómo se define axiomáticamente un elemento o una propiedad.

Por otro lado, según "he oído" (aquí se acabó mi conocimiento) que existen teorías donde conviven los elementos, los conjuntos, y las propiedades. Al cuantificar sobre propiedades se usan lenguajes de segundo orden.
El lenguaje empleado para ZFC y MK es de primer orden.

Quizá LauLuna pueda precisar más sobre esto, pero los lenguajes de segundo orden merecen un estudio más detallado de consistencia, y me parece que al final complican el manejo lógico.
Fijate que todos estos axiomas se expresan en algún lenguaje formal, con reglas estrictas.
No he hablado mucho de ello, pero se trata de una gran cuestión.
¿Qué lenguaje formal debo usar y con qué reglas, para poder "decir" o "expresar" una teoría maravillosa que a mí se me ha ocurrido?
Si me sirvo del lenguaje coloquial, caigo de nuevo en riesgos (enormes) de inconsistencias.
Si uso un lenguaje formal, tengo que poner reglas que "no se peleen" entre sí al hablar de elementos y propiedades.
Tengo que inventarme el lenguaje, y tener cuidado con lo que estoy diciendo, porque podría estar "permitiendo" cosas alocadas, fuera del sentido común, o más precisamente, contrarias a "mi intención inicial".

Mi sospecha es que los lenguajes de segundo orden son más complicados, y "menos" consistentes, lógicamente hablando.
Pero la verdad es que casi no he visto nada de esto.

Los lenguajes de primer orden son más claros y sencillos de implementar,
pero requieren que dejemos las "propiedades" como algo que no está como un objeto "palpable" dentro de la teoría,
sino que son meras fórmulas vacías de significado, que uno interpreta luego según la costumbre, o las entiende como mejor le parezca.

La razón de usar fórmulas así, es que las fórmulas de la lógica formal son objetos que se pueden construir en forma objetiva, en un número finito de pasos.

Si no, ¿qué es una "propiedad"? Si aceptamos a una "propiedad" con toda la arbitrariedad que la mente humana permite, dentro de la gran bruma de los "conceptos posibles", no queda muy claro cuál es la frontera entre lo que es una "propiedad" y lo que no lo es.

En cambio, mediante el uso de fórmulas estrictas de un lenguaje formal, hasta una computadora puede determinar si algo es una fórmula o no.

También es cierto que hay infinitas fórmulas posibles. O sea, se pueden generar en cantidad infinita, pero se puede determinar si algo es o no una fórmula en un número finito de pasos.
Aprendi bastante de eso gracias al thread "Teorema de Godel" en este mismo subforo.
Si te da ganas de darte una vuelta por ahí, verás el sistema formal que fue construyendo Gustavo paso a paso.
Un sistema así es necesario para expresar luego axiomas de cualquier teoría, como por ejemplo la de conjuntos.

Las dificultades están, según me parece a mí, en construir todo desde cero con el suficiente cuidado para que no falte ni sobre nada, que no haya inconsistencias, y que todo funciones como los matemáticos desean.

En cuanto a teorías que cuantifican tanto sobre elementos como sobre propiedades, seguramente las habrá, y tendré que buscar por ahí a ver que encuentro.
Nunca me he puesto en ello porque antes quiero terminar de entender las teorías hechas con lenguajes de primer orden, que ya bastanta trabajo me dan.

En resumen, que hacer eso de mezclar elementos y propiedades en una misma teoría... no es algo tan trivial.
Los escollos no son "pequeños". Eso es lo que creo, a pesar de ignorar los detalles pertinentes.

He visto en algunos mensajes tuyos antiguos que te gusta la idea de construir teorías de conjuntos a partir de ciertos "elementos" primitivos, que no sean "conjuntos".
Eso es distinto a las teorías ZFC y MK, en las cuales todo elemento es también un conjunto (pues ser un elemento significa pertenecer a una clase o conjunto, y esto es lo mismo en MK a decir que estamos ante una clase que es conjunto... bla bla).

Tan sólo diré que sé que hay teorías en donde los investigadores "ensayan" esa propuesta, y analizan la mejor manera de construir una teoría por ese camino.
De nuevo no sé los detalles.

Hay algunos temas de los que no es fácil encontrar información matemáticamente clara y precisa.
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« Respuesta #19 : 14/08/2009, 11:41:53 pm »

ZFC MK MK :guiño:  NBG

pero no me cuentes la historia completa de las TC, que ya más ó menos me hago una idea.

Me imaginé que ya tenías idea, pero tuve que escribirlo igual, porque mi visión del asunto tiene que ver con todo el trasfondo histórico de las teorias de conjuntos.
Pero claro, había entendido que querías unificar ZFC con MK.

Es cierto que no había entendido que tu intención no era "unificar las teorías", sino unificar los "objetos" de la teoría.
Como sea, cuando haya que cuantificar sobre las "propiedades"... es como engolosinarse demasiado.

Yo tengo una idea de por qué no se puede, pero hay que renegar un poco con el lodo de los lenguajes formales.
Para decir cualquier cosa en matemática se usa un cierto lenguaje L, formado por todas las combinaciones finitas de una lista finita de signos, digamos [texx]\forall{\exists{\Rightarrow{\equiv{\sim{\wedge\vee\cap{\cup{\in{}}}\emptyset}}}}}  x|01[/texx].

Con esos signos se enuncian reglas de formación de fórmulas lógicas.
Estas reglas dan un mecanismo de formación de expresiones en forma sistemática, realizable por un programa de computadora, en un número finito de pasos.
La clave está en que una computadora sea capaz de realizar el trabajo de verificación o construcción de las fórmulas, y en finitos pasos.

Luego vienen los axiomas. Se dan infinitos axiomas, pero mediante una lista de reglas o esquemas que, de nuevo, una máquina es capaz de verificar en un número finito de pasos si una fórmula dada es o no un axioma.
Después se definen con el mismo espíritu los criterios de demostrabilidad, y de verdad matemática.

En resumidas cuentas, todo es computacionalmente calculable.

Ahora, la computadora es capaz de analizar una "propiedad" a la vez, porque una "propiedad" es una "fórmula", y para saber si algo es o no una fórmula, debe ejecutarse la rutina pertinente, y verificar paso a paso.

Si uno "cuantifica" sobre infinitas "propiedades", está pidiendo admitir que uno puede tomar infinitas "fórmulas" a la vez.
Esto computacionalmente no puede hacerse, y en ese caso hay que confiar en criterios puramente "humanos".
Uno puede quizá razonar sobre infinitos elementos de un lenguaje, pero es un poco "ridículo" hacer algo así, porque para razonar sobre objetos infinitos necesitamos una previa formalización, y eso aún no lo tenemos, porque en la etapa de construcción de expresiones de un lenguaje formal, se supone que "aún estamos construyendo los andamiajes de la teoría posterior".

Es un mundo sin reglas, pues las estamos creando.
Así que cualquier elucubración sobre infinitos objetos allí tiene un componente subjetivo, muy discutible, porque no hay manera de precisarlo.
Se considera que lo "finitario" es objetivo, porque es "empíricamente comprobable" si algo es una formula o no.

No obstante, a pesar de esta situación, hay gente que habla de teorías no finitarias, y demuestra cosas ahí.
Yo no me las creo del todo, pero puede ser también por mi ignorancia.

Cita
¿Porque no puede hacerse algo así?

Poder se puede, la gente lo está investigando... pero no está claro que sea mejor o preferible.
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