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Autor Tema: Demostraciones números cardinales infinitos  (Leído 6591 veces)
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Dogod
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« : 05/10/2008, 01:06:03 pm »

Hola, un saludo a todos nuevamente por aquí:

Requiero que me ayuden si es posible con el siguiente problema, debo decir que no es propiamente mío, yo estudio Ingeniería y no estoy viendo esta materia, pero unos amigos de la U. que estudian Matemáticas Puras andan apurados con estos ejercicios (pondré otro post) y a mí se me ha ocurrido que de pronto alguien los puede ayudar poniéndolos aquí, bueno aquí lo pongo y desde ya gracias de antemano de parte mía y de ellos:

1): Pruebe que si [texx]a + 1 = a[/texx] entonces [texx]a[/texx] es un número cardinal infinito.


Si [texx]a[/texx] es un número inifito cardinal y [texx]a\leq{bc}[/texx] pruebe que [texx]a\leq{b} [/texx] o [texx]a\leq{c}[/texx]


Un saludo a todos y muchas gracias (en otro post, el último problema).

Corregido, tambien es probar que[texx]a\leq{c}[/texx]

 




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« Respuesta #1 : 05/10/2008, 02:35:03 pm »

Dos cardinales son iguales si puede establecerse entre ellos una aplicación biyectiva. Bueno, pues establezcamos una aplicación biyectiva entre el conjunto N de los números naturales, y el conjunto N-{1}.

Al 1 corresponde el 2
Al 2 corresponde el 3
Al 3 corresponde el 4
Al (n-1) corresponde el (n)

Bien se puede establecer esta aplicación biyectiva, luego N-{1} tiene igual cardinal que N. [Asumo como premisa que el elemento {0} no pertenece a N.]

Si a un conjunto finito, le quitas un elemento

Al 1 corresponde el 2
Al 2 corresponde el 3
Al 3 corresponde el 4
Al (n-1) corresponde el n

Bueno, pues al n no le corresponde ningún elemento. Porque, si a un subconjunto finito le quitas un elemento, no puede tener el mismo cardinal.
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« Respuesta #2 : 05/10/2008, 02:42:37 pm »

Hay un problema famoso, el del Hotel de Hilbert.

Supongamos que tengo un hotel con infinitas habitaciones. Viene un nuevo visitante. ¿Dónde lo alojo? Bien, al huesped de la habitación 1 lo meto en la habitación 2, al huesped de la habitación 2 en la habitación 3, al huesped de la habitación 3 en la habitación 4. Así me queda libre la habitación 1.

De hecho, un conjunto es infinito si puede construirse una aplicación biyectiva entre el conjunto y uno de sus subconjuntos propios [un subconjunto propio es un conjunto que no contiene todos los elementos del conjunto. Por ejemplo, un subconjunto propio de {1, 2, 3} es {1,2}. {1, 2, 3} es un subconjunto impropio]

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Dogod
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« Respuesta #3 : 05/10/2008, 02:57:38 pm »

Hola, gracias, pues tocarà ver què dicen los muchachos de matemàticas para volver a preguntar,


Un saludo y gracias de nuevo
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« Respuesta #4 : 05/10/2008, 03:09:16 pm »



Si [texx]a[/texx] es un número inifito cardinal y [texx]a\leq{bc}[/texx] pruebe que [texx]a\leq{b} [/texx] o [texx]a\leq{c}[/texx]








Supongamos la negación de lo que hay que demostrar.

Supongamos que a>b y a>c. Y, a partir de ahí, se trata de llegar a una contradicción.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #5 : 06/10/2008, 07:33:57 am »

Hola

 Para demostrar con precisión lo que piden, sería bueno saber exactamente de que resultados y definiciones previas parten.

 Por ejemplo en alguno sitios se da como definición de conjunto infinito aquel que es biyectivo con uno de sus subconjuntos propios.

 Entonces para probar que si [texx]a+1=a[/texx], entonces [texx]a[/texx] es infinito, podría procederse así. Sea [texx]A[/texx] tal que [texx]card(A)=a[/texx].

 Como [texx]a+1=a[/texx] existe una biyección:

[texx] f:A\rightarrow{}A\cup \{*\}[/texx]

 que restringe a una biyección:

[texx] f':A-\{f^{-1}(*)\}\rightarrow{}A[/texx]

 Por tanto [texx]A[/texx] es biyectivo con un subconjunto propio y así es infinito.

 En cuanto a la segunda cuestión, utiliza que para cardinales infinitos:

[texx] bc=max(b,c)[/texx]

 (si no conoces esa propiedad intenta probarla; sino te sale pregunta).

Saludos.
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« Respuesta #6 : 06/10/2008, 09:23:00 am »



 En cuanto a la segunda cuestión, utiliza que para cardinales infinitos:

[texx] bc=max(b,c)[/texx]

 

Si [texx] max(b,c)=c[/texx], entonces como a[texx]\leq{}[/texx] b·c, tenemos que a[texx]\leq{}[/texx]c

Si [texx] max(b,c)=b[/texx], entonces como a[texx]\leq{}[/texx] b·c, tenemos que a[texx]\leq{}[/texx]b

Luego  a[texx]\leq{}[/texx]c ó a[texx]\leq{}[/texx]b




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