Problema de Octubre de 2003

 

Probar que cualesquiera sean los naturales  y , existe un polinomio  no constante de grado menor o igual que ,  cuyos coeficientes son enteros menores que  y mayores que   , tal que  dista de un número entero en menos de  .

 

Cuando estaba en la escuela secundaria, durante cierta clase aburrida, me puse a jugar con la calculadora buscando fracciones que aproximaran bien el valor de . Yo conocía dos, bastante populares:  y , que nos llegaron a través de los griegos y de los árabes respectivamente, y que de hecho constituyen las que mejor aproximan con denominador entre 1 y 99  y con denominador entre 1 y 999. Esto último no lo sabía   lo acabo de averiguar usando el Maple (y de hecho puedo agregar que  también es la mejor entre  y  )  pero sospechaba que si hubiera otras con denominador de 2 ó 3 dígitos, sería a esta altura muy famosa, de modo que probablemente no la hubiera. Por lo tanto mi búsqueda tenía lugar con fracciones de denominador de 4 ó 5 dígitos, siempre sin saber si había razones que hicieran seguro, o al menos probable, que yo las encontrara en caso de disponer de suficiente tiempo  y como la clase se me hacía eterna, me parecía muchísimo el tiempo que tenía para hacerlo. 

 

Podemos notar que el resultado del problema del mes se relaciona con dicha cuestión.

 

En efecto, consideremos el caso lineal, es decir con , y pongamos .  Entonces existe un polinomio de grado 1, es decir una función lineal  con  y   enteros tal que para cierto entero  vale

,

o sea

 

siendo además

 

Nótese que  siempre puede considerarse entre   y   , ya que eventualmente renombramos

 y   

Llamando ahora , queda

,

o equivalentemente,

 

 

Está claro que podemos suponer  ambos positivos.

Como no hay ninguna fracción con denominador menor que 100 que aproxime mejor que , y la misma no aproxima  con error menor que

 

        

 

y no hay ninguna con denominador entre 100 y 999 que aproxime mejor que , y ésta no lo hace con  error menor que

 

     ,

 

la tesis del problema propuesto debe verificarse para algún  entre 1000 y  99 999  (es decir de 4 ó 5 cifras) .

¡Y la aproximación será con error menor que

 !

De hecho la fracción  cumple lo pedido, y aproxima a  con error menor que .

 

 

Álvaro Corvalán  acorvala@dm.uba.ar

Rincón matemático  http://www.rinconmatematico.com