Este artículo forma parte de “Notas al Capítulo V”  del agotado Tomo I de Análisis Matemático de Julio Rey Pastor, Pi Calleja y César A. Trejo,  p. 330 y ss.

 

En esta primera entrega se introducen las matrices de Toeplitz y se muestra la enorme potencia de las transformaciones de Toeplitz al  probar con poco esfuerzo conocidos teoremas sobre sucesiones.

 

 

 

Algoritmos generales de convergencia y sumación.

Disponible en formato PDF

 

 

a)                                Transformación de Toeplitz.

 

Teorema 1.   Si una matriz infinita de números reales o complejos

 

 

cumple las condiciones:

 

  Cada columna tiene límite nulo, es decir

 

  ;

 

  Existe una constante K, independiente de n, tal que para todo  es

 

;

 

entonces, cualquier sucesión real o compleja  de límite nulo, , se transforma por la matriz  en una sucesión:

 

[1]                                          

 

que también tiene límite nulo, .

Obsérvese que la condición  implica la convergencia absoluta de las series formadas con los elementos de cada fila:

.

 

Teorema 2.  Si la matriz , además de cumplir las condiciones  y , cumple la condición

                                                                   


entonces, toda sucesión real o compleja  de límite finito  s
,  es decir , se transforma por la matriz T en una sucesión [1]  que tiene límite , es decir:

 

.

 

Teorema 3.  Si la matriz  T  tiene todos sus  elementos reales no negativos, y además cumple las condiciones a1) y a2), entonces:

Toda sucesión  de elementos reales, transformada por [1]  en la , verifica

 

 

[2]                        

 

 

 

Las matrices que originan la transformación [1]  en las tres condiciones ,  y   se llaman  matrices T  o de Toeplitz (1911).

Si se toma  para ,  para , se obtiene una matriz  T  que cumple las condiciones de hipótesis de los tres teoremas anteriores con , y origina una transformación, ya estudiada por Cauchy (1821) de una sucesión  en las de las medias aritméticas de sus n primeros términos

 

Obsérvese que en el teorema 3, la condición   implica la , y que en los teoremas 1 y 2, por conservarse acotados los términos , la condición  asegura la convergencia absoluta de las series [1], es decir, la existencia de la sucesión transformada .

 

Demostración del teorema 1. 

 

Dado , tomemos  tal que para  se conserve . Entonces por  es:

,

para cualquier n , y podremos poner:

.

Por  se puede tomar  ,    para todo , en que , .

Por lo tanto, ; es decir:  si ,  como queríamos demostrar.

 

 

Demostración del teorema 2.

 

Expresemos  con ; entonces en [1] se tiene

.

   La condición  asegura que el primer sumando del último miembro tiende a , mientras que la suma de la serie   tiende a cero para   por el teorema 1, lo que demuestra el teorema 2.

 

Demostración del teorema 3.

 

Probemos, por ejemplo, la primera desigualdad [2] .

Supuesto , sea un número cualquiera .

Entonces,  para , y por ser los elementos de T  reales no negativos, es

, para cualquier .

Fijado , para  por  y    queda , y por ser  arbitrario, es , es decir: 

.

 

Para una matriz que tenga elementos no todos positivos o nulos, puede no ser cierto el teorema 3.

 

Ejemplo 1.  La matriz T, de elementos

 

                                

 

cumple las condiciones , con . Pruébese que la sucesión

, ,  

se transforma por [1] en

,  

y no se cumple la conclusión [2].

Sin embargo, subsisten para esta matriz  T  los teoremas 1 y 2.

 

 

Si la matriz T hubiese tenido como elementos  

se cumpliría el teorema 1, pero no el teorema 2, y por consiguiente, tampoco el teorema 3, como se comprueba tomando  constante, mientras que  oscila. 

 


b)                                Medias aritméticas y geométricas. 

 

El resultado de Cauchy antes mencionado, referido al teorema 2, dice:  

 

Si una sucesión real o compleja  tiene límite , entonces la sucesión de medias aritméticas de los  primeros términos tiene el mismo límite,  

 

Análogamente se formula el teorema 3 para este caso

 

 

Si , resulta ,  como se verifica tomando logaritmos, es decir, también las medias geométricas de los n primeros términos de una sucesión convergente de términos positivos  , tiene el mismo límite.

Como corolario importante obtenemos:

 

Si en una sucesión cualquiera de términos positivos existe , entonces es .

            Porque la media geométrica de  es

 

Ejemplo 2.  Para demostrar que , basta ver que .

Obsérvese que el recíproco del corolario anterior puede no ser cierto:

Así, para  no existe, pues  y   , mientras que es .

 

c)  Más generalmente, suponiendo como antes , y elegida una sucesión de números positivos , tales que , se verifica:

 

Porque la matriz de elementos  si  cumple las hipótesis .

Para  deducimos el corolario:

Si es  entonces

 implica      

Ejemplo 3.  Si en la potencia de un binomio tomamos , resulta

 ,

y por lo tanto, si , también

 

 

            Ejemplo 4.  Si se toma , con logaritmos de base mayor que 1, resulta

 

.

 

Stirling mejoró esta fórmula, útil para el cálculo de factoriales grandes.

 

 

 

 

 

 

 

 

Preparado por Mario Augusto Bunge para

http://www.rinconmatematico.com

http://www.rinconmatematico.com/foros