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La fórmula para la suma de los cuadrados de los primeros

números naturales obtenida visualmente

Mario Augusto Bunge

Universidad de Buenos AIres

Ciclo Básico Común
Departamento de Matemática

mariobunge@hotmail.com

 

 

Probar por inducción completa la validez de

 

no parece ayudarnos a comprender cómo llegar a conjeturar esta relación.
Intentamos acá una aproximación geométrica.

 

 

Obteniendo el cubo de lado a partir del cubo de lado  

 

De un cubo de lado   pasaremos a un cubo de lado , conforme al procedimiento que sugieren las figuras, y que detallamos más abajo.

 

 

Tomamos tres rebanadas de sección cuadrada   y espesor , pegándolas sobre el cubo tal como se ve en la figura. Hecho esto, quedan a la vista tres "dientes". Rellenamos los dientes con tres lingotes de largo y sección .

En el encuentro de los tres lingotes queda todavía un vacío, que debemos rellenar con un pequeño cubo de lado  . De esta manera arribamos al  nuevo cubo, ahora de lado  .

Así, el cubo de lado    se obtiene del cubo de lado  adosándole la cubierta  consistente en esas tres rebanadas, más los tres lingotes, más el cubito.

 

 

El volumen del nuevo cubo

 

Cada una de las tres rebanadas tiene volumen  , mientras cada uno de los tres lingotes es de volumen    y, finalmente, tenemos el cubito, con volumen  .

Vemos así que el volumen del nuevo cubo se puede expresar haciendo intervenir la suma de los volúmenes de los constituyentes de la cubierta:

 


Hemos obtenido de esta forma una representación geométrica del desarrollo del cubo del binomio, para el caso en que ambos parámetros son positivos.[1]

 

 

En el particular caso en que el lado es un valor entero, digamos , y el módulo de avance es , se tiene

 

 

 

Desde acá en adelante, nos concentraremos en los cubos de lados enteros.

 

 

Avanzando por capas

 

Antes de continuar, miremos bien las muñecas rusas:[2]

 

 

Como se sabe, la más pequeña se puede guardar en la que le sigue en tamaño, y así sucesivamente, siendo así posible que la mayor guarde en su seno a todas las demás.

Una vez miradas las muñecas, estamos en condiciones de continuar.

 

Llamaremos al cubo de lado  (más brevemente, el  -cubo), y   a la cubierta  de espesor unitario formada por las ya mencionadas rebanadas, lingotes y el cubito unitario. Con esta notación

 

 

 

Además, el volumen de la capa  -ésima es

.

 

Como hemos visto, cada cubo con  se descompone en el  cubo anterior más su cubierta asociada y así tenemos:

 

 

 

 

Pero, como  , podemos poner

 

         

 

con lo que el 3-cubo queda realizado como el 1-cubo más las dos primeras capas.

 
Razonando de igual forma,

 

 

                                                                     

       

 

y así sucesivamente.  De esta forma llegamos a:

El cubo inicial, junto con sus n capas, producen el cubo n+1 - ésimo

 

 


de donde, finalmente:


El volumen del "último" cubo se obtiene sumando,  al volumen del cubo inicial, el volumen de sus capas  [3]

 

         (*)

 

Ahora observemos que siendo

,

 

al dar a k sucesivamente los valores 1, 2, ..,n, podemos obtener el volumen total de las capas:



 

 

 

Llegado este momento, y pensando en los lectores con poca experiencia con sumas como estas, reacomodaremos la misma suma, mostrándola en columnas [4].

 

 

 

 

 

 

 

Sumando la columna izquierda tenemos el triple de , el triple de , el triple de , hasta el triple de , lo que podemos poner también como , donde abreviamos

.

La columna central nos da  el triple de 1, el triple de 2, etc., hasta el triple de , lo que sumado nos da , donde hemos puesto 



Por último,  la columna derecha está formada por unos, y como hay n sumandos, la suma nos da exactamente .

 

Ya falta poco...

 

Volviendo a (*), y habida cuenta que   y  , (*) se transforma en


                                                                                                 

O bien:

          (**)

 

Recuérdese también la conocida fórmula para  la suma de los  primeros n naturales: 




Ahora en (**) todo es conocido, salvo , que es precisamente lo que nos proponemos conocer.

 

 

Resistimos a la tentación de desarrollar el cubo de , pero aprovechamos que  está presente en todos los sumandos,

 

 

Este es el momento oportuno para desarrollar paréntesis y reagrupar:

      

 

 

de donde


.

 

y recordando quién es , se tiene

 

 

 

Que es lo que queríamos obtener.

 

 

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[1] "Aunque estos diagramas son tan viejos como el álgebra, es sorprendente lo muy escasos que son los profesores que se molestan en mostrárselos  a sus alumnos". Martin Gardner en  Rosquillas anudadas y otras amenidades matemáticas. Editorial Labor 1987.

[2] Busque matrioshka con el Google, y dentro del Google vaya a la opción "imágenes".

[3] ¿Esto le recuerda a las muñecas rusas?

[4] Resulta innecesario esperar que el alumno conozca el significado de la sumatoria.