Sucesiones sumables (Series)

Mario Augusto Bunge

Ciclo Básico Común

Universidad de Buenos Aires

 

El símbolo de sumatoria

 

Supóngase dada una cantidad finita de números, digamos   y consideramos su suma

 

En ocasiones es conveniente más hacer breve esta expresión, y esto se logra mediante el símbolo de suma , llamado sumatoria, cuya utilización pasamos a describir.

Pondremos

 

En el especial caso en que sea  , .

El elemento  se llama término general de la suma y, en muchos casos prácticos, es  preciso conocer el aspecto de este término general.

El número  que figura debajo del símbolo  se llama índice de sumación , y entendemos que los valores que toma este índice son  

Más generalmente,  si  y  son  dos números enteros, con , pondremos

  

En este contexto, el número  se llama límite inferior de la suma , en tanto  es el límite superior de esa suma.

 

Ejemplos.

 

a)         Se quiere expresar la suma de los cuadrados de los primeros 10 naturales:

 

o sea,

 

Como es fácil ver, el término general  es , con lo que nuestra suma puede adquirir el aspecto más descansado  .  Así, se tiene la igualdad

 

donde el lado izquierdo debe entenderse como una notación más compacta del lado derecho.

 

Si queremos considerar solamente 
 pondremos

 

b)         La suma  , con la notación de sumatoria, se escribe , lo cual no nos debiera sorprender durante demasiado tiempo. La apariencia anómala se debe a que no figura algo así como  , cosa que se subsanaría formalmente definiendo . Claramente esta precisión sería tediosa y absolutamente inútil. 

Con esta notación, , ya que estamos sumando el número  a medida que avanza el índice de sumación:   habiendo entonces  sumandos.  Por lo mismo,  el lector entenderá las igualdades     y   .

 

c)         Fijemos un número real , y consideremos sus primeras potencias

 

 

Utilizando la notación estándar para su suma, se tiene

 

.

Con la notación compacta, y teniendo presente que el término general es
, ponemos

.

Así

 

Como   y , será más natural poner

 

 

Volveremos sobre esta suma.

 

Observación.  Una vez familiarizados con la notación sumatoria, debe resistirse a la tentación de abandonar definitivamente la notación tradicional. En ocasiones las manipulaciones son más claras cuando se hacen al estilo clásico. Por lo tanto, seremos dueños, y no esclavos, del símbolo de sumatoria.

 

 

 

Propiedades elementales de la sumatoria

 

Sean dos listas  finitas de números, digamos   y  . Entonces se cumplen las siguientes propiedades.

 

·        Aditividad  (suma término a término)

 

  

                 (  es un número fijo)

 

Prueba de la aditividad.

                                               Surge de la definición de suma, más una aplicación reiterada de las conocidas propiedades asociativa y conmutativa de la suma

 

     

     

 

Prueba de la homogeneidad.

                                                           Se basa solamente de la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma:

 

 

 

Combinando ambas propiedades, se obtiene la también llamada linealidad:

   

 

Ejemplos.

a)   

b)    (tener presente que   es la         suma de  unos:   )

 

 

 

 

Sumas parciales y recurrencia

 

Supóngase que se tiene una lista de números reales, digamos

 

Podemos considerar las llamadas sumas  parciales

, 

, 

 

 

 

 

 
Ejemplos

a)   Dada , se tiene las sumas parciales  

              ,  ,   

b)   Para , con , las sumas parciales  son

,     ,      ,   ,   

c)   Dada la sucesión  cuyo término general es , se tiene

,  
,  
,    

y, como es fácil ver:

 

 

d)   (Puede omitirse en la primera lectura)

Las sumas parciales de la sucesión  tienen la expresión general

 

 

Si se quiere visualizar más en detalle las sumas parciales, será

 

 

 

 

 

 

En ocasiones, podría ocurrir que para el término general debamos hacer la distinción, según sea el índice par o impar:

Observando atentamente la evolución de las primeras sumas parciales, ya vemos lo que ocurre:

 

mientras, para las impares:

 

 

La recurrencia.

Observamos que una vez conocida , para calcular  no hace falta sumar los tres valores , sino que recurrimos a la cuenta realizada para calcular , ya que .  Para calcular  recurrimos a la cuenta hecha con , y le añadimos .(*)

Adviértase  que , y así sucesivamente.  Un hecho trivial que, sin embargo, deseamos destacar, es que . El  lector debe estar dispuesto a mostrar que esto es realmente así.

 

Ejemplos.

a)     Si es , entonces  

b)   La idea anterior puede extenderse en el siguiente sentido:  si nos preguntamos qué es , puede convenir escribir ambas sumas:

 

 

 

Y ahora reflexionamos: sumar hasta  es lo mismo que sumar hasta , tomarse un respiro y luego, partiendo desde , seguir hasta . Es por ello que si a  le quitamos , es como si sumáramos solamente después del respiro: partimos desde  y  terminamos en .

Así, por ejemplo,  .

A la suma de los primeros 107  términos le hemos quitado la suma de los primeros 28 , lo que equivale a arrancar desde el término 29.

 

c)   Para  ,  se tiene

 

 

 

Calculando sumas sin contar uno por uno

 

Todos sabemos que para calcular el total de  baldosas de un patio rectangular embaldosado de la manera común, no hace falta contar las baldosas una por una, sino que basta con multiplicar las cantidades de baldosas existentes en dos lados contiguos. Análogamente veremos que algunas sumas muy importantes, pueden ser conocidas ¡sin sumar todos los términos!

Daremos  unos ejemplos que corresponden a fórmulas muy populares.

 

Ejemplos.

a)   La suma de los primeros n naturales.

Queremos sumar  

.

Encontraremos una fórmula para esta suma. Veremos que   

Quizá el lector conozca ya el truco: pongamos

 

 

Miramos esta misma suma pero leyéndola de derecha a izquierda:

           .

Procedemos a sumar, pero antes las acomodamos para que se vea mejor el procedimiento:

 

 

 

Sumamos ahora, pero por columnas. Visualizamos las columnas:

 

  

Al sumar dentro de cada columna ,  vemos que siempre se tiene el mismo valor: . Además tenemos exactamente  columnas. Entonces

 

 

 

 

 

 

De esta forma, si queremos calcular , basta con hacer .  Hemos pues calculado la suma de los primeros cien naturales, ¡sin sumarlos uno por uno!.

 

b)   Suma de una progresión geométrica de razón , con  .

Queremos  calcular la suma

 .

Veremos que si , entonces

 

Pongamos

                                          (A)                               

 

 Ahora préstese atención al siguiente truco: multiplicamos por  ambos lados de la suma (A):

                                                                       

                                                               

Teniendo presente que si  es un número natural, entonces  es el producto de  por sí mismo  veces, se tiene , y entonces esto nos da

 

                                        (B)                                    

 

Obsérvese que (A) y (B)  tienen en común casi todos sus sumandos: desde  hasta . Si consideramos la diferencia, estos sumandos que viven en ambas expresiones se van a cancelar.

 

Restamos pues (B) de (A),  desapareciendo casi todo:

 

                                                                                                       

 

                                                                                                     

y como el factor de  es distinto de cero (siendo , es  ) , podemos dividir ambos lados de la igualdad  para obtener

                                            

que es lo que se quería probar.

 

Por ejemplo, para  y   se tiene  

Nota. esta suma es muy importante, y conviene que el estudiante  aprenda de memoria dos cosas:

a) El argumento que permite deducir la fórmula.

b) La igualdad hallada.

 

Aclaremos que esto no es una incitación a estudiar de memoria, lo que significaría  repetir un argumento sin comprenderlo. Sí en cambio es importante memorizar la estrategia.

Las siguientes sumas, conocidas como telescópicas,  serán de importancia

Sumas telescópicas

 

Una suma se llama telescópica cuando es de alguna de las siguientes formas

 

Examinaremos la primera, siendo la segunda enteramente análoga.

 

Los paréntesis se han colocado solamente para mostrar cómo aparece cada sumando, y quitándolos se hace más evidente que  entre primer y segundo grupo  mueren juntos  con su opuesto ; también se van juntos  con . Aunque no se muestra todo, el  del tercer grupo se cancela con el  del grupo inmediato.  Tampoco se “ve”, pero se siente, que el  del penúltimo grupo se cancela con su inmediato izquierdo (escondido entre los matorrales de los puntos suspensivos). Por fin, el  se cancela con su vecino .  Luego de tanta cancelación, solamente quedan dos sobrevivientes: los extremos  y , que no tienen con quién cancelarse. En definitiva, nos queda

 

Si tenemos presente cómo queda un telescopio al plegarlo o desplegarlo, se entiende la razón por las que estas sumas se llaman telescópicas.

Para “sentir” esta última forma, más que recurrir a la memoria (que puede traicionarnos) , resulta quizá más sencillo imaginar las sumas y luego sus cancelaciones.

 

Ejemplos.

a)   es una suma telescópica, y mirándola en detalle podremos luego cancelar, comprobando que

        

            O sea:

 

b)   Probemos que es telescópica (aunque de entrada no se note) , la siguiente suma.

 

 

Con una sencilla cuenta  comprobamos que , con lo cual

 

 

 

Así hemos obtenido prácticamente gratis la fórmula de condensación

 

 

Luego volveremos sobre esta fórmula.

 

Observación. Esta triquiñuela consistente en escribir , para de esta manera  escribir la suma propuesta de manera telescópica,  nos produce asombro en un primer contacto; Véase la Práctica para casos similares.

 

 

      c) Dado que para todo par de reales  e  vale , se podrá ver sin esfuerzo otra telescópica; observemos antes que en virtud de esta propiedad del  logaritmo,  se tiene  .

Analizamos ahora  

 

          

En fin: 

                  .

 

d)  (Este ejemplo puede omitirse en una primera lectura) 

 

Estudiaremos la suma    

Escribiremos esta suma de dos maneras distintas:

Por un lado, la telescopía nos suministra la igualdad

 

Por otro lado, teniendo presente que , se tiene

 

 

Hechas estas dos escrituras de la misma suma, los lados derechos tiene que resultar iguales:

 

Si además es , obtenemos   nuevamente la formula de condensación

  .

 

e)  (Puede omitirse en una primera lectura)

Encontraremos nuevamente la igualdad  , pero mediante un artificio de un alcance mayor, ya  que nos permitirá  luego calcular fórmulas para las sumas

, , etc.

Estudiamos la suma , bien telescópica ella:

    (A)

 

Por otro lado, la misma suma, aprovechando el hecho de que , toma el siguiente aspecto:

            (B)

donde hemos puesto  

Igualando ahora los lados derechos de (A) y (B)  se tiene

 

de donde

 

 

         

 

Observación. Puede pensarse que esta prueba es demasiado complicada comparada con la estrategia expuesta páginas atrás para obtener el mismo resultado. Ninguna es mejor que la otra, y en el ejemplo siguiente puede verse cómo esta misma estrategia nos permite hallar una fórmula para calcular la suma de los cuadrados de los primeros naturales,  

 

f)  (Puede omitirse en una primera lectura)

 

Llamemos  y consideremos la suma   

Como antes lo hiciéramos con , ahora calculamos   de dos maneras distintas.

Por un lado, la suma es telescópica:

     (I)

Por otro lado, y conociendo el desarrollo del cubo de una suma, en el paso  se obtiene

 

 

 

 

Esto lo aplicamos sobre cada sumando de , obteniendo

 (*)             (II)

 

Ahora bien,  (I)  y (II)  tienen en común el lado izquierdo, de manera tal que son iguales sus lados derechos:

 

Recordando que  es lo que queremos calcular, y que, como ya hemos probado,  , se tiene

  

y, luego de despejar un poco:

 

 

 

 

 

 

 

En fin:

 

 O sea

 

Obtuvimos así la fórmula

 

 (*)

 

Por ejemplo,

,

resultado al cual hubiésemos llegado solamente luego de largos padecimientos en caso de sumar cuadrados de los primeros cien números naturales.  

 

Podemos resumir algunas sumas importantes:

 

 

 

Sucesiones sumables (Series)

 

Ya sabemos sumar una cantidad finita de números; ahora queremos extender la noción de suma a una cantidad infinita de números reales.

Esto sería algo así como poner

 

donde los puntos suspensivos indicarían que sumamos indefinidamente. Pero ello significaría que jamás terminamos de sumar, lo que no parece prometedor. Como veremos a continuación, algo se puede rescatar.

El recurso es considerar las sumas parciales, que hemos visto anteriormente. Pongamos las sumas parciales asociadas:

 

 

 

 

A medida que aumenta , vamos sumando más y más, pero nunca nos detenemos. He aquí que el paso al límite, de existir, puede aligerar nuestra fatiga, como veremos enseguida.

 

Definición de sucesión sumable

 

Sea una sucesión  y llamemos  a la sucesión de sus sumas parciales.

Si existe un número real  tal  que , diremos que la sucesión  es sumable, con suma .

Si el límite mencionado no existe, o bien existe pero es infinito, diremos que la sucesión no es sumable.

 

Obsérvese entonces que con esta definición de sumabilidad, una sucesión infinita se puede “sumar” cuando, y solamente cuando, sus sumas parciales tienen un límite finito.

 

Ejemplos de sucesiones sumables

 

a)         Fijado un real  con , la sucesión    

           es sumable. Para verlo formamos las sumas parciales

 

,

 

 

y queremos averiguar si la sucesión de estas sumas parciales tiene un límite finito.

 

Como ya lo hemos calculado:

 

 Analizar entonces la existencia de límite finito para  se reduce a analizar la situación sobre .

Siendo

 

y puesto que   (recuérdese que hemos decidido considerar solamente el caso   ), se obtiene .

Esto nos dice que la sucesión considerada, cuando  es sumable, con suma .

 

b)         La sucesión 

  

 

no es sumable, ya que sus sumas parciales son

 

,             

 

 

y como la sucesión  de sus sumas parciales no tiene límite, concluimos que la sucesión   no es sumable.

 

c)         Probaremos que la sucesión   

no es sumable. La prueba, muy breve,  es por el absurdo.

 

Imaginemos, por un rato, que dicha sucesión es sumable. Ello significaría que sus sumas parciales  forman una sucesión con límite finito, digamos . Más precisamente:

 

Una suma parcial típica será

. 

Ahora bien, si , también lo mismo es cierto para la subsucesión de las sumas parciales de índice par:   , por lo cual, y gracias a que  es un número real, podemos restar sin problemas, y obtener

 

  (*)

Pero poniendo de manera explícita  , es fácil ver que se tiene

 

Así:

 

 

Pero la siguiente acotación será reveladora: la suma

 

de  sumandos(**), es seguramente  mayor que  veces el sumando más chico, que es  (el último sumando) . Más precisamente

 

Pero ahora obtenemos

 

 

lo que va en contra de .

El absurdo provino de suponer que las sumas parciales tenían límite finito. Por lo tanto, la sucesión de los recíprocos de los naturales no es sumable.

 

 

 

d)         Para la sucesión    

se tiene las sumas parciales   . Como vimos al introducir sumas telescópicas, es , merced a lo cual

  

En fin: , de donde  obtenemos que la sucesión de sumas parciales  tiene límite , lo que nos dice que la sucesión examinada es sumable, con suma  

 

Una vez aclarada la noción de sumabilidad de una sucesión, abandonaremos casi definitivamente la palabra sumable (abandonaremos la palabra, no el concepto), y  nos subordinaremos a la tradición, que habla de series. 

 

El lenguaje de las series

 

Ya hemos comprendido el significado de “sucesión sumable” . Conectaremos ahora este concepto con el concepto de serie convergente ,  que es el mismo, pero con una notación que incluye algunos abusos de notación y lenguaje; hemos querido evitar estos abusos al tomar contacto por primera vez con la idea de sumabilidad.

 

Partiendo de la sucesión  de números reales

                                                                                                 

podemos producir una nueva sucesión formada por las llamadas sumas parciales

                                                          

                                                  

y así sucesivamente, quedando definida la suma parcial

                                                                             

Esta nueva sucesión  de las sumas parciales se llama serie de término general , y es tradicional representarla por medio de alguna de las tres notaciones:

                                 

Cuando no haya lugar a confusión, podremos poner simplemente  .

           

Definición. Cuando la sucesión de sumas parciales  tiene un límite finito, decimos que la serie  converge, y a su límite lo llamamos igual que a la serie: . Si en cambio el límite es infinito, o bien no existe, decimos que la serie es divergente.

 

Observación.  Nótese los dos sentidos asignados a . Por un lado este símbolo denota a la sucesión  de las sumas parciales. Por otro, denota al límite de las sumas parciales, en caso de que este límite exista. Unos ejemplos aclararán este punto.

 
Ejemplos.

 

a) 

 

 

b)

 

c)

 

 

d)

.

 

 

Hemos entendido qué se entiende por convergencia de una serie, y qué por divergencia. También  hemos valorado la importancia que puede tener el armar las sumas parciales y estudiarlas. Nos interesa ahora desarrollar algunos criterios para detectar cuándo una serie converge o no, sin recurrir al análisis de las sumas parciales. Esto es así porque no todas las series convergentes tienen asociada una fórmula que nos informe de su suma, como hemos visto en el caso de las series geométricas de razón  con , ni tampoco son tan amables como la telescópica .

 

Es preciso obtener unos criterios para detectar el comportamiento de las series,  análogamente a lo que ocurre cuando estudiamos las sucesiones.

 

Disgresión. Un hecho sobre el cual invitamos a reflexionar: cambiar un número finito de términos de una sucesión no altera su sumabilidad. (por supuesto que en caso de convergencia, lo que sí se altera es la suma).

 

 

El más elemental de todos los criterios, es el llamado criterio de la condición necesaria, que pasamos a examinar.

 

 

Una condición necesaria para la convergencia de una serie cualquiera

 

Teorema. (Condición necesaria de Cauchy)

Si  es convergente, entonces .

Demostración.  Por hipótesis, la sucesión de sumas parciales  tiene límite finito. Más precisamente, existe un numero real  tal que  . Como también , deducimos que