Ciclo Básico Común
Universidad de Buenos Aires
Supóngase dada una cantidad finita de
números, digamos y consideramos su suma
En ocasiones es conveniente más hacer
breve esta expresión, y esto se logra mediante el símbolo de suma ,
llamado sumatoria, cuya utilización pasamos a describir.
Pondremos
En el especial caso en que sea ,
.
El elemento se llama término general de la suma y,
en muchos casos prácticos, es preciso
conocer el aspecto de este término general.
El número que figura debajo del símbolo
se llama índice de sumación , y entendemos
que los valores que toma este índice son
Más
generalmente, si y
son
dos números enteros, con
,
pondremos
En este contexto, el número se llama límite inferior de la suma , en
tanto
es el límite superior de esa suma.
Ejemplos.
a) Se quiere expresar la suma de los cuadrados de los primeros 10 naturales:
o sea,
Como es fácil ver, el término general es ,
con lo que nuestra suma puede adquirir el aspecto más descansado
. Así, se tiene la igualdad
b) La suma , con la notación de sumatoria, se escribe
,
lo cual no nos debiera sorprender durante demasiado tiempo. La apariencia anómala
se debe a que no figura algo así como
, cosa que se subsanaría formalmente
definiendo
.
Claramente esta precisión sería tediosa y absolutamente inútil.
Con esta notación, ,
ya que estamos sumando el número
a medida que avanza el índice de
sumación:
habiendo entonces
sumandos.
Por lo mismo, el lector
entenderá las igualdades
y
.
c) Fijemos un número real ,
y consideremos sus primeras potencias
Así
Como y
,
será más natural poner
Volveremos sobre esta suma.
Observación. Una vez familiarizados con la notación sumatoria, debe resistirse a la tentación de abandonar definitivamente la notación tradicional. En ocasiones las manipulaciones son más claras cuando se hacen al estilo clásico. Por lo tanto, seremos dueños, y no esclavos, del símbolo de sumatoria.
Sean dos listas finitas de números, digamos
y
.
Entonces se cumplen las siguientes propiedades.
(
es un número fijo)
Surge de la definición de suma, más una aplicación reiterada de las conocidas propiedades asociativa y conmutativa de la suma
Prueba de la homogeneidad.
Se basa solamente de la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma:
Combinando ambas propiedades, se obtiene la también llamada linealidad:
Ejemplos.
a)
b) (tener presente que
es la
suma de
unos:
)
Sumas parciales y recurrencia
Supóngase que se tiene una lista de números reales, digamos
Podemos considerar las llamadas sumas parciales
,
,
a) Dada
,
se tiene las sumas parciales
,
,
b) Para
,
con
,
las sumas parciales
son
,
,
,
,
c) Dada
la sucesión cuyo término general es
,
se tiene
y, como es fácil ver:
d) (Puede omitirse en la primera lectura)
Las sumas parciales de la sucesión tienen la expresión general
Si se quiere visualizar más en detalle las sumas parciales, será
En ocasiones, podría ocurrir que para el término general debamos hacer la distinción, según sea el índice par o impar:
Observando atentamente la evolución de las primeras sumas parciales, ya vemos lo que ocurre:
mientras, para las impares:
La recurrencia.
Observamos que una vez
conocida ,
para calcular
no hace falta sumar los tres valores
,
sino que recurrimos a la cuenta realizada para calcular
,
ya que
. Para calcular
recurrimos a la cuenta hecha con
,
y le añadimos
.(*)
Adviértase que ,
y así sucesivamente. Un hecho trivial
que, sin embargo, deseamos destacar, es que
.
El lector debe estar dispuesto a mostrar
que esto es realmente así.
Ejemplos.
a)
Si
es ,
entonces
b) La
idea anterior puede extenderse en el siguiente sentido: si nos preguntamos qué es ,
puede convenir escribir ambas sumas:
Y ahora reflexionamos: sumar hasta es lo mismo que sumar hasta
,
tomarse un respiro y luego, partiendo desde
,
seguir hasta
.
Es por ello que si a
le quitamos
,
es como si sumáramos solamente después del respiro: partimos desde
y
terminamos en
.
Así, por ejemplo, .
A la suma de los primeros 107 términos le hemos quitado la suma de los primeros 28 , lo que equivale a arrancar desde el término 29.
c) Para , se tiene
Todos sabemos que para calcular el total de baldosas de un patio rectangular embaldosado de la manera común, no hace falta contar las baldosas una por una, sino que basta con multiplicar las cantidades de baldosas existentes en dos lados contiguos. Análogamente veremos que algunas sumas muy importantes, pueden ser conocidas ¡sin sumar todos los términos!
Daremos unos ejemplos que corresponden a fórmulas muy populares.
Ejemplos.
a) La suma de los primeros n naturales.
Queremos sumar
.
Encontraremos una fórmula para esta suma.
Veremos que
Quizá el lector conozca ya el truco: pongamos
Miramos esta misma suma pero leyéndola de derecha a izquierda:
.
Procedemos a sumar, pero antes las acomodamos para que se vea mejor el procedimiento:
Sumamos ahora, pero por columnas. Visualizamos las columnas:
Al sumar dentro de cada columna , vemos que siempre se tiene el mismo valor: .
Además tenemos exactamente
columnas. Entonces
De esta forma, si queremos calcular ,
basta con hacer
. Hemos pues calculado la suma de los primeros
cien naturales, ¡sin sumarlos uno por uno!.
b) Suma de una progresión geométrica de razón ,
con
.
Queremos calcular la suma
.
Veremos que si ,
entonces
Pongamos
(A)
Ahora préstese atención al siguiente truco:
multiplicamos por ambos lados de la suma (A):
Teniendo
presente que si es un número natural, entonces
es el producto de
por sí mismo
veces, se tiene
,
y entonces esto nos da
(B)
Obsérvese
que (A) y (B) tienen en
común casi todos sus sumandos: desde hasta
.
Si consideramos la diferencia, estos sumandos que viven en ambas expresiones se
van a cancelar.
Restamos pues (B) de (A), desapareciendo casi todo:
y
como el factor de es distinto de cero (siendo
,
es
) , podemos dividir ambos lados de la
igualdad para obtener
que es lo que se quería probar.
Por ejemplo, para y
se tiene
Nota. esta suma es muy importante, y conviene que el estudiante aprenda de memoria dos cosas:
a) El argumento que permite deducir la fórmula.
b) La igualdad hallada.
Aclaremos que esto no es una incitación a estudiar de memoria, lo que significaría repetir un argumento sin comprenderlo. Sí en cambio es importante memorizar la estrategia.
Las siguientes sumas, conocidas como telescópicas, serán de importancia
Una suma se llama telescópica cuando es de alguna de las siguientes formas
Examinaremos la primera, siendo la segunda enteramente análoga.
Los
paréntesis se han colocado solamente para mostrar cómo aparece cada sumando, y
quitándolos se hace más evidente que
entre primer y segundo grupo
mueren juntos con su opuesto
;
también se van juntos
con
.
Aunque no se muestra todo, el
del tercer grupo se cancela con el
del grupo inmediato. Tampoco se “ve”, pero se siente, que el
del penúltimo grupo se cancela con su
inmediato izquierdo (escondido entre los matorrales de los puntos suspensivos).
Por fin, el
se cancela con su vecino
. Luego de tanta cancelación, solamente quedan
dos sobrevivientes: los extremos
y
,
que no tienen con quién cancelarse. En definitiva, nos queda
Si tenemos presente cómo queda un telescopio al plegarlo o desplegarlo, se entiende la razón por las que estas sumas se llaman telescópicas.
Para “sentir” esta última forma, más que recurrir a la memoria (que puede traicionarnos) , resulta quizá más sencillo imaginar las sumas y luego sus cancelaciones.
Ejemplos.
a)
es una suma telescópica, y mirándola en detalle podremos luego cancelar,
comprobando que
O sea:
b) Probemos que es telescópica (aunque de entrada no se note) , la siguiente suma.
Con
una sencilla cuenta comprobamos que ,
con lo cual
Así hemos obtenido prácticamente gratis la fórmula de condensación
Luego volveremos sobre esta fórmula.
Observación.
Esta triquiñuela consistente en escribir ,
para de esta manera escribir la suma
propuesta de manera telescópica, nos
produce asombro en un primer contacto; Véase la Práctica para casos similares.
c)
Dado que para todo par de reales e
vale
,
se podrá ver sin esfuerzo otra telescópica; observemos antes que en virtud de
esta propiedad del logaritmo, se tiene
.
Analizamos
ahora
En fin:
.
d) (Este ejemplo puede omitirse en una primera lectura)
Estudiaremos la suma
Escribiremos esta suma de dos maneras distintas:
Por un lado, la telescopía nos suministra la igualdad
Por otro lado, teniendo presente que ,
se tiene
Hechas estas dos escrituras de la misma suma, los lados derechos tiene que resultar iguales:
Si
además es ,
obtenemos nuevamente la formula de
condensación
.
e) (Puede omitirse en una primera lectura)
Encontraremos nuevamente la igualdad ,
pero mediante un artificio de un alcance mayor, ya que nos permitirá luego
calcular fórmulas para las sumas
,
,
etc.
Estudiamos la suma ,
bien telescópica ella:
(A)
Por otro lado, la misma suma,
aprovechando el hecho de que ,
toma el siguiente aspecto:
(B)
donde hemos puesto
Igualando ahora los lados derechos de (A) y (B) se tiene
de donde
Observación. Puede pensarse que esta prueba es
demasiado complicada comparada con la estrategia expuesta páginas atrás para
obtener el mismo resultado. Ninguna es mejor que la otra, y en el ejemplo
siguiente puede verse cómo esta misma estrategia nos permite hallar una fórmula
para calcular la suma de los cuadrados de los primeros naturales,
f) (Puede omitirse en una primera lectura)
Llamemos y consideremos la suma
Como antes lo hiciéramos con ,
ahora calculamos
de dos maneras distintas.
Por un lado, la suma es telescópica:
(I)
Por otro lado, y conociendo el desarrollo
del cubo de una suma, en el paso se obtiene
Esto lo aplicamos sobre cada sumando de ,
obteniendo
(*) (II)
Ahora bien, (I) y (II) tienen en común el lado izquierdo, de manera tal que son iguales sus lados derechos:
Recordando que es lo que queremos calcular, y que, como ya
hemos probado,
,
se tiene
y, luego de despejar un poco:
En fin:
O sea
Obtuvimos así la fórmula
Por ejemplo,
,
resultado al cual hubiésemos llegado solamente luego de largos padecimientos en caso de sumar cuadrados de los primeros cien números naturales.
Podemos resumir algunas sumas importantes:
Sucesiones sumables (Series)
Ya sabemos sumar una cantidad finita de números; ahora queremos extender la noción de suma a una cantidad infinita de números reales.
Esto sería algo así como poner
donde los puntos suspensivos indicarían que sumamos indefinidamente. Pero ello significaría que jamás terminamos de sumar, lo que no parece prometedor. Como veremos a continuación, algo se puede rescatar.
El recurso es considerar las sumas parciales, que hemos visto anteriormente. Pongamos las sumas parciales asociadas:
A
medida que aumenta ,
vamos sumando más y más, pero nunca nos detenemos. He aquí que el paso al
límite, de existir, puede aligerar nuestra fatiga, como veremos enseguida.
Definición de sucesión sumable
Sea
una sucesión y llamemos
a la sucesión de sus sumas parciales.
Si
existe un número real tal
que
,
diremos que la sucesión
es sumable, con suma
.
Si el límite mencionado no existe, o bien existe pero es infinito, diremos que la sucesión no es sumable.
Obsérvese entonces que con esta definición de sumabilidad, una sucesión infinita se puede “sumar” cuando, y solamente cuando, sus sumas parciales tienen un límite finito.
Ejemplos de sucesiones sumables
a) Fijado un real con
,
la sucesión
es sumable. Para verlo formamos las sumas parciales
,
y queremos averiguar si la sucesión de estas sumas parciales tiene un límite finito.
Como ya lo hemos calculado:
Analizar entonces la existencia de límite
finito para se reduce a analizar la situación sobre
.
Siendo
y
puesto que (recuérdese que hemos decidido considerar solamente
el caso
), se obtiene
.
Esto
nos dice que la sucesión considerada, cuando es sumable, con suma
.
b) La sucesión
no es sumable, ya que sus sumas parciales son
,
y
como la sucesión de sus sumas parciales no tiene límite,
concluimos que la sucesión
no es sumable.
c) Probaremos que la sucesión
no es sumable. La prueba, muy breve, es por el absurdo.
Imaginemos,
por un rato, que dicha sucesión es sumable. Ello significaría que sus sumas
parciales forman una sucesión con límite finito,
digamos
.
Más precisamente:
Una suma parcial típica será
.
Ahora
bien, si ,
también lo mismo es cierto para la subsucesión de las sumas parciales de índice
par:
, por lo cual, y gracias a que
es un número real, podemos restar sin
problemas, y obtener
Pero
poniendo de manera explícita ,
es fácil ver que se tiene
Así:
Pero la siguiente acotación será reveladora: la suma
de
sumandos(**), es seguramente mayor que
veces el sumando más chico, que es
(el último sumando) . Más precisamente
Pero ahora obtenemos
lo
que va en contra de .
El absurdo provino de suponer que las sumas parciales tenían límite finito. Por lo tanto, la sucesión de los recíprocos de los naturales no es sumable.
d)
Para la sucesión
se
tiene las sumas parciales . Como vimos al introducir sumas telescópicas,
es
,
merced a lo cual
En
fin: ,
de donde obtenemos que la sucesión de
sumas parciales
tiene límite
,
lo que nos dice que la sucesión examinada es sumable, con suma
Una vez aclarada la noción de sumabilidad de una sucesión, abandonaremos casi definitivamente la palabra sumable (abandonaremos la palabra, no el concepto), y nos subordinaremos a la tradición, que habla de series.
El lenguaje de las series
Ya hemos comprendido el significado de “sucesión sumable” . Conectaremos ahora este concepto con el concepto de serie convergente , que es el mismo, pero con una notación que incluye algunos abusos de notación y lenguaje; hemos querido evitar estos abusos al tomar contacto por primera vez con la idea de sumabilidad.
Partiendo
de la sucesión de números reales
podemos producir una nueva sucesión formada por las llamadas sumas parciales
y así sucesivamente, quedando definida la suma parcial
Esta
nueva sucesión de las sumas parciales se llama serie de
término general
,
y es tradicional representarla por medio de alguna de las tres notaciones:
Cuando no haya lugar a confusión,
podremos poner simplemente .
Definición. Cuando la sucesión de sumas parciales
tiene un límite finito, decimos que la serie
converge, y a su límite lo llamamos igual que
a la serie:
.
Si en cambio el límite es infinito, o bien no existe, decimos que la serie es
divergente.
Observación. Nótese los dos sentidos asignados a .
Por un lado este símbolo denota a la sucesión
de las sumas parciales. Por otro, denota al
límite de las sumas parciales, en caso de que este límite exista. Unos ejemplos
aclararán este punto.
a)
b)
c)
d)
.
Hemos entendido qué se entiende
por convergencia de una serie, y qué por divergencia. También hemos valorado la importancia que puede
tener el armar las sumas parciales y estudiarlas. Nos interesa ahora
desarrollar algunos criterios para detectar cuándo una serie converge o no, sin
recurrir al análisis de las sumas parciales. Esto es así porque no todas las
series convergentes tienen asociada una fórmula que nos informe de su suma,
como hemos visto en el caso de las series geométricas de razón con
,
ni tampoco son tan amables como la telescópica
.
Es preciso obtener unos criterios para detectar el comportamiento de las series, análogamente a lo que ocurre cuando estudiamos las sucesiones.
Disgresión. Un hecho sobre el cual invitamos a reflexionar: cambiar un número finito de términos de una sucesión no altera su sumabilidad. (por supuesto que en caso de convergencia, lo que sí se altera es la suma).
El más elemental de todos los criterios, es el llamado criterio de la condición necesaria, que pasamos a examinar.
Si es convergente, entonces
.
Demostración.
Por hipótesis, la sucesión de sumas parciales tiene límite finito. Más precisamente, existe
un numero real
tal que
.
Como también
,
deducimos que
Pero como es fácil ver, (haga las sumas parciales y reste!), de
donde tenemos
.
Ejemplos
a) La serie no es convergente, ya que
no existe.
b)
no converge si
,
ya que en este caso no se cumple la condición necesaria
c)
no converge,
ya que
d)
no converge, ya que no existe
e)
no converge, ya que
Advertencia. No se debe hacer decir al teorema más de lo que éste dice. El teorema dice que si la serie converge entonces forzosamente su término general ha de tender a cero. Dicho de otra forma: si el término general no tiende a cero, entonces la serie no puede ser convergente.
En cambio, el hecho de que el término general
tienda a cero nada dice sobre la
convergencia de la serie. Por ejemplo, como lo hemos analizado, la serie es divergente, sin importar que
.
Por lo tanto, pretender que sea convergente argumentando que
significa no haber reflexionado acertadamente
sobre el significado del teorema. (*)
Este teorema permite afirmar que ciertas series no convergen, pero nunca, jamás, puede ser argumento a favor de la convergencia de una serie.
Las series de términos no negativos son las más sencillas para estudiar, y su estudio constituirá una base para estudiar series con términos generales con signo variable.
Comenzaremos con un hecho clave, según luego se verá.
Propiedad. Dada una sucesión de términos no negativos
la sucesión de sus sumas parciales es una sucesión
creciente.
Demostración. Dado
que , en este paso estamos agregando
,
que es no negativo. Más precisamente:
O sea:
que es lo que se quería demostrar.
Como sabemos, toda sucesión creciente tiene límite: limite finito si la sucesión es acotada superiormente, y límite más infinito si la sucesión no está acotada superiormente. En vista de esto, la convergencia de una serie de términos no negativos es equivalente a la acotación superior de sus sumas parciales. A la luz de esta reflexión, el lector deberá ajustar los detalles del siguiente
Teorema.
Dada una serie de términos no negativos, se tiene:
Definición. Si
dos series y
son tales que existe un natural
tal que
para todo índice
,
se dice que la serie
es mayorante
de la serie
. También se dice que la primera está mayorada
o dominada por la segunda.
Ejemplos.
a)
mayora a la serie
,
ya que de
,
se obtiene
b)
dadas
las series de respectivos términos generales
y
, ninguna es mayorante de la otra.
Demostración. Pongamos
Puesto que ,
se tiene
O sea
Pero como sabemos, la convergencia de la
serie significa que sus sumas parciales
están acotadas superiormente: existe un
tal que
.
De ,
se tiene
,
lo que nos dice también que las sumas parciales
están acotadas superiormente. Como la
sucesión
es creciente, su acotación superior nos permite concluir que
tiene un límite finito. Pero esto es lo mismo que afirmar que la
serie
converge.
Observación. el
criterio sigue valiendo si la desigualdad es válida desde un natural en adelante. La
justificación queda a cargo del lector, y no debiera ser soslayada.
Es recomendable que el lector intente hacer un esbozo de la estrategia empleada en esta prueba, algo así como un croquis, en el que solamente escribirá los trazos más gruesos de la demostración. Luego intentará llenar mentalmente los claros dejados. Por fin intentará escribir toda una prueba completa y, si ya no le encuentra errores para remediar, se la dará a la crítica de uno o dos compañeros.
Ejemplos.
a) La serie es convergente:
Dado que ,
se tiene
, pero como hemos aprendido anteriormente, la
serie
es convergente. Por el criterio de comparación
es convergente la serie
. Los detalles referidos a que
y
no son una misma cosa deberán ser atendidos
por el lector.
Tomemos ,
y estudiemos
Siendo ,
todos los factores salvo el último son mayores que
,
de donde se obtiene
Como es fácil comprobar a partir de esto,
vale para todo natural
,
quedándonos las desigualdades
tomando recíprocos:
De este modo, la sucesión
queda dominada por
Ahora bien, estamos en presencia de una serie
geométrica de razón , siendo entonces una serie convergente de
términos no negativos. El criterio de comparación hace el resto. Todos los
detalles a cargo del lector.
Advertencia. Una aplicación desaprensiva del criterio de comparación puede traer resultados catastróficos. El siguiente procedimiento es equivocado, como deberá descifrar el lector.
Estudiar la convergencia de la serie donde
. Observamos que su término general no
satisface la condición necesaria
,
de donde se sigue que la serie no puede ser convergente .
Por otra parte, si consideramos la serie
de término general
,
se cumple entonces
(
) para todo índice, y además
es claramente convergente. En consecuencia
según el teorema de mayoración la serie
debe ser convergente. Encuentre el lector el
defecto.
Segundo criterio de comparación.
(Una serie de términos no negativos que domina a una serie divergente, es divergente)
Demostración 1.
Pongamos y
Que
diverge significa que la sucesión de las
sumas parciales
no está acotada superiormente. (Esto es por
el crecimiento de la sucesión de sumas parciales)
Como hiciéramos en la demostración del primer criterio, de la relación
deducimos
y como no está acotada superiormente, entonces por
ser
,
no puede estar
acotada superiormente. Pero esta última
condición, en el ambiente de las sucesiones de términos no negativos, es
equivalente a la divergencia de la serie
.
Demostración 2.
La prueba se hace por el absurdo,
teniendo en cuenta que el ambiente de las series de términos no negativos, solamente caben dos posibilidades: o bien la
serie converge o bien tiende a más infinito. Si fuese convergente, como esta serie es mayorante
de la serie de términos no negativos
,
esta última serie debería ser convergente, en virtud del primer criterio de
comparación. Pero esto va contra la hipótesis, donde se asume que
es divergente. Nos queda una única posibildad,
y es la divergencia de
Ejemplos.
a) La serie es divergente. Basta con comparar sus
términos con los de la serie (armónica)
divergente:
se cumple
;
ahora el segundo criterio de comparación hace el resto.
b) Estudiamos la serie . Sabemos que
.
Además, para
es
,
y así se tiene
.
El término general mayora al término general
,
cuya serie asociada es divergente. Por el teorema de comparación, la serie
examinada es divergente.
El siguiente criterio nos permitirá ampliar notablemente nuestro conocimiento sobre el comportamiento de numerosas series
Sea
una función no negativa y decreciente (por
lo tanto integrable Riemann sobre cada intervalo
)
Consideremos
ahora las sucesiones y
.
Entonces ambas tienen el mismo comportamiento: o ambas convergen o ambas divergen.
Prueba visual del criterio de la integral
Demostración. Comparando áreas, las figuras resultan elocuentes, y se tiene el par de desigualdades
o bien
Si está acotada superiormente, la desigualdad
izquierda revela que
está acotada superiormente, y por lo tanto
también lo estará
.
Si en cambio
no estuviese acotada superiormente, entonces
la desigualdad derecha revela que tampoco puede estarlo
. Así, o bien ambas sucesiones están acotadas
superiormente, o bien ambas no lo están. Siendo ambas sucesiones crecientes,
esto equivale a que o
bien ambas tienen límite finito, o bien ambas tienen límite más infinito.
Puede
también visualizarse ambas desigualdades en un solo gráfico, tomando en consideración
que el área bajo la curva entre y
está comprendida entre el área determinada
por los rectángulos grises, y el área determinada por los rectángulos mixtos.
Las series p
Se llaman series a las de la forma
,
donde
es un número real fijo.
Estudiaremos su comportamiento según los
valores que tome .
Cuando es se tiene la serie llamada armónica
,
la que ya sabemos divergente. Cuando es
,
resulta que
no tiende a cero, con lo cual para estos valores
de
la serie es divergente.
Utilizaremos ahora el criterio integral de Cauchy. Para ello consideremos la función no
negativa definida como
. Una inspección sobre su derivada nos
muestra que es una función decreciente, y por lo tanto integrable Riemann sobre
cada intervalo cerrado
contenido en
.
Además, como debía ser, se cumple
.
Según el criterio integral de Cauchy, las
sucesiones y
tienen ambas el mismo comportamiento. Estudiemos
pues
.
Según el valor de
tendremos:
Estaremos volviendo a estudiar la serie
armónica
, y al estudiar la integral asociada tenemos
Ahora pasamos al límite:
De donde la serie armónica resulta divergente, lo que ya habíamos averiguado por otros medios.
Observamos ahora que . En consecuencia
Hemos obtenido todo lo que necesitamos
para conocer el comportamiento de las series
.
|
Este resultado debe ser aprendido de memoria, ya que las series p se utilizan muy frecuentemente como series contra las cuales comparar otras series, para así obtener información sobre el comportamiento de estas últimas.
Obsérvese que el comportamiento de las p
series con ,
y
fue averiguado “a mano” anteriormente, lo que
no debiera ser desechado con el argumento de que el criterio de Cauchy nos
caracteriza las series p de un
solo golpe.
Un ejercicio más que saludable será hacer
la consideración geométrica que lleva al criterio de Cauchy, de manera totalmente
artesanal, para probar la convergencia de y
luego la divergencia de
.
O sea, sugerimos que para el primer caso esboce el gráfico de
para
entre
y
,
dibuje los rectangulitos correspondientes, compare áreas, y finalmente obtenga
razonadamente su conclusión. Algo análogo para el otro caso. Hágalo: no va
a haber perdido el tiempo.
a)
(homogeneidad)
Si es convergente, entonces para cada real fijo
,
es convergente, y además vale la igualdad
b)
(aditividad) Sean dos series convergentes y
.
Entonces la serie “suma” es convergente, y vale la igualdad
Demostración de a).
Pongamos
con
Vemos que
Por lo cual existe
Esto prueba a la vez la convergencia de y la igualdad
.
Hemos probado a).
En particular para ,
y dado que
,
se tiene que la convergencia de
implica la convergencia de
,
con la igualdad
Corolario 1. Si para algún real es
convergente, entonces
es convergente. Para verlo, basta multiplicar por
.
Advertencia El que sea es fundamental, como lo prueba el hecho de
que de la innegable convergencia de
,
no se puede inferir la convergencia de
.
Corolario 2. Para cada real ,
es divergente si y solamente si
es divergente.
Demostración de b)
Pongamos
con
con
La conmutatividad y la asociatividad de la suma de los números reales hacen posible escribir
de donde vemos que existe
(@)
Con esto probamos que la suma de dos sucesiones sumables, también es sumable.
Solamente nos falta ver que es igual a la suma de ambas series.
Pero esto es inmediato: por definición es y mirando en (@) se obtiene
Como sencilla aplicación de las propiedades de homogeneidad y aditividad, surge la siguiente proposición que el lector demostrará:
Proposición.
a) Dadas dos series
convergentes y
y dos reales cualesquiera
,
entonces
es convergente, y
b) Si
es convergente y
es divergente, entonces
es divergente.
Ejemplos.
a) La
serie diverge, ya que si fuera convergente, entonces,
al ser convergente la serie de término general
, también sería convergente la serie de
término general
, lo cual es conocidamente falso.
b) El lector debe buscar (y encontrar) por su cuenta al menos dos ejemplos más.
Series alternadas
Ampliaremos nuestro conocimiento sobre las sucesiones sumables. Ya no tendremos la restricción de tener sus términos no negativos, pero por el momento la libertad no será total: estudiaremos el problema de la sumabilidad para unas sucesiones que cambian alternadamente su signo.
Una serie cuyos términos son alternadamente positivos y negativos, como
se llama serie alternada.
También se llama serie alternada si presenta el aspecto
Observación. El
término general del primer ejemplo es, hablando estrictamente, y no
.
No obstante, un frecuente abuso de lenguaje lleva a que, en el ambiente de las
series alternadas, se hable de la serie alternada de término general
Ejemplos
a)
b)
El siguiente teorema fue descubierto por Leibniz.
Teorema. (criterio de Leibniz) Una condición suficiente para que una
serie alternada sea convergente es que su término general tienda decrecientemente a cero.
Más precisamente:
Dada con
,
una condición suficiente para que
sea convergente es que se cumplan las
condiciones
a) es decreciente
b)
Demostración. Probar que la serie converge es, desde luego, probar que la sucesión de sus sumas parciales tiene límite finito.
Tenemos una sucesión decreciente:
Pongamos
.
Estudiaremos a continuación el
comportamiento de las especiales sumas parciales y
Las sumas parciales de índice par son
Observar
que el decrecimiento de la sucesión garantiza
lo que nos muestra que cada una de estas sumas parciales se obtiene de la anterior agregándole un número no negativo. O sea que la subsucesión formada por las sumas parciales de índice par es creciente. Más formalmente:
El
crecimiento de nos asegura que
.
Por otra parte, es
Miramos
ahora la sucesión ,
pero agrupando de manera distinta:
Obsérvese
que a le estamos quitando todos elementos no
negativos: los entre paréntesis por ser
decreciente, y
porque la sucesión es no negativa por
hipótesis.
Por estas razones, tenemos la acotación
.
Tenemos
así que la sucesión es creciente y acotada superiormente (
es una cota superior) . Un conocido teorema
nos garantiza entonces que esta sucesión tiene un límite finito, digamos
.
Por otra parte la sucesión de las sumas parciales impares verifica
Como
ambos sumandos del lado derecho tienen cada uno límite, y
respectivamente, el lado izquierdo tiene
límite. Más precisamente
Tenemos
ahora y
Afirmamos que entonces la sucesión entera de las sumas parciales es convergente, que es lo que se quería demostrar.
Los
detalles quedan a cargo del lector, a quien ofrecemos un esbozo de la demostración:
tomando un entorno cualquiera de ,
por ser
, los
están metidos en ese entorno para valores
suficientemente avanzados de
.
Análogamente, y por ser
,
ese mismo entorno contiene los
para valores suficientemente avanzados de
.
De acá concluimos que si n es suficientemente grande, tanto
como
están en dicho entorno. Esto prueba que
.
Ejemplos. Estudiar la convergencia para a)
b)
a) Siendo la función logaritmo una función
creciente y positiva en ,
es una sucesión creciente y positiva para
,
y así
es decreciente y positiva.
Por
otro lado, puesto que ,
se tiene
Se cumple entonces las condiciones del teorema de Leibniz para series alternadas:
a) es decreciente y positiva
b)
En
consecuencia converge
b)
Vemos que esta serie está en las
condiciones del teorema de Leibniz para series alternadas: cumple
a) es decreciente
b)
En
virtud del teorema de Leibniz, es convergente.
Ejercicio propuesto. Con esta última serie, reproducir enteramente la demostración del teorema de Leibniz. Apuntar las estrategias, hacer un esbozo y luego ir completando los detalles. Una vez hecho, intentar contárselo a algún compañero.
Sea ahora una sucesión de números reales, de cualquier signo, y
consideremos la serie
(recuerde que esto
simboliza a la sucesión de las sumas parciales)
Definición. (Convergencia absoluta) Diremos que la serie converge absolutamente si converge la serie de los valores absolutos
Ejemplo. es absolutamente convergente, porque la
serie de los módulos es
,
bien convergente.
Ejemplos triviales de
series absolutamente convergentes son las series convergentes de términos no negativos, porque en este
caso
Definición. (Convergencia condicional) Una serie convergente pero no absolutamente convergente se llama condicionalmente convergente.
Ejemplos.
a) converge pero
no converge
b) converge pero
no converge.
Convergencia absoluta implica convergencia
Teorema. Toda serie absolutamente convergente es convergente.
Demostración. Sea
la serie absolutamente convergente. Por definición,
esto significa que la serie
es convergente.
Observemos ahora las
siguientes desigualdades .
Esto es así porque, cuando es positivo o nulo, todo se hace trivial al ser
. Cuando en cambio
es negativo,
y
siendo
se tiene
.
Gracias a estas desigualdades, tenemos
Pero esto significa que la
serie es una serie de términos no negativos,
mayorada además por la serie convergente
.
En virtud de un teorema de
comparación, la serie es convergente.
Ahora bien, como ya lo hemos discutido, la diferencia entre dos series convergentes es también una serie convergente, con lo que resulta convergente
Pero esto no es otra cosa que
Ejemplo. Veamos que la serie es absolutamente convergente
Ni soñar con una alternada,
ya que la sucesión tiene un comportamiento más que irregular.
Por fortuna, al considerar la serie de lo módulos se tiene
.
Se tiene así que la serie
de los módulos está mayorada por la serie de término general ,
bien convergente. El correspondiente teorema de mayoración nos garantiza la convergencia
de la serie de los módulos, y, en virtud del último teorema, la convergencia de la serie original.
Criterios de convergencia absoluta
Supóngase una serie
cualquiera , ya no de términos no negativos. Los
criterios aplicados a las series de términos no negativos se aplican, claro
está, a las series de la forma
. Consecuentemente, si por algún medio detectamos
la convergencia de
,
el teorema anterior nos garantiza la convergencia de
.
Obsérvese en cambio que la
divergencia de no obliga a la divergencia de
,
y de esto son testigos todas las series condicionalmente convergentes.
Criterios del cociente (criterios de la razón, o criterios de d’Alembert)
Por una conveniencia notacional que se apreciará luego, supondremos que la sucesión comienza con el índice cero. (esto es solamente a los fines demostrativos).
Tomamos una sucesión de
términos no nulos y formamos el llamado cociente de
d’Alembert
.
Con esto en mente, veamos el siguiente:
Criterio de d’Alembert (primera forma)
a)
Si existe un real y un natural
tal que para
se cumple
,
entonces la serie de término general converge absolutamente.
b)
Si existe un natural tal que para
se cumple
,
entonces la serie diverge [1]
Observación. En
cuanto a la condición a), no debe creerse
que ésta pueda reemplazarse por la
condición más débil , como lo muestra
la serie armónica,
,
ya que en este caso
y no obstante la
serie no converge.