Sucesiones sumables (Series)

Mario Augusto Bunge

Ciclo Básico Común

Universidad de Buenos Aires

 

El símbolo de sumatoria

 

Supóngase dada una cantidad finita de números, digamos   y consideramos su suma

 

En ocasiones es conveniente más hacer breve esta expresión, y esto se logra mediante el símbolo de suma , llamado sumatoria, cuya utilización pasamos a describir.

Pondremos

 

En el especial caso en que sea  , .

El elemento  se llama término general de la suma y, en muchos casos prácticos, es  preciso conocer el aspecto de este término general.

El número  que figura debajo del símbolo  se llama índice de sumación , y entendemos que los valores que toma este índice son  

Más generalmente,  si  y  son  dos números enteros, con , pondremos

  

En este contexto, el número  se llama límite inferior de la suma , en tanto  es el límite superior de esa suma.

 

Ejemplos.

 

a)         Se quiere expresar la suma de los cuadrados de los primeros 10 naturales:

 

o sea,

 

Como es fácil ver, el término general  es , con lo que nuestra suma puede adquirir el aspecto más descansado  .  Así, se tiene la igualdad

 

donde el lado izquierdo debe entenderse como una notación más compacta del lado derecho.

 

Si queremos considerar solamente 
 pondremos

 


b)         La suma  , con la notación de sumatoria, se escribe , lo cual no nos debiera sorprender durante demasiado tiempo. La apariencia anómala se debe a que no figura algo así como  , cosa que se subsanaría formalmente definiendo . Claramente esta precisión sería tediosa y absolutamente inútil. 

Con esta notación, , ya que estamos sumando el número  a medida que avanza el índice de sumación:   habiendo entonces  sumandos.  Por lo mismo,  el lector entenderá las igualdades     y   .

 

c)         Fijemos un número real , y consideremos sus primeras potencias

 

 

Utilizando la notación estándar para su suma, se tiene

 

.

Con la notación compacta, y teniendo presente que el término general es
, ponemos

.

Así

 

Como   y , será más natural poner

 

 

Volveremos sobre esta suma.

 

Observación.  Una vez familiarizados con la notación sumatoria, debe resistirse a la tentación de abandonar definitivamente la notación tradicional. En ocasiones las manipulaciones son más claras cuando se hacen al estilo clásico. Por lo tanto, seremos dueños, y no esclavos, del símbolo de sumatoria.

 

 


 

Propiedades elementales de la sumatoria

 

Sean dos listas  finitas de números, digamos   y  . Entonces se cumplen las siguientes propiedades.

 

·        Aditividad  (suma término a término)

 

  

                 (  es un número fijo)

 

Prueba de la aditividad.

                                               Surge de la definición de suma, más una aplicación reiterada de las conocidas propiedades asociativa y conmutativa de la suma

 

     

     

 

Prueba de la homogeneidad.

                                                           Se basa solamente de la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma:

 

 

 

Combinando ambas propiedades, se obtiene la también llamada linealidad:

   

 

Ejemplos.

a)   

b)    (tener presente que   es la         suma de  unos:   )

 

 

 

 

Sumas parciales y recurrencia

 

Supóngase que se tiene una lista de números reales, digamos

 

Podemos considerar las llamadas sumas  parciales

 

 

 

 

 
Ejemplos

a)   Dada , se tiene las sumas parciales  

              ,  ,   

b)   Para , con , las sumas parciales  son

,     ,      ,    

c)   Dada la sucesión  cuyo término general es , se tiene

,  
,  
,    

y, como es fácil ver:

 

 

d)   (Puede omitirse en la primera lectura)

Las sumas parciales de la sucesión  tienen la expresión general

 

 

Si se quiere visualizar más en detalle las sumas parciales, será

 

 

 

 

 

 

En ocasiones, podría ocurrir que para el término general debamos hacer la distinción, según sea el índice par o impar:

Observando atentamente la evolución de las primeras sumas parciales, ya vemos lo que ocurre:

 

mientras, para las impares:

 

 

La recurrencia.

Observamos que una vez conocida , para calcular  no hace falta sumar los tres valores , sino que recurrimos a la cuenta realizada para calcular , ya que .  Para calcular  recurrimos a la cuenta hecha con , y le añadimos .(*)

Adviértase  que , y así sucesivamente.  Un hecho trivial que, sin embargo, deseamos destacar, es que . El  lector debe estar dispuesto a mostrar que esto es realmente así.

 

Ejemplos.

a)     Si es , entonces  

b)   La idea anterior puede extenderse en el siguiente sentido:  si nos preguntamos qué es , puede convenir escribir ambas sumas:

 

 

 

Y ahora reflexionamos: sumar hasta  es lo mismo que sumar hasta , tomarse un respiro y luego, partiendo desde , seguir hasta . Es por ello que si a  le quitamos , es como si sumáramos solamente después del respiro: partimos desde  y  terminamos en .

Así, por ejemplo,  .

A la suma de los primeros 107  términos le hemos quitado la suma de los primeros 28 , lo que equivale a arrancar desde el término 29.

 

c)   Para  ,  se tiene

 

 

 

Calculando sumas sin contar uno por uno

 

Todos sabemos que para calcular el total de  baldosas de un patio rectangular embaldosado de la manera común, no hace falta contar las baldosas una por una, sino que basta con multiplicar las cantidades de baldosas existentes en dos lados contiguos. Análogamente veremos que algunas sumas muy importantes, pueden ser conocidas ¡sin sumar todos los términos!

Daremos  unos ejemplos que corresponden a fórmulas muy populares.

 

Ejemplos.

a)   La suma de los primeros n naturales.

Queremos sumar  

.

Encontraremos una fórmula para esta suma. Veremos que   

Quizá el lector conozca ya el truco: pongamos

 

 

Miramos esta misma suma pero leyéndola de derecha a izquierda:

           .

Procedemos a sumar, pero antes las acomodamos para que se vea mejor el procedimiento:

 

 

 

Sumamos ahora, pero por columnas. Visualizamos las columnas:

 

  

Al sumar dentro de cada columna ,  vemos que siempre se tiene el mismo valor: . Además tenemos exactamente  columnas. Entonces

 

 

 

 

 

 

De esta forma, si queremos calcular , basta con hacer .  Hemos pues calculado la suma de los primeros cien naturales, ¡sin sumarlos uno por uno!.

 

b)   Suma de una progresión geométrica de razón , con  .

Queremos  calcular la suma

 .

Veremos que si , entonces

 

Pongamos

                                          (A)                               

 

 Ahora préstese atención al siguiente truco: multiplicamos por  ambos lados de la suma (A):

                                                                       

                                                               

Teniendo presente que si  es un número natural, entonces  es el producto de  por sí mismo  veces, se tiene , y entonces esto nos da

 

                                        (B)                                    

 

Obsérvese que (A) y (B)  tienen en común casi todos sus sumandos: desde  hasta . Si consideramos la diferencia, estos sumandos que viven en ambas expresiones se van a cancelar.

 

Restamos pues (B) de (A),  desapareciendo casi todo:

 

                                                                                                       

 

                                                                                                     

y como el factor de  es distinto de cero (siendo , es  ) , podemos dividir ambos lados de la igualdad  para obtener

                                            

que es lo que se quería probar.

 

Por ejemplo, para  y   se tiene  

Nota. esta suma es muy importante, y conviene que el estudiante  aprenda de memoria dos cosas:

a) El argumento que permite deducir la fórmula.

b) La igualdad hallada.

 

Aclaremos que esto no es una incitación a estudiar de memoria, lo que significaría  repetir un argumento sin comprenderlo. Sí en cambio es importante memorizar la estrategia.

Las siguientes sumas, conocidas como telescópicas,  serán de importancia


Sumas telescópicas

 

Una suma se llama telescópica cuando es de alguna de las siguientes formas

 

Examinaremos la primera, siendo la segunda enteramente análoga.

 

Los paréntesis se han colocado solamente para mostrar cómo aparece cada sumando, y quitándolos se hace más evidente que  entre primer y segundo grupo  mueren juntos  con su opuesto ; también se van juntos  con . Aunque no se muestra todo, el  del tercer grupo se cancela con el  del grupo inmediato.  Tampoco se “ve”, pero se siente, que el  del penúltimo grupo se cancela con su inmediato izquierdo (escondido entre los matorrales de los puntos suspensivos). Por fin, el  se cancela con su vecino .  Luego de tanta cancelación, solamente quedan dos sobrevivientes: los extremos  y , que no tienen con quién cancelarse. En definitiva, nos queda

 

Si tenemos presente cómo queda un telescopio al plegarlo o desplegarlo, se entiende la razón por las que estas sumas se llaman telescópicas.

Para “sentir” esta última forma, más que recurrir a la memoria (que puede traicionarnos) , resulta quizá más sencillo imaginar las sumas y luego sus cancelaciones.

 

Ejemplos.

a)   es una suma telescópica, y mirándola en detalle podremos luego cancelar, comprobando que

        

            O sea:

 

b)   Probemos que es telescópica (aunque de entrada no se note) , la siguiente suma.

 

 

Con una sencilla cuenta  comprobamos que , con lo cual

 

 

 

Así hemos obtenido prácticamente gratis la fórmula de condensación

 

 

Luego volveremos sobre esta fórmula.

 

Observación. Esta triquiñuela consistente en escribir , para de esta manera  escribir la suma propuesta de manera telescópica,  nos produce asombro en un primer contacto; Véase la Práctica para casos similares.

 

 

      c) Dado que para todo par de reales  e  vale , se podrá ver sin esfuerzo otra telescópica; observemos antes que en virtud de esta propiedad del  logaritmo,  se tiene  .

Analizamos ahora  

 

          

En fin: 

                  .

 

d)  (Este ejemplo puede omitirse en una primera lectura) 

 

Estudiaremos la suma    

Escribiremos esta suma de dos maneras distintas:

Por un lado, la telescopía nos suministra la igualdad

 

Por otro lado, teniendo presente que , se tiene

 

 

Hechas estas dos escrituras de la misma suma, los lados derechos tiene que resultar iguales:

 

Si además es , obtenemos   nuevamente la formula de condensación

  .

 

e)  (Puede omitirse en una primera lectura)

Encontraremos nuevamente la igualdad  , pero mediante un artificio de un alcance mayor, ya  que nos permitirá  luego calcular fórmulas para las sumas

, , etc.

Estudiamos la suma , bien telescópica ella:

    (A)

 

Por otro lado, la misma suma, aprovechando el hecho de que , toma el siguiente aspecto:

            (B)

donde hemos puesto  

Igualando ahora los lados derechos de (A) y (B)  se tiene

 

de donde

 

 

         

 

Observación. Puede pensarse que esta prueba es demasiado complicada comparada con la estrategia expuesta páginas atrás para obtener el mismo resultado. Ninguna es mejor que la otra, y en el ejemplo siguiente puede verse cómo esta misma estrategia nos permite hallar una fórmula para calcular la suma de los cuadrados de los primeros naturales,  

 

f)  (Puede omitirse en una primera lectura)

 

Llamemos  y consideremos la suma   

Como antes lo hiciéramos con , ahora calculamos   de dos maneras distintas.

Por un lado, la suma es telescópica:

     (I)

Por otro lado, y conociendo el desarrollo del cubo de una suma, en el paso  se obtiene

 

 

 

 

Esto lo aplicamos sobre cada sumando de , obteniendo

 (*)             (II)

 

Ahora bien,  (I)  y (II)  tienen en común el lado izquierdo, de manera tal que son iguales sus lados derechos:

 

Recordando que  es lo que queremos calcular, y que, como ya hemos probado,  , se tiene

  

y, luego de despejar un poco:

 

 

 

 

 

 

 

En fin:

 

 O sea

 

Obtuvimos así la fórmula

 

 (*)

 

Por ejemplo,

,

resultado al cual hubiésemos llegado solamente luego de largos padecimientos en caso de sumar cuadrados de los primeros cien números naturales.  

 

Podemos resumir algunas sumas importantes:

 

 


 

Sucesiones sumables (Series)

 

Ya sabemos sumar una cantidad finita de números; ahora queremos extender la noción de suma a una cantidad infinita de números reales.

Esto sería algo así como poner

 

donde los puntos suspensivos indicarían que sumamos indefinidamente. Pero ello significaría que jamás terminamos de sumar, lo que no parece prometedor. Como veremos a continuación, algo se puede rescatar.

El recurso es considerar las sumas parciales, que hemos visto anteriormente. Pongamos las sumas parciales asociadas:

 

 

 

 

A medida que aumenta , vamos sumando más y más, pero nunca nos detenemos. He aquí que el paso al límite, de existir, puede aligerar nuestra fatiga, como veremos enseguida.

 

Definición de sucesión sumable

 

Sea una sucesión  y llamemos  a la sucesión de sus sumas parciales.

Si existe un número real  tal  que , diremos que la sucesión  es sumable, con suma .

Si el límite mencionado no existe, o bien existe pero es infinito, diremos que la sucesión no es sumable.

 

Obsérvese entonces que con esta definición de sumabilidad, una sucesión infinita se puede “sumar” cuando, y solamente cuando, sus sumas parciales tienen un límite finito.

 

Ejemplos de sucesiones sumables

 

a)         Fijado un real  con , la sucesión    

           es sumable. Para verlo formamos las sumas parciales

 

,

 

 

y queremos averiguar si la sucesión de estas sumas parciales tiene un límite finito.

 

Como ya lo hemos calculado:

 

 Analizar entonces la existencia de límite finito para  se reduce a analizar la situación sobre .

Siendo

 

y puesto que   (recuérdese que hemos decidido considerar solamente el caso   ), se obtiene .

Esto nos dice que la sucesión considerada, cuando  es sumable, con suma .

 

b)         La sucesión 

  

 

no es sumable, ya que sus sumas parciales son

 

,             

 

 

y como la sucesión  de sus sumas parciales no tiene límite, concluimos que la sucesión   no es sumable.

 

c)         Probaremos que la sucesión   

no es sumable. La prueba, muy breve,  es por el absurdo.

 

Imaginemos, por un rato, que dicha sucesión es sumable. Ello significaría que sus sumas parciales  forman una sucesión con límite finito, digamos . Más precisamente:

 

Una suma parcial típica será

Ahora bien, si , también lo mismo es cierto para la subsucesión de las sumas parciales de índice par:   , por lo cual, y gracias a que  es un número real, podemos restar sin problemas, y obtener

 

  (*)

Pero poniendo de manera explícita  , es fácil ver que se tiene

 

Así:

 

 

Pero la siguiente acotación será reveladora: la suma

 

de  sumandos(**), es seguramente  mayor que  veces el sumando más chico, que es  (el último sumando) . Más precisamente

 

Pero ahora obtenemos

 

 

lo que va en contra de .

El absurdo provino de suponer que las sumas parciales tenían límite finito. Por lo tanto, la sucesión de los recíprocos de los naturales no es sumable.

 

 

 

d)         Para la sucesión    

se tiene las sumas parciales   . Como vimos al introducir sumas telescópicas, es , merced a lo cual

  

En fin: , de donde  obtenemos que la sucesión de sumas parciales  tiene límite , lo que nos dice que la sucesión examinada es sumable, con suma  

 

Una vez aclarada la noción de sumabilidad de una sucesión, abandonaremos casi definitivamente la palabra sumable (abandonaremos la palabra, no el concepto), y  nos subordinaremos a la tradición, que habla de series. 

 


El lenguaje de las series

 

Ya hemos comprendido el significado de “sucesión sumable” . Conectaremos ahora este concepto con el concepto de serie convergente ,  que es el mismo, pero con una notación que incluye algunos abusos de notación y lenguaje; hemos querido evitar estos abusos al tomar contacto por primera vez con la idea de sumabilidad.

 

Partiendo de la sucesión  de números reales

                                                                                                 

podemos producir una nueva sucesión formada por las llamadas sumas parciales

                                                          

                                                  

y así sucesivamente, quedando definida la suma parcial

                                                                             

Esta nueva sucesión  de las sumas parciales se llama serie de término general , y es tradicional representarla por medio de alguna de las tres notaciones:

                                 

Cuando no haya lugar a confusión, podremos poner simplemente  .

           

Definición. Cuando la sucesión de sumas parciales  tiene un límite finito, decimos que la serie  converge, y a su límite lo llamamos igual que a la serie: . Si en cambio el límite es infinito, o bien no existe, decimos que la serie es divergente.

 

Observación.  Nótese los dos sentidos asignados a . Por un lado este símbolo denota a la sucesión  de las sumas parciales. Por otro, denota al límite de las sumas parciales, en caso de que este límite exista. Unos ejemplos aclararán este punto.

 
Ejemplos.

 

a) 

 

 

b)

 

c)

 

 

d)

.

 

 

Hemos entendido qué se entiende por convergencia de una serie, y qué por divergencia. También  hemos valorado la importancia que puede tener el armar las sumas parciales y estudiarlas. Nos interesa ahora desarrollar algunos criterios para detectar cuándo una serie converge o no, sin recurrir al análisis de las sumas parciales. Esto es así porque no todas las series convergentes tienen asociada una fórmula que nos informe de su suma, como hemos visto en el caso de las series geométricas de razón  con , ni tampoco son tan amables como la telescópica .

 

Es preciso obtener unos criterios para detectar el comportamiento de las series,  análogamente a lo que ocurre cuando estudiamos las sucesiones.

 

Disgresión. Un hecho sobre el cual invitamos a reflexionar: cambiar un número finito de términos de una sucesión no altera su sumabilidad. (por supuesto que en caso de convergencia, lo que sí se altera es la suma).

 

 

El más elemental de todos los criterios, es el llamado criterio de la condición necesaria, que pasamos a examinar.

 

 

Una condición necesaria para la convergencia de una serie cualquiera

 

Teorema. (Condición necesaria de Cauchy)

Si  es convergente, entonces .

Demostración.  Por hipótesis, la sucesión de sumas parciales  tiene límite finito. Más precisamente, existe un numero real  tal que  . Como también , deducimos que  

Pero como es fácil ver,   (haga las sumas parciales y reste!), de donde tenemos .

 

Ejemplos

a)      La serie  no es convergente, ya que  no existe.

b)        no converge si , ya que en este caso  no se cumple  la condición necesaria   

c)       no converge,  ya que  

d)       no converge, ya que no existe  

e)       no converge, ya que  

 

Advertencia.  No se debe hacer decir al teorema más de lo que éste dice. El teorema dice que si la serie converge entonces forzosamente su término general ha de tender a cero. Dicho de otra forma: si el término general no tiende a cero, entonces la serie no puede ser convergente.

En cambio, el hecho de que el término general tienda a cero nada dice  sobre la convergencia de la serie. Por ejemplo, como lo hemos analizado, la serie    es divergente, sin importar que . Por lo tanto, pretender que sea convergente argumentando que  significa no haber reflexionado acertadamente sobre el significado del teorema. (*)

Este teorema permite afirmar que ciertas series no convergen, pero nunca, jamás, puede ser argumento a favor de la convergencia de una serie.

 

 

Series de términos no negativos

 

Las series de términos no negativos son las más sencillas para estudiar, y su estudio constituirá una base para estudiar series con términos generales con signo variable.

 

Comenzaremos con un hecho clave, según luego se verá.

 

Propiedad. Dada una sucesión de términos no negativos

 

la sucesión  de sus sumas parciales es una sucesión creciente.

 

Demostración.  Dado que ,  en este paso estamos agregando , que es no negativo. Más precisamente:  

 

O sea:

 

que es lo que se quería demostrar.

 

Como sabemos, toda sucesión creciente tiene límite:  limite finito si la sucesión es acotada superiormente, y límite más infinito  si la sucesión no está acotada superiormente. En vista de esto, la convergencia de una serie de términos no negativos es equivalente a la acotación superior de sus sumas parciales. A la luz de esta reflexión, el lector deberá ajustar los detalles del siguiente

 

Teorema.

Dada una serie  de términos no negativos, se tiene:                                                                                                                                     

 

 

Definición.  Si dos series  y   son tales que existe un natural  tal que   para todo índice , se dice que la serie  es mayorante  de la serie .  También se dice que la primera está mayorada o dominada por la segunda. 

 

Ejemplos.

a)   mayora a la serie , ya que de , se obtiene  

b)     dadas las series de respectivos términos generales    y   , ninguna es mayorante de la otra.

 

 

Primer criterio de comparación.

 

(Una serie de términos no negativos dominada por una serie convergente, es convergente).

Sean
  unas sucesiones de números reales no negativos. Entonces 

Si
 converge,  entonces 
 converge

 

Demostración.  Pongamos    

 

 

 

Puesto que , se tiene

 

 

O sea

 

Pero como sabemos, la convergencia de la serie   significa que sus sumas parciales  están acotadas superiormente: existe un  tal que .

De , se tiene , lo que nos dice también que las sumas parciales  están acotadas superiormente. Como la sucesión  es creciente, su  acotación superior nos permite concluir que  tiene un límite finito.  Pero esto es lo mismo que afirmar que la serie  converge.

Observación.  el criterio sigue valiendo si la desigualdad  es válida desde un natural en adelante. La justificación queda a cargo del lector, y no debiera ser soslayada.

 

Es recomendable que el lector intente hacer un esbozo de la estrategia empleada en esta prueba, algo así como un croquis, en el que solamente escribirá  los trazos más gruesos de la demostración. Luego intentará llenar mentalmente los claros dejados. Por fin intentará escribir toda una prueba completa y, si ya no le encuentra errores para remediar, se la dará a la crítica de uno o dos compañeros.

 

Ejemplos.

a)      La serie  es convergente:  

Dado que , se tiene  , pero como hemos aprendido anteriormente, la serie   es convergente. Por el criterio de comparación es convergente la serie .  Los detalles referidos a que  y  no son una misma cosa deberán ser atendidos por el lector.

 

b)      Prueba de la convergencia de

 

Tomemos , y estudiemos   

Siendo , todos los factores salvo el último son mayores que , de donde se obtiene

 

Como es fácil comprobar a partir de esto, vale  para todo natural , quedándonos las desigualdades

 

tomando recíprocos:

 

 

De este modo, la sucesión                    

queda dominada por                           

Ahora bien, estamos en presencia de una serie geométrica de razón ,  siendo entonces una serie convergente de términos no negativos. El criterio de comparación hace el resto. Todos los detalles a cargo del lector.

 

Advertencia.  Una aplicación desaprensiva del criterio de comparación puede traer resultados catastróficos. El siguiente procedimiento es equivocado, como deberá descifrar el lector.

Estudiar la convergencia de la serie  donde .  Observamos que su término general no satisface la condición necesaria  , de donde se sigue que la serie no puede ser convergente .

Por otra parte, si consideramos  la serie   de término general , se cumple entonces    (  ) para todo índice, y además   es claramente convergente. En consecuencia según el teorema de mayoración  la serie  debe ser convergente. Encuentre el lector el defecto.

 

 

Segundo criterio de comparación.

 

(Una serie de términos no negativos que domina a una serie divergente, es divergente)

 

Sean
 unas sucesiones de números no negativos.

Si
 diverge  entonces 
 diverge

 

Demostración 1.

 

Pongamos  y   

Que   diverge significa que la sucesión de las sumas parciales  no está acotada superiormente. (Esto es por el crecimiento de la sucesión de sumas parciales) 

 

Como hiciéramos en la demostración del primer criterio, de la relación

  

deducimos

 

y como  no está acotada superiormente, entonces por ser , no puede estar  acotada superiormente. Pero esta última condición, en el ambiente de las sucesiones de términos no negativos, es equivalente a la divergencia de la serie .


Demostración 2.

 

La prueba se hace por el absurdo, teniendo en cuenta que el ambiente de las series de términos no negativos,  solamente caben dos posibilidades: o bien la serie converge o bien tiende a más infinito. Si fuese  convergente, como esta serie es mayorante de la serie de términos no negativos , esta última serie debería ser convergente, en virtud del primer criterio de comparación. Pero esto va contra la hipótesis, donde se asume que   es divergente. Nos queda una única posibildad, y es la divergencia de  

 

Ejemplos.

a)      La serie  es divergente. Basta con comparar sus términos con los de la serie (armónica)   divergente:  se cumple ; ahora el segundo criterio de comparación hace el resto.

 

b)      Estudiamos la serie  . Sabemos que . Además,   para  es , y así se tiene  .

El término general  mayora al término general , cuya serie asociada es divergente. Por el teorema de comparación, la serie examinada es divergente.

 

 

El siguiente criterio nos permitirá ampliar notablemente nuestro conocimiento sobre el comportamiento de numerosas series

 

 

 

El criterio integral de Cauchy.

 

Sea   una función no negativa y decreciente (por lo tanto integrable Riemann sobre cada intervalo  )

Consideremos ahora las sucesiones    y . Entonces ambas tienen el mismo comportamiento: o ambas convergen o ambas divergen.

 

           

 

 

                                                              

 

 

 


                                                                                                                                             

 

 

 

 

 

 


                                 

 

 

 

Prueba visual del criterio de la integral

 

Demostración.           Comparando áreas, las figuras resultan elocuentes, y se tiene el par de desigualdades

 

 

o bien

 

Si  está acotada superiormente, la desigualdad izquierda revela que   está acotada superiormente, y por lo tanto también lo estará . Si en cambio  no estuviese acotada superiormente, entonces la desigualdad derecha revela que tampoco puede estarlo  . Así, o bien ambas sucesiones están acotadas superiormente, o bien ambas no lo están. Siendo ambas sucesiones crecientes, esto equivale a que o

bien ambas tienen límite finito, o bien ambas tienen límite más infinito.

 

Puede también visualizarse ambas desigualdades en un solo gráfico, tomando en consideración que el área bajo la curva entre  y  está comprendida entre el área determinada por los rectángulos grises, y el área determinada por los rectángulos mixtos.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Las series p

Se llaman series  a las de la forma , donde  es un número real fijo.

Estudiaremos su comportamiento según los valores que tome .

Cuando es  se tiene la serie llamada armónica , la que ya sabemos divergente. Cuando es , resulta que  no tiende a cero, con lo cual para estos valores de  la serie es divergente.

Utilizaremos ahora el criterio integral de Cauchy. Para ello consideremos la función no

negativa   definida como .   Una inspección sobre su derivada nos muestra que es una función decreciente, y por lo tanto integrable Riemann sobre cada intervalo cerrado  contenido en . Además, como debía ser, se cumple .

Según el criterio integral de Cauchy, las sucesiones    y    tienen ambas el mismo comportamiento. Estudiemos pues . Según el valor de  tendremos:

  Estaremos volviendo a estudiar la serie armónica  , y al estudiar la integral asociada tenemos  

Ahora pasamos al límite:  

De donde la serie armónica resulta divergente, lo que ya habíamos averiguado por otros medios.

 

   

 

Observamos ahora que   . En consecuencia

 

 

Hemos obtenido todo lo que necesitamos para conocer el comportamiento de las  series .

 diverge si   y converge si  

 

Este resultado  debe ser aprendido de memoria, ya que las series p se utilizan muy frecuentemente como series contra las cuales comparar otras series, para así obtener información sobre el comportamiento de estas últimas.

Obsérvese que el comportamiento de las p series con ,  y  fue averiguado “a mano” anteriormente, lo que no debiera ser desechado con el argumento de que el criterio de Cauchy nos caracteriza las series p  de un solo golpe.

 

Un ejercicio más que saludable será hacer la consideración geométrica que lleva al criterio de Cauchy, de manera totalmente artesanal, para probar la convergencia de  y  luego la divergencia de . O sea, sugerimos que para el primer caso esboce el gráfico de  para  entre  y , dibuje los rectangulitos correspondientes, compare áreas, y finalmente obtenga razonadamente su conclusión. Algo análogo para el  otro caso.  Hágalo: no va a haber perdido el tiempo.

 

Propiedades de homogeneidad y aditividad

 

a)      (homogeneidad) Si  es convergente, entonces para cada real fijo ,  es convergente, y además vale la igualdad  

 

b)      (aditividad) Sean  dos series convergentes   y .

Entonces la serie “suma”   es convergente, y vale la igualdad

 

 

Demostración de a).

 

Pongamos

  con  

           

 

Vemos que

       

Por lo cual  existe

 

Esto prueba a la vez la convergencia de   y la igualdad 

.

Hemos probado a).

 

En particular para , y dado que , se tiene que la convergencia de  implica la convergencia de , con la igualdad

 (*)

 

Corolario 1. Si para algún real  es  convergente, entonces  es convergente.  Para verlo, basta multiplicar por .

 

Advertencia El que sea  es fundamental, como lo prueba el hecho de que de la innegable convergencia de , no se puede inferir la convergencia de .

Corolario 2. Para cada real ,  es divergente si y solamente si  es divergente.

 

 

 

Demostración de b)

 

Pongamos

  con  

    con  

           

 

La conmutatividad y la asociatividad de la suma de los números reales hacen posible escribir

 

de donde vemos que existe

  (@)

Con esto probamos que la suma de dos sucesiones sumables, también es sumable.

Solamente nos falta ver que  es igual a la suma de ambas series.

Pero esto es inmediato:  por definición es  y mirando en (@) se obtiene

 

 

Como sencilla aplicación de las propiedades de homogeneidad y aditividad, surge  la siguiente proposición  que el lector demostrará:

 

Proposición.

a)         Dadas  dos series convergentes   y  y dos reales cualesquiera , entonces   es convergente, y   

 

b)         Si  es convergente  y   es divergente, entonces

                  es divergente.

 

Ejemplos.

a)         La serie  diverge, ya que si fuera convergente, entonces, al ser convergente la serie de término general ,  también sería convergente la serie de término general  , lo cual es conocidamente falso.

b)         El lector debe buscar (y encontrar) por su cuenta al menos dos ejemplos más.

 

 

Series alternadas

 

Ampliaremos nuestro conocimiento sobre las sucesiones sumables. Ya no tendremos la restricción de tener sus términos no negativos, pero por el momento la libertad no será total: estudiaremos el problema de la sumabilidad para unas sucesiones que cambian alternadamente su signo.

 

Una serie cuyos términos son alternadamente positivos y negativos, como

 

se llama serie alternada.

 

También se llama serie  alternada si presenta el aspecto

 

 

Observación.  El término general del primer ejemplo es, hablando estrictamente,  y no . No obstante, un frecuente abuso de lenguaje lleva a que, en el ambiente de las series alternadas, se hable de la serie alternada de término general  

 

 

Ejemplos  

      a)    

      b)    

 

 

El siguiente teorema fue descubierto por Leibniz.

 

Teorema. (criterio de Leibniz)  Una condición suficiente para que una serie alternada sea convergente es que su término general  tienda decrecientemente a cero.

Más precisamente:  

Dada   con , una condición suficiente para que  sea convergente es que se cumplan las condiciones

a)  es decreciente

b)  

 

Demostración.    Probar que la serie converge es, desde luego, probar que la sucesión de sus sumas parciales tiene límite finito.

Tenemos una sucesión decreciente:

 

Pongamos

.

Estudiaremos a continuación el comportamiento de las especiales sumas parciales  y  

Las sumas parciales de índice par son

 

 

 

 

Observar que el decrecimiento de la sucesión  garantiza

  

lo que nos muestra que cada una de estas sumas parciales se obtiene de la anterior agregándole un número no negativo. O sea que la subsucesión formada por las sumas parciales de índice par es creciente. Más formalmente:

El crecimiento de  nos asegura que . Por otra parte, es

 

 

Miramos ahora la sucesión , pero agrupando de manera distinta:

 

Obsérvese que a  le estamos quitando todos elementos no negativos: los entre paréntesis por ser  decreciente, y  porque la sucesión es no negativa por hipótesis.

Por estas razones, tenemos la acotación

.

Tenemos así que la sucesión  es creciente y acotada superiormente (  es una cota superior) . Un conocido teorema nos garantiza entonces que esta sucesión tiene un límite finito, digamos .

 

Por otra parte la sucesión de las sumas parciales impares verifica

 

Como ambos sumandos del lado derecho tienen cada uno límite,  y  respectivamente, el lado izquierdo tiene límite. Más precisamente

 

Tenemos ahora    y    

Afirmamos que entonces la sucesión entera de las sumas parciales es convergente, que es lo que se quería demostrar.

 

Los detalles quedan a cargo del lector, a quien ofrecemos un esbozo de la demostración: tomando un entorno cualquiera de , por ser   , los  están metidos en ese entorno para valores suficientemente avanzados de . Análogamente, y por ser , ese mismo entorno contiene los  para valores suficientemente avanzados de . De acá concluimos que si n es suficientemente grande, tanto  como  están en dicho entorno. Esto prueba que .

 

Ejemplos.   Estudiar la convergencia  para      a)        b)  

 

a)  Siendo la función logaritmo una función creciente  y positiva en ,  es una sucesión creciente y positiva para , y así  es decreciente y positiva.

Por otro lado, puesto que , se tiene   

Se cumple entonces las condiciones del teorema de Leibniz para series alternadas:

a)  es decreciente y positiva

b)  

En consecuencia  converge

 

 

b)  Vemos que esta serie está en las condiciones del teorema de Leibniz para series alternadas:   cumple

a)  es decreciente

b)  

En virtud del teorema de Leibniz,  es convergente.

 

Ejercicio propuesto.  Con esta última serie, reproducir enteramente la demostración del teorema de Leibniz. Apuntar las estrategias, hacer un esbozo y luego ir completando los detalles. Una vez hecho, intentar contárselo a algún compañero.

 

Convergencia absoluta

 

Sea ahora una sucesión  de números reales, de cualquier signo, y consideremos la serie

 

(recuerde que esto simboliza a la sucesión  de las sumas parciales)

 

 

Definición.  (Convergencia absoluta) Diremos que la serie converge absolutamente si  converge la serie de los valores absolutos 

 

Ejemplo.     es absolutamente convergente, porque la serie de los módulos es  , bien convergente.

Ejemplos triviales de series absolutamente convergentes son las series convergentes   de términos no negativos, porque en este caso  

 

 

Definición.  (Convergencia condicional)   Una serie convergente pero no absolutamente convergente se llama condicionalmente convergente.

 

 

Ejemplos.

a)    converge pero   no converge

b)    converge pero  no converge.

 

 

Convergencia absoluta implica convergencia

 

 

Teorema.  Toda serie absolutamente convergente es convergente.

 

Demostración.  Sea  la serie absolutamente convergente. Por definición, esto significa que la serie  es convergente.

Observemos ahora las siguientes desigualdades .

Esto es así porque, cuando  es positivo o nulo, todo se hace trivial al ser  . Cuando en cambio  es negativo,  y  siendo  se tiene .

Gracias a estas desigualdades, tenemos

 

Pero esto significa que la serie  es una serie de términos no negativos, mayorada además por la serie convergente .

En virtud de un teorema de comparación, la serie  es convergente.

Ahora bien, como ya lo hemos discutido, la diferencia entre dos series convergentes es también una serie convergente, con lo que resulta convergente

 

Pero esto no es otra cosa que

 

 

Ejemplo. Veamos que la serie   es absolutamente convergente

Ni soñar con una alternada, ya que la  sucesión   tiene un comportamiento más que irregular. Por fortuna, al considerar la serie de lo módulos se tiene

 

    .

Se tiene así que la serie de los módulos está mayorada por la serie de término general , bien convergente. El correspondiente teorema de mayoración nos garantiza la convergencia de la serie de los módulos, y, en virtud del último teorema, la convergencia  de la serie original.

 

 

Criterios de convergencia absoluta

Supóngase una serie cualquiera  , ya no de términos no negativos. Los criterios aplicados a las series de términos no negativos se aplican, claro está, a las series de la forma  . Consecuentemente, si por algún medio detectamos la convergencia de , el teorema anterior nos garantiza la convergencia de .

 

Obsérvese en cambio que la divergencia de   no obliga a la divergencia de , y de esto son testigos todas las series condicionalmente convergentes.

 

 

Criterios del cociente (criterios de la razón, o criterios de d’Alembert)

 

Por una conveniencia notacional que se apreciará luego,  supondremos que la sucesión comienza con el índice cero. (esto es solamente a los fines demostrativos).

Tomamos una sucesión de términos no nulos   y formamos el llamado cociente de d’Alembert . Con esto en mente, veamos el siguiente:

 

Criterio de d’Alembert (primera forma)

 

a)      Si existe un real  y un natural  tal que para  se cumple

,

 entonces la serie de término general  converge absolutamente.

b)      Si existe un natural  tal que para  se cumple

,

 entonces la serie diverge [1]

Observación.  En cuanto a  la condición a), no debe creerse que ésta  pueda reemplazarse por la condición más débil  ,  como lo muestra  la serie armónica, , ya que en este caso    y no obstante la serie no converge.