El intervalo [0,1] no es numerable
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Georg Cantor enunció y demostró que los números reales no pueden ser numerados, y dio en su momento la demostración conocida luego como el método diagonal de Cantor o quizá, al decir de Cantor, “el método diagonal mío”. 

 

Una prueba distinta y muy bonita puede encontrarse en “La matemática: su contenido, métodos y significado” [1]. La demostración, cuyas líneas principales se ven más abajo, me produce una inquietud menor, y es que no encuentro la necesidad de la condición de que los diámetros de los intervalos allí  considerados tienda a cero.

 

Me explicaré: dicho brevemente,  el teorema de Cantor de los intervalos encajados dice que si tenemos una sucesión de intervalos cerrados y  encajados [2] , entonces hay al menos un punto que está en todos ellos .  Esta es quizá la parte más delicada del teorema. Luego se agrega que si  además la medida de los intervalos tiende a cero, entonces hay un solo punto que está en todos esos intervalos. Esta segunda parte es la que nunca se aplica en la prueba que nos ocupa. De todas formas, lo central es la belleza de esta prueba, y no nuestra inquietud.

 

 

Proposición.  Los puntos del intervalo  no se pueden numerar [3]

 

Prueba.  Supongamos lo contrario, o sea que se pueden rotular con los naturales. Digamos entonces que los reales del intervalo  pueden disponerse en una lista infinita

 

 

El lector, munido de lápiz y papel, deberá ir reflexionando sobre las siguientes afirmaciones.

 

1.      Es posible encontrar en   un intervalo cerrado  de longitud menor que  tal que .

2.      A continuación,  podemos elegir dentro de  un intervalo cerrado  con longitud menor que  al que  no pertenezca.

3.      En consecuencia, ni  ni  pertenecen a  

(¿Está usando papel y lápiz?)

 

4.      Nuevamente podemos encontrar un intervalo cerrado  de modo tal que:

5.      i)    

ii 

iii)  

6.      Tras unos cuantos pasos, podemos elegir un intervalo cerrado  de manera tal que:

i)    

iiIn  ... I3  I2  I1 (los intervalos cerrados están encajados)   

iii)  (de donde la longitud de los intervalos tiende a cero)

7.      Siendo los  intervalos cerrados, las condiciones ii) y iii) , junto con el teorema de  los  intervalos encajados, nos garantizan que debe existir un número real  perteneciente a todos los intervalos.

8.      Pero por hipótesis, este  debe estar en la lista, o sea debe estar rotulado como  para algún natural , esto es: .

9.      Y allí se presenta la contradicción: tal como fue construido cada intervalo Ik  , , contra el hecho de que ,por su origen, debe figurar en todos los intervalos Ik.

 

La contradicción proviene de suponer que los reales del intervalo  podían ser rotulados con los naturales. Por lo  tanto  la hipótesis inicial según la cual el conjunto de puntos del [0,1] es numerable, es falsa: el intervalo no es numerable, como se quería probar. 

 

           

Mario Augusto Bunge, para

http://www.rinconmatematico.com

http://www.rinconmatematico.com/foros

 

 

    

 

 



[1] La matemática: su contenido, métodos y significado, Volumen 3.  Aleksandrov, Kolmogorov, Laurentiev, Gelfand  y otros.  Ed. Alianza Universidad.

[2] La palabra “encajado”  hace recordar a las muñecas rusas, o matrioshkas, como las que ilustran este artículo. Puedes ir por más  buscando en Google  “matrioshka” y luego elige   la opción “imágenes”.

[3] Queremos evitar palabras como “cardinalidad”, que podrían asustar a un lector no informado.