El intervalo [0,1] no es numerable
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Georg Cantor enunció y demostró que los números reales no pueden ser numerados, y dio en su momento la demostración conocida luego como el método diagonal de Cantor o quizá, al decir de Cantor, “el método diagonal mío”.
Una prueba distinta y muy bonita puede encontrarse en “La matemática: su contenido, métodos y significado” [1]. La demostración, cuyas líneas principales se ven más abajo, me produce una inquietud menor, y es que no encuentro la necesidad de la condición de que los diámetros de los intervalos allí considerados tienda a cero.
Me explicaré: dicho brevemente, el teorema de Cantor de los intervalos encajados dice que si tenemos una sucesión de intervalos cerrados y encajados [2] , entonces hay al menos un punto que está en todos ellos . Esta es quizá la parte más delicada del teorema. Luego se agrega que si además la medida de los intervalos tiende a cero, entonces hay un solo punto que está en todos esos intervalos. Esta segunda parte es la que nunca se aplica en la prueba que nos ocupa. De todas formas, lo central es la belleza de esta prueba, y no nuestra inquietud.
Proposición. Los puntos del intervalo no se pueden numerar [3]
Prueba. Supongamos lo contrario, o sea que se pueden
rotular con los naturales. Digamos entonces que los reales del intervalo pueden disponerse en una lista infinita
El lector, munido de lápiz y papel, deberá ir reflexionando sobre las siguientes afirmaciones.
1.
Es
posible encontrar en un intervalo cerrado
de longitud menor que
tal que
.
2.
A continuación, podemos elegir dentro de un intervalo cerrado
con longitud menor que
al que
no pertenezca.
3.
En
consecuencia, ni ni
pertenecen a
(¿Está usando papel y lápiz?)
4.
Nuevamente
podemos encontrar un intervalo cerrado de modo tal que:
5.
i)
ii)
iii)
6.
Tras
unos cuantos pasos, podemos elegir un intervalo cerrado de manera tal que:
i)
ii) In ...
I3
I2
I1 (los intervalos cerrados
están encajados)
iii) (de donde la longitud de los intervalos
tiende a cero)
7.
Siendo
los intervalos cerrados, las condiciones ii)
y iii) , junto con el teorema de
los intervalos encajados, nos garantizan
que debe existir un número real
perteneciente a todos los intervalos.
8.
Pero
por hipótesis, este debe estar en la lista, o sea debe estar
rotulado como
para algún natural
,
esto es:
.
9.
Y allí
se presenta la contradicción: tal como fue construido cada intervalo Ik , ,
contra el hecho de que
,por
su origen, debe figurar en todos los intervalos Ik.
La
contradicción proviene de suponer que los reales del intervalo podían ser rotulados con los naturales. Por
lo tanto la hipótesis inicial
según la cual el conjunto de puntos del [0,1] es numerable, es falsa: el
intervalo no es numerable, como se quería probar.
Mario Augusto Bunge, para
http://www.rinconmatematico.com
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