Curso de análise, de Elon Lages Lima, es un libro lleno de atractivos. Vale la pena leerlo. Acá damos una pequeña muestra.

 

 

 

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Problema 1.

 

Sea T un arreglo de números no negativos

 

 

Haga dos hipótesis sobre el arreglo T.

Primera: cada línea tiene suma igual a 1.

Segunda: cada columna tiene límite cero:  para todo  

Dada una sucesión convergente  con  usar el arreglo T para transformarla en una sucesión  con

 

Probar que  

Sugerencia: Considere inicialmente el caso  Dado  existe  tal que . Existe también  tal que  para todo  

A continuación, obtenga  tal que  donde . Tome . Observe que , donde la suma de los p primeros sumandos no excede , y la suma de los restantes

 sumandos no supera  . Luego, . El caso general se reduce inmediatamente a este.

 

Los siguientes problemas, salvo numeración, son tomados tal cual se encuentran en el libro mencionado al final.

 

Problema 2. Si  poniendo , se tiene   

[Sugerencia: use el problema 1.]


 

Problema 3. Si  y los  son todos positivos, entonces  

[Sugerencia: tome logaritmos y aplique el problema anterior.]

Concluya que si  y , entonces .

Problema 4. Sea  para todo , con . Si , entonces

.

 

Problema 5. Si  es creciente y , entonces  .

[Sugerencia: use el problema anterior.] 

 

Problema 6.   [Sugerencia: use el problema anterior.]  

 

Problema 7.   [Sugerencia: use el final del problema 3.]

 

 

 

Elon Lages Lima, Curso de análise. Rio de Janeiro, Instituto de Matemática Pura e Aplicada. 1976

 

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