Rincón Matemático


Revista electrónica de matemática básica

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 ::: Cohomología de deRham [Enrique Idael Chávez Sarmiento]

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En este trabajo estudiaremos algunas nociones de Cohomología de deRham, una herramienta útil para distinguir y hasta cierto punto clasificar superficies del espacio euclidiano Rn, asociándoles un objeto algebraico, en este caso un espacio vectorial. Los resultados principales que probaremos son el teorema de Invarianza por Homotopías, el teorema de Dualidad de Alexander y el Teorema de Jordan-Brouwer. Con este fin introduciremos brevemente algunas nociones de superficies en Rn, formas diferenciales, homotopía y mencionaremos algunas herramientas algebraicas que utilizaremos para luego estudiar la Cohomología de deRham propiamente dicha.

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 ::: Los conjuntos de Julia y Mandelbrot. [Ismael]

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Los conjuntos de Julia y Mandelbrot son frecuentemente utilizados por su vistosa forma y su aparente complejidad. Estos conjuntos tienen una definición matemática que acá no se menciona. Aquí les presento una descripción de estos conjuntos, y algunas de las técnicas utilizadas para producirlos.

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 ::: Prueba visual de la suma de los cuadrados de los naturales.

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Una aproximación geométrica puede mostrarnos cómo pudo ser concebida la fórmula

suma cuadrados naturales

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 ::: Miguel de Guzmán Ozámiz: Impactos del análisis armónico

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Miguel de Guzmán da una apasionante charla sobre el análisis armónico. Su lectura debería formar parte de los materiales sugeridos a los estudiantes de ciencias, y más ampliamente, a quienes puedan sentir entusiasmo e interés por el conocimiento de la naturaleza.

No podemos resistir a la tentación de transcribir un trozo del llamado "poema matemático" de Fourier:

Las ecuaciones analíticas no se restringen a las propiedades de las figuras y a las que son objeto de la mecánica racional; se extienden a todos los fenómenos generales. No puede haber un lenguaje más universal ni más simple, más exento de errores y de oscuridades, es decir más digno de expresar las relaciones invariables de los seres naturales. Considerado bajo este punto de vista, el análisis matemático es tan extenso como la naturaleza misma; define todas las relaciones sensibles, mide el tiempo, los espacios, las fuerzas, las temperaturas...su atributo principal es la claridad; no tiene en absoluto signos para expresar nociones confusas. Relaciona los fenómenos más diversos y descubre las analogías secretas que los une. Si la materia se nos evade, por su extrema tenuidad, como la del aire y de la luz, si los cuerpos están situados lejos de nosotros, en la inmensidad del espacio, si el hombre quiere conocer el espectáculo de los cielos en épocas sucesivas que un gran número de siglos separa, si las acciones de la gravedad y del calor se ejercen en el interior del globo sólido a profundidades que nos serán siempre inaccesibles, el análisis matemático puede, con todo, dominar las leyes de estos fenómenos. Él nos los hace presentes y parece ser una facultad de la razón humana destinada a suplir la brevedad de la vida y la imperfección de los sentidos; y, lo que es aún más notable, sigue el mismo camino en el estudio de todos los fenómenos; los interpreta con el mismo lenguaje como para atestiguar la unidad y la simplicidad del plan del universo, y hacer aún más patente este orden inmutable que preside todas las causas naturales.

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 ::: Mathematical Problems by David Hilbert

bulletEn 1900, se llevó a cabo en París el Congreso Internacional de Matemáticas, donde David Hilbert pronunció una conferencia denominada simplemente Problemas Matemáticos. Dicha exposición versó sobre una lista de 23 cuestiones pendientes de resolución para la época, que delinearon a grandes rasgos los senderos que habrían de fijar el desarrollo de las matemáticas durante el resto del siglo XX. Con el correr de los años, se resolvieron todos los problemas planteados, salvo tres. Ellos son el sexto, "Tratamiento matemático de los axiomas de la física",el octavo, "Algunos problemas referentes a números primos", y el decimosexto, "El problema de la topología de las curvas y superficies algebraicas". Aún permanecen abiertos, como un reto a la imaginación de los matemáticos del presente y del futuro. La lista elaborada por Hilbert comienza con la cuestión lógica y conjuntista asociada con la llamada hipótesis del continuo, que fuera resuelta de manera definitiva por el estadounidense Paul Cohen hacia 1965.

Véase también Les 23 problèmes de Hilbert.

El motivo de esta versión:
Entre los tantos sitios que publican los 23 problemas matemáticos de Hilbert, mencionamos los siguientes.
http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/hilbertprobleme.htmlhttp://www.ams.org/bull/2000-37-04/S0273-0979-00-00881-8/S0273-0979-00-00881-8.pdf
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/
Podríamos haber hecho los enlaces apropiados, pero hemos encontrado fórmulas con errores; posiblemente la publicación inicial es la que se encuentra en alemán. Allí ya hay errores, unos cuantos corregidos en la versión de la AMS, mucho más cuidada que la primera. Pero a su vez esta última muestra algunos errores que la anterior no tiene. La de la Clark University es otra versión a tener en cuenta. Quien encuentre algún error no tiene más que descargar la versión .doc y enviarnos allí las observaciones.

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 ::: Jugando con la teoría de juegos (2)


bulletEn esta segunda parte, se desarrollan algunos conceptos fundamentales de la teoría de juegos, que completan la discusión ya iniciada anteriormente. Mediante el análisis de algunos ejemplos sencillos, se estudian los conceptos de forma normal, suma cero, estrategia pura y mixta, así también como las consecuencias que se desprenden de la idea de punto de equilibrio. El artículo pretende remarcar el contexto estadístico de la teoría, y por lo tanto señala los resultados que los jugadores o antagonistas pueden esperar obtener, únicamente a partir de su aplicación constante o pertinaz a largo plazo.

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 ::: Irrationality of Pi  [Ram Murty & Kumar Murty]


bulletLa pregunta acerca de si Pi es o no racional se planteó en un tiempo bastante lejano, probablemente tan pronto como se descubrió que había números que no eran racionales. Pero la cuestión distaba de ser evidente. Arquímedes probó que el valor de Pi está entre 22/7 y 223/71. El promedio de estas 2 fracciones, 3123/994, tiene un error menor que 0.0003. El antipático 3.1416 = 3927/1250 tiene un error de menos de 0,00001. Por su parte Tsu Chu´ung-Chih, astrónomo chino del siglo V, halló la fracción 355/113 que dista de Pi en menos de 0,0000003. Por otro lado en 1673 Wilhelm von Leibniz demostró que

Pi con serie de leibniz

Pero, a pesar de que la suma de finitos racionales es racional, la suma de una serie infinita de racionales no necesariamente es racional. Por fin en 1761 Johann Heinrich Lambert demostró que Pi es irracional; más aún, en 1882 Lindemann demostró que Pi es trascendente, esto es, que no es raíz de un polinomio con coeficientes racionales. La demostración de Lambert es larga y tediosa. Pero en 1947 Niven halló una demostración corta y elegante que además ha fructificado en otras de espíritu semejante. La que aparece aquí - debida a M. Ram Murty y V. Kumar Murty - tiene como corolario a la de Niven y proporciona resultados muy fuertes sobre la irracionalidad de muchas familias de números reales, Pi entre ellos.

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 ::: La constante de Euler - Mascheroni [William Dunham]

bulletYa tenía preparado un pequeño artículo sobre la constante de Euler - Mascheroni, cuando mi amigo Leo Aiello me regaló  "Euler The Master of Us All", de William Dunham . Como es de imaginar, me ha gustado más lo que ha hecho Dunham, de modo que renuncio a lo mío y pongo a disposición de los lectores estas líneas del capítulo 2, con la esperanza de que algunos puedan conseguirse este interesante librito publicado por The Mathematical Association of America.

Rectificación: Bastante después de escribir esto, supe que hay una traducción al español - Editorial Nivola - con prólogo y notas de Antonio Pérez Sanz.

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 :::  Gratis software de matemática

bulletEl gráfico de la exponencial y sus primeras aproximaciones de Taylor, es una muestra de lo que en segundos hace Winplot, una de las aplicaciones gratuitas realizadas por Richard Parris. Hay versión en castellano,actualizada al 01/02/05. Se puede descargar también un instructivo en portugués del curioso sitio de Carlos César de Araújo. Hay también help en inglés.

Winplot: primeras aproximaciones de Taylor

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 ::: Series numéricas

bulletUna introducción elemental al concepto de sumabilidad de una sucesión de números reales.
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 ::: Probabilidades geométricas

bulletLa definición clásica de probabilidad de un suceso determinado, debida a Laplace, asigna al mismo un número racional entre 0 y 1. Habitualmente, este número se determina por procedimientos combinatorios, y establece el cociente entre la totalidad de los casos que favorecen la producción del suceso analizado y la totalidad de los casos posibles asociados con el mismo suceso. El concepto de probabilidad geométrica generaliza esta definición, incluyéndola dentro del alcance de la llamada teoría de la medida, donde la probabilidad de un suceso puede estar dada ahora por un número real. Esto permite extender los resultados de la teoría de la probabilidad a un conjunto muy grande de problemas teóricos y prácticos, que por su naturaleza son inatacables con los métodos provistos por la definición de Laplace.

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 ::: El problema de los taxis y el circulante

bulletEstimar la población de taxis de una ciudad es una tarea que se asemeja en mucho a la estimación del circulante de un país. Estos procedimientos, en donde se usan determinadas técnicas de muestreo, heredan su precisión de un resultado muy importante de la estadística matemática: el teorema central del límite.

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 ::: Jugando con la teoría de los juegos (1)

bulletLa teoría de los juegos se aplica en cualquier situación donde hay un determinado conflicto de intereses entre dos o más inteligencias antagónicas. Este artículo pretende dar una introducción elemental e informal sobre el tema.

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 ::: Prueba visual para el seno de la suma

bulletUna demostración visual basada en suma de áreas, para la conocida fórmula sen (a + b) = sen a cos b + cos a sen b.

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 ::: Tres problemas fáciles con una misma estrategia

bulletLa misma estrategia empleada para probar que los ángulos interiores de un triángulo suman 180 grados, se muestra útil para probar el teorema de Thales sobre aquellos triángulos inscriptos en una semicircunferencia que tienen uno de sus lados coincidente con el diámetro. El último problema se deja deliberadamente incompleto, como tarea para el lector.

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 ::: El cálculo de Pi con un producto infinito  [Euler]

bulletAl estilo de un relato futbolístico, un trabajo de Euler visto por Leo Aiello, médico apasionado por la matemática.

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 ::: Las ecuaciones diferenciales y Van Meegeren [Martin Braun]

bulletEn la enciclopedia Encarta 1999, al buscar "Falsificación de arte" encontramos hacia el final: "El mejor detector de una obra de arte falsa ..... es el ojo humano del experto". La siguiente historia de una famosa falsificación , con una visión enteramente distinta, ha sido tomada de Martin Braun, Differential Equations and Their Applications.

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 ::: Un tango con letra de Enzo R. Gentile


bulletEl algebrista, letra de Enzo R. Gentile, con música del tango "Mano a mano" (Gardel - Razzano)

EL ALGEBRISTA

Algebrista te volviste
refinado hasta la esencia
oligarca de la ciencia
matemático bacán.

Hoy mirás a los que sudan
en las otras disciplinas
como dama a pobres minas
que laburan por el pan.

¿Te acordás que en otros tiempos
sin mayores pretensiones
mendigabas soluciones
a una mísera ecuación?

Hoy la vas de riguroso
revisás los postulados
y junás por todos lados
la más vil definición.

Pero no engrupís a nadie
y es inútil que te embales
con anillos, con ideales
y con álgebras de Boole.

Todos saben que hace poco
resolviste hasta matrices
y rastreabas las raíces
con el método de Sturm.

Pero puede que algún día
con las vueltas de la vida
tanta cáscara aburrida
te llegue a cansar al fin.

Y añores tal vez el día
que sin álgebras abstractas
y con dos cifras exactas
te sentías tan feliz.

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 ::: Transformación de Toeplitz [Julio Rey Pastor]

bulletSe trata de una matriz infinita, armada con sucesiones de números reales o complejos. Cada columna tiende a cero, y las filas son sucesiones sobre las que se impone cierta condición de uniformidad asociada con la convergencia absoluta. Pase y vea.

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 :::  Y ahora, Otto poquito de Toeplitz  [Elon Lages Lima]

bulletSi el artículo de Rey Pastor sobre Otto Toeplitz se hizo difícil, he aquí una mirada algo más descansada, por Elon Lages Lima.

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 ::: El intervalo [0,1] no es numerable

bulletUna demostración distinta de la clásica, en "La matemática: su contenido, métodos y significado", deliciosa obra en tres pequeños tomos por Aleksandrov, Kolmogorov, Laurentiev y otros.

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 ::: El tesoro que toda sucesión de números reales lleva adentro

bulletVeamos que toda sucesión de números reales lleva dentro suyo una sucesión monótona. Una consecuencia casi inmediata y de enorme importancia es que toda sucesión real acotada tiene una subsucesión convergente.

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 ::: La docilidad de las series condicionalmente convergentes

bulletReordenando convenientemente una serie condicionalmente convergente, se la puede hacer llegar a cualquier valor prefijado. He aquí un ejemplo extraído de Piskunov.

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 ::: Prueba corta de la divergencia de la serie armónica

bulletSobre la divergencia de esta serie hay distintas demostraciones. Acá hemos hecho una modificación de la estrategia que expone G. H. Hardy ("A course of pure mathematics") en la prueba de un teorema de Pringsheim. Las cuentas son sencillas como para que todo se pueda contar y entender por teléfono.

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 ::: Un teorema de Pringsheim

bulletEste teorema nos dice que si una sucesión de términos positivos es sumable y además es decreciente, entonces su convergencia a cero es feroz: aún multiplicada por n, sigue tendiendo a cero.

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 ::: Sumas telescópicas

bulletSe muestra la obtención de varias "fórmulas de condensación" : conocer la suma de una lista de números sin sumarlos uno por uno. Se ve la suma de los primeros naturales, la suma de los cuadrados de los primeros naturales, etc. Es una separata del archivo Series.

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 ::: § 1  Parte entera [Korovkin]

bulletSe llegará mucho más lejos de lo puede sugerir el título. Interesante aplicación de sumas telescópicas en ejercicio 2.

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 ::: § 2  Media geométrica, media aritmética y otras medias [Korovkin]

bulletEn este artículo Korovkin da una original demostración para probar que dados unos números positivos, su media geométrica no supera a su media aritmética.

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 ::: § 3  El número e [Korovkin]

bulletUsando la comparación entre medias, Korovkin prueba, en apenas un renglón, la monotonía de la sucesión (1+1/n)n.

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 ::: § 4  Desigualdad de Bernoulli [Korovkin]

bulletKorovkin da una prueba a pulmón de las desigualdades de Bernoulli, generalizadas a exponentes reales positivos cualesquiera.

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 ::: § 5  Medias potenciales [Korovkin]

bulletKorovkin retoma la discusión iniciada en § 2, probando que la media potencial de grado α crece monótonamente con α.

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Inicio:07/06/2002
Última modificación: 3 de Febrero de 2005

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